V232.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V232.XGP[TEX,DEK] blob sn#407108 filedate 1979-01-01 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000268*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α3.2␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1␈ε∞␈↓ ε≠T␈α␈HE␈α	LINEA␈α␈R␈α	CONGRU␈α␈ENTIA␈α␈L␈α	METH␈α␈OD␈↓ ~␈εα9
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.2.␈α
GENERA␈α⎇TING␈α
UNIF␈α␈ORM␈α
RANDOM␈α
NUMB␈α␈ERS
␈βαl␈↓ ↓H␈εαI␈↓ β\␈εαw␈α␈e␈α
shall␈α
consider␈α
methods␈α
for␈αgenerating␈α
a␈α
sequence␈α
of␈α
random
␈βαq␈↓ ↓T␈ε∧N␈αλTHI␈α↓S␈αλSE␈α↓C␈α␈T␈α↓ION
␈ββ↔␈↓ ↓H␈εαfractions,␈αi.e.,␈αrandom␈ε∂␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ εα␈ελU␈↓ ε+␈ε∂,␈αuniformly␈αdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αzero␈αand
␈ββ%␈↓ ε→␈εn
␈ββB␈↓ ↓H␈ε∂one.␈εα␈αSince␈αa␈αcomputer␈αcan␈αrepresen␈α␈t␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αwith␈α
only␈α|nite␈αaccuracy,␈αw␈α␈e
␈ββn␈↓ ↓H␈εαshall␈α
actually␈αbe␈α
generating␈α
in␈α␈tegers␈↓ ε∂␈ελX␈↓ εG␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈α
and␈α
some␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ 
C␈ελm␈↓ 
c␈εα;␈α
the
␈ββ{␈↓ ε(␈εn
␈β∧→␈↓ ↓H␈εαfraction
␈β∧F␈↓ ¬[␈ελU␈↓ ε∞␈εα=␈↓ ε<␈ελX␈↓ εg␈εα/␈↓ εy␈ελm
␈β∧T␈↓ ¬r␈εn␈↓ εU␈εn
␈β¬
␈↓ ↓H␈εαwill␈αthen␈αlie␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈αand␈αone.␈α
Usually␈↓ εz␈ελm␈↓ π&␈εαis␈αthe␈αw␈α␈ord␈α
size␈αof␈αthe␈αcomputer,
␈β¬8␈↓ ↓H␈εαso␈↓ ↓v␈ελX␈↓ α0␈εαmay␈α∞be␈α∂regarded␈α∞(conservativ␈α␈ely)␈α∞as␈α∂the␈α∞in␈α␈teger␈α∂con␈α␈ten␈α␈ts␈α∞of␈α∂a␈α∞computer
␈β¬F␈↓ α∂␈εn
␈β¬d␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ord␈α	with␈α	the␈α	radix␈α	poin␈α␈t␈α	assumed␈α
at␈α	the␈α	extreme␈α	righ␈α␈t,␈α
and␈↓ λx␈ελU␈↓ 	*␈εαmay␈α	be␈α	regarded
␈β¬q␈↓ 	∂␈εn
␈βε∂␈↓ ↓H␈εα(liberally)␈αas␈αthe␈αcon␈α␈ten␈α␈ts␈αof␈αthe␈αsame␈αw␈α␈ord␈αwith␈αthe␈αradix␈αpoin␈α␈t␈αassumed␈αat␈αthe
␈βε:␈↓ ↓H␈εαextreme␈αleft.
␈βπE␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.2.1.␈α
The␈α
Linear␈αC␈α↓o␈α␈n␈α↓g␈α␈ruential␈α∞M␈α␈ethod
␈βλ	␈↓ ↓H␈εαBy␈α⊂far␈α⊃the␈α⊃most␈α⊃popular␈α⊃random-n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂generators␈α⊃in␈α⊃use␈α⊃today␈α⊃are␈α⊂special
␈βλ4␈↓ ↓H␈εαcases␈αof␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
scheme,␈αin␈α␈troduced␈α
by␈α
D.␈αH.␈α
Lehmer␈αin␈α
1949.␈α~[See␈ε∂␈αProc.
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε∂2nd␈αSymp.␈αon␈αLarge-Scale␈αDigital␈αCalculating␈αMachinery␈εα␈α(Cam␈α␈bridge:␈αHarvard
␈β	␈↓ ↓H␈εαUniv␈α␈ersity␈αPress,␈α1951),␈α141↑146.]␈α→We␈αchoose␈αfour␈α\magic␈αn␈α␈um␈α␈bers":
␈β	↑␈↓ ∧∧␈ελm␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧Q␈εαthe␈αmodulus;␈↓ π↔␈ελm␈↓ πA␈εα>␈α
0.
␈β
	␈↓ ∧⊃␈ελa␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧Q␈εαthe␈αm␈α␈ultiplier;␈↓ π%␈εα0␈↓ πA␈ε⊗∀␈↓ πo␈ελa␈↓ λ␈εα<␈↓ λ9␈ελm␈↓ λY␈εα.
␈β
∨␈↓ α␈εα(1)
␈β
4␈↓ ∧∃␈ελc␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧Q␈εαthe␈αincremen␈α␈t;␈↓ π%␈εα0␈↓ πA␈ε⊗∀␈↓ πo␈ελc␈↓ λπ␈εα<␈↓ λ5␈ελm␈↓ λU␈εα.
␈β
←␈↓ β|␈ελX␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧Q␈εαthe␈αstarting␈αvalue;␈↓ π%␈εα0␈↓ πA␈ε⊗∀␈↓ πo␈ελX␈↓ λ ␈εα<␈↓ λN␈ελm␈↓ λn␈εα.
␈β
m␈↓ ∧∃␈ε¬0␈↓ λλ␈ε¬0
␈β3␈↓ ↓H␈εαThe␈αdesired␈αsequence␈αof␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε⊗␈αh␈↓ εj␈ελX␈↓ π∃␈ε⊗i␈εα␈αis␈αthen␈αobtained␈αby␈αsetting
␈β@␈↓ πβ␈εn
␈β␈↓ ∧∂␈ελX␈↓ ∧o␈εα=␈α
(␈↓ ¬)␈ελa␈↓ ¬;␈ελX␈↓ ¬n␈εα+␈↓ ε~␈ελc␈↓ ε(␈εα)␈↓ ε:␈εαmod␈↓ π∧␈ελm␈↓ π$␈εα,␈↓ π|␈ελn␈↓ λ≠␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ α␈εα(2)
␈β→␈↓ ∧(␈εn␈↓ ∧:␈ε¬+1␈↓ ¬T␈εn
␈βd␈↓ ↓H␈εαThis␈α∞is␈α∂called␈α∞a␈ε∂␈α∂linear␈α∂congruen␈α␈tial␈α∞sequence.␈εα␈α∀Taking␈α∞the␈α∂remainder␈α∂mod␈↓ 
f␈ελm␈↓ ∀␈εαis
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαsomewhat␈αlik␈α␈e␈αdetermining␈αwhere␈αa␈αball␈αwill␈αland␈αin␈αa␈αspinning␈αroulette␈αwheel.
␈β
;␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αthe␈αsequence␈αobtained␈αwhen␈↓ π,␈ελm␈↓ πV␈εα=␈α
10,␈↓ λ>␈ελX␈↓ λo␈εα=␈↓ 	≥␈ελa␈↓ 	9␈εα=␈↓ 	g␈ελc␈↓ 	␈␈εα=␈α
7,␈αis
␈β
I␈↓ λW␈ε¬0
␈β∞∀␈↓ ∧r␈εα7,␈α∞6,␈α∞9,␈α∞0,␈α∞7,␈α∞6,␈α∞9,␈α∞0,␈↓ πB␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πx␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαAs␈α
this␈α∞example␈α∞sho␈α␈ws,␈α∞the␈α
sequence␈α∞is␈α∞not␈α
always␈α∞\random"␈α∞for␈α
all␈α∞choices␈α
of
␈β∂_␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓⎇␈ελa␈↓ α∂␈εα,␈↓ α$␈ελc␈↓ α2␈εα,␈αand␈↓ β␈ελX␈↓ β4␈εα;␈αthe␈αprinciples␈αof␈αchoosing␈αthe␈αmagic␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αappropriately␈αwill
␈β∂%␈↓ β%␈ε¬0
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαbe␈αin␈α␈v␈α␈estigated␈αcarefully␈αin␈αlater␈αparts␈αof␈αthis␈αchapter.
␈β∂o␈↓ α␈εαExample␈α(3)␈αillustrates␈αthe␈αfact␈αthat␈αthe␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈αalways␈α
\get
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαin␈α␈to␈α	a␈α	loop";␈α	i.e.,␈α
there␈α	is␈α	ultimately␈α	a␈α	cy␈α␈cle␈α	of␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	that␈α	is␈α	repeated␈αλendlessly.
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαThis␈αλproperty␈αλis␈α	common␈αλto␈α	all␈αλsequences␈α	having␈αλthe␈αλgeneral␈α	form␈↓ 	@␈ελX␈↓ 
 ␈εα=␈↓ 
N␈ελf␈↓ 
`␈εα(␈↓ 
l␈ελX␈↓ ⊗␈εα);
␈β⊂S␈↓ 	Y␈εn␈↓ 	k␈ε¬+1␈↓ ¬␈εn
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαsee␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞3.1↑6.␈α∩The␈α∞repeating␈α∞cy␈α␈cle␈α∂is␈α∞called␈α∞the␈ε∂␈α∞period␈↓ λq␈εα;␈α∂sequence␈α∞(3)␈α∞has␈α∞a
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαperiod␈α
of␈αlength␈α
4.␈αA␈α
useful␈αsequence␈αwill␈α
of␈αcourse␈α
hav␈α␈e␈αa␈α
relativ␈α␈ely␈αlong␈α
period.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα10␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.1
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈αλspecial␈απcase␈↓ ∧	␈ελc␈↓ ∧!␈εα=␈α
0␈απdeserv␈α␈es␈αλexplicit␈απmen␈α␈tion,␈α	since␈απthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈απgeneration
␈βαS␈↓ ↓H␈εαprocess␈α	is␈α
a␈α
little␈α
faster␈α
when␈↓ ¬⊃␈ελc␈↓ ¬)␈εα=␈α
0␈α	than␈α
it␈α
is␈α
when␈↓ πd␈ελc␈↓ π|␈ε⊗≤␈εα␈α
0.␈αWe␈α
shall␈α
see␈α
later␈α	that
␈βα}␈↓ ↓H␈εαthe␈αrestriction␈↓ β3␈ελc␈↓ βL␈εα=␈α0␈αcuts␈α
do␈α␈wn␈αthe␈α
length␈αof␈α
the␈α
period␈αof␈α
the␈αsequence,␈α
but␈αit
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαis␈α
still␈αpossible␈α
to␈α
mak␈α␈e␈αthe␈α
period␈αreasonably␈α
long.␈αLehmer's␈α
original␈α
generation
␈ββU␈↓ ↓H␈εαmethod␈α∞had␈↓ β∀␈ελc␈↓ β0␈εα=␈α∞0,␈α∂although␈α∂he␈α∞men␈α␈tioned␈↓ π	␈ελc␈↓ π%␈ε⊗≤␈εα␈α∞0␈α∂as␈α∞a␈α∞possibility;␈α⊂the␈α∞idea␈α∞of
␈β∧␈↓ ↓H␈εαtaking␈↓ α:␈ελc␈↓ αW␈ε⊗≤␈εα␈α∞0␈α∂to␈α∞obtain␈α∂longer␈α∂periods␈α∞is␈α∂due␈α∞to␈α∂Thomson␈α∂[␈ε∂Comp.␈α∞J.␈ε∩␈α∂1␈εα␈α∞(1958),
␈β∧+␈↓ ↓H␈εα83,␈α∂86]␈α∂and,␈α∂independen␈α␈tly,␈α⊂to␈α∂Roten␈α␈berg␈α∞[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α∂7␈εα␈α∂(1960),␈α∂75↑77].␈α∃The␈α∞terms
␈β∧V␈↓ ↓H␈ε∂m␈α␈ultiplicativ␈α␈e␈αcongruen␈α␈tial␈αmethod␈εα␈αand␈ε∂␈αmix␈α␈ed␈αcongruen␈α␈tial␈αmethod␈εα␈αare␈αused␈αby
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈α∞authors␈α∂to␈α∂denote␈α∂linear␈α∂congruen␈α␈tial␈α∞sequences␈α∂with␈↓ 	λ␈ελc␈↓ 	%␈εα=␈α∞0␈α∂and␈↓ 
A␈ελc␈↓ 
↑␈ε⊗≤␈εα␈α∞0,
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαrespectiv␈α␈ely.
␈β¬X␈↓ α␈εαThe␈αletters␈↓ βA␈ελm␈↓ βa␈εα,␈↓ βv␈ελa␈↓ ∧λ␈εα,␈↓ ∧≤␈ελc␈↓ ∧+␈εα,␈α
and␈↓ ¬∧␈ελX␈↓ ¬6␈εαwill␈α
be␈αused␈αthroughout␈α
this␈αchapter␈α
in␈αthe␈α
sense
␈β¬e␈↓ ¬≥␈ε¬0
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαdescribed␈αabo␈α␈v␈α␈e.␈αFurthermore,␈αw␈α␈e␈αwill␈α|nd␈αit␈αuseful␈αto␈αde|ne
␈βεN␈↓ ¬f␈ελb␈↓ ¬}␈εα=␈↓ ε,␈ελa␈↓ εF␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈↓ α␈εα(4)
␈βπ→␈↓ ↓H␈εαin␈αorder␈αto␈αsimplify␈αman␈α␈y␈αof␈αour␈αform␈α␈ulas.
␈βπD␈↓ α␈εαWe␈αcan␈αimmediately␈αreject␈α
the␈αcase␈↓ εK␈ελa␈↓ εg␈εα=␈α
1,␈α
for␈αthis␈αw␈α␈ould␈αmean␈αthat␈↓ 
S␈ελX␈↓ λ␈εα=
␈βπR␈↓ 
l␈εn
␈βπp␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελX␈↓ αε␈εα+␈↓ α5␈ελn␈↓ αK␈ελc␈↓ αY␈εα)␈↓ αk␈εαmod␈↓ β5␈ελm␈↓ βU␈εα,␈α∩and␈α⊂the␈α⊃sequence␈α⊃w␈α␈ould␈α⊂certainly␈α⊃not␈α⊂behav␈α␈e␈α⊃as␈α⊃a␈α⊂random
␈βπ⎇␈↓ ↓m␈ε¬0
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εαsequence.␈α⊃The␈α∞case␈↓ ∧∧␈ελa␈↓ ∧#␈εα=␈α
0␈α∞is␈α∞ev␈α␈en␈α
w␈α␈orse.␈α∩Hence␈α
for␈α∞practical␈α∞purposes␈α∞w␈α␈e␈α
may
␈βλF␈↓ ↓H␈εαassume␈αthat
␈βλq␈↓ ¬/␈ελa␈↓ ¬K␈ε⊗∃␈εα␈α
2,␈↓ εc␈ελb␈↓ ε{␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈↓ α␈εα(5)
␈β	1␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αw␈α␈e␈αcan␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αa␈αgeneralization␈αof␈αEq.␈α(2),
␈β	\␈↓ βx␈ε↓⊂␈↓ ε7␈ε↓⊃
␈β
␈↓ ∧≤␈εk␈↓ ¬(␈εk
␈β
ε␈↓ αj␈ελX␈↓ βJ␈εα=␈↓ ∧
␈ελa␈↓ ∧+␈ελX␈↓ ∧↑␈εα+␈αλ(␈↓ ¬⊗␈ελa␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ελ␈ελc␈↓ ε⊗␈εα/␈↓ ε(␈ελb␈↓ εO␈εαmod␈↓ π→␈ελm␈↓ π8␈εα,␈↓ λ⊂␈ελk␈↓ λ,␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈↓ 	 ␈ελn␈↓ 	@␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈↓ α␈εα(6)
␈β
∀␈↓ ββ␈εn␈↓ β∃␈ε¬+␈↓ β2␈εk␈↓ ∧D␈εn
␈β
\␈↓ ↓H␈εαwhich␈αλexpresses␈αλthe␈α	(␈↓ ∧␈ελn␈↓ ∧$␈εα+␈↓ ∧K␈ελk␈↓ ∧]␈εα)th␈αλterm␈αλdirectly␈α	in␈αλterms␈α	of␈αλthe␈↓ λM␈ελn␈↓ λc␈εαth␈αλterm.␈α⊃(The␈αλspecial
␈βπ␈↓ ↓H␈εαcase␈↓ α∀␈ελn␈↓ α5␈εα=␈α0␈αin␈α
this␈αequation␈α
is␈αw␈α␈orth␈α␈y␈α
of␈αnote.)␈α~It␈α
follo␈α␈ws␈αthat␈α
the␈αsubsequence
␈β3␈↓ ↓H␈εαconsisting␈α∞of␈α∞ev␈α␈ery␈↓ ∧␈ελk␈↓ ∧∩␈εαth␈α∞term␈α∂of␈α∞our␈α∞sequence␈α∂is␈α∞another␈α∂linear␈α∞congruen␈α␈tial␈α∞se-
␈β>␈↓ λj␈ε↓␈␈↓ 
%␈ε↓↓
␈βY␈↓ ¬3␈εk␈↓ 	∃␈εk
␈β↑␈↓ ↓H␈εαquence,␈αhaving␈αthe␈αm␈α␈ultiplier␈↓ ¬"␈ελa␈↓ ¬H␈εαmod␈↓ ε∩␈ελm␈↓ ε>␈εαand␈αthe␈αincremen␈α␈t␈↓ λx␈εα(␈↓ 	∧␈ελa␈↓ 	,␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ 	v␈ελc␈↓ 
∧␈εα/␈↓ 
⊗␈ελb␈↓ 
9␈εαmod␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα.
␈β	␈↓ α␈εαAn␈αimportan␈α␈t␈α
corollary␈αof␈α
(6)␈αis␈α
that␈αthe␈α
general␈αsequence␈αde|ned␈α
by␈↓ 
Z␈ελm␈↓ 
z␈εα,␈↓ ⊃␈ελa␈↓ "␈εα,
␈β4␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓V␈εα,␈αand␈↓ α1␈ελX␈↓ αd␈εαcan␈αbe␈αexpressed␈αv␈α␈ery␈αsimply␈αin␈αterms␈αof␈αthe␈αspecial␈αcase␈αwhere␈↓ 
T␈ελc␈↓ 
l␈εα=␈α
1
␈βB␈↓ αJ␈ε¬0
␈β←␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελX␈↓ α?␈εα=␈α
0.␈αLet
␈βm␈↓ α'␈ε¬0
␈β
*␈↓ ∧
␈ελY␈↓ ∧7␈εα=␈α
0,␈↓ ¬O␈ελY␈↓ ε,␈εα=␈α
(␈↓ εf␈ελa␈↓ εw␈ελY␈↓ π&␈εα+␈αλ1)␈↓ πv␈εαmod␈↓ λ@␈ελm␈↓ λ`␈εα.␈↓ α␈εα(7)
␈β
8␈↓ ∧∨␈ε¬0␈↓ ¬d␈εn␈↓ ¬v␈ε¬+1␈↓ π␈εn
␈β
p␈↓ εh␈εk
␈β
u␈↓ ↓H␈εαAccording␈α
to␈α
Eq.␈α∞(6)␈α
w␈α␈e␈α
will␈α
hav␈α␈e␈↓ ¬k␈ελY␈↓ ε~␈εα=␈α(␈↓ εV␈ελa␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈α	1)/␈↓ π]␈ελb␈↓ πk␈εα,␈α∞hence␈α
the␈α
general␈α
sequence
␈β∞β␈↓ ε␈εk
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εα(2)␈αsatis|es
␈β∞k␈↓ αk␈ελX␈↓ β ␈εα=␈α
(␈↓ βZ␈ελA␈↓ βr␈ελY␈↓ ∧!␈εα+␈↓ ∧M␈ελX␈↓ ∧t␈εα)␈↓ ¬ε␈εαmod␈↓ ¬P␈ελm␈↓ ¬p␈εα,␈↓ εH␈εαwhere␈↓ π0␈ελA␈↓ πR␈εα=␈α
(␈↓ λ␈ελX␈↓ λ3␈ελb␈↓ λI␈εα+␈↓ λu␈ελc␈↓ 	∧␈εα)␈↓ 	⊗␈εαmod␈↓ 	`␈ελm␈↓ 	␈␈εα.␈↓ α␈εα(8)
␈β∞y␈↓ β∧␈εn␈↓ ∧π␈εn␈↓ ∧f␈ε¬0␈↓ λ%␈ε¬0
␈β⊂¬␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β⊂P␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Exa␈α␈mple␈αλ(3␈α␈)␈α	s␈α␈ho␈α␈ws␈αλa␈απsituat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αλin␈αλwh␈α␈ich␈↓ π∞␈ε	X␈↓ π;␈εβ=␈↓ πe␈ε	X␈↓ λ	␈εβ,␈α	so␈απthe␈απsequ␈α␈enc␈α␈e␈αλbe␈α␈gins␈αλa␈α␈gain
␈β⊂Z␈↓ π%␈εε4␈↓ π|␈εε0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈α
t␈α␈he␈αbe␈α␈ginn␈α␈i␈α↓n␈α␈g.␈α∂Giv␈α␈e␈αan␈αe␈α␈xam␈α␈ple␈αof␈αa␈α
line␈α␈ar␈αcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈tial␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α↓ith␈↓ 
6␈ε	m␈↓ 
↑␈εβ=␈α10
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αwhich␈↓ α\␈ε	X␈↓ β
␈εβnev␈α}er␈αap␈α␈pea␈α␈rs␈αaga␈α␈in␈αin␈αth␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce.
␈β⊃*␈↓ αs␈εε0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.1␈ε∞␈↓ λλCH␈α␈OICE␈α	OF␈α	MODUL␈α␈U␈α␈S␈↓ λ␈εα11
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈απtha␈α␈t␈αλif␈↓ ∧,␈ε	a␈↓ ∧D␈εβan␈α␈d␈↓ ¬↓␈ε	m␈↓ ¬&␈εβare␈απrelativ␈α␈ely␈απprime␈α␈,␈α	th␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈↓ λz␈ε	X␈↓ 	%␈εβwil␈α↓l␈αλa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈απapp␈α␈ea␈α␈r
␈βα5␈↓ 	⊃␈εε0
␈βαR␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αp␈α␈eriod␈α␈.
␈ββπ␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β⊗␈ε	a␈↓ β0␈εβa␈α␈nd␈↓ βo␈ε	m␈↓ ∧∃␈εβare␈α	n␈α␈ot␈α	relativ␈α}el␈α↓y␈αλprime␈α␈,␈α
exp␈α␈lain␈α	wh␈α␈y␈αλthe␈α	se␈α␈que␈α␈nce␈α	will␈α
b␈α␈e␈α	some␈α␈-
␈ββ/␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈at␈α
ha␈α␈nd␈α␈i␈α↓c␈α␈app␈α␈ed␈α
a␈α␈nd␈α
p␈α␈rob␈α␈ably␈α
n␈α␈ot␈α
v␈α␈ery␈α
r␈α␈and␈α␈om;␈α∞hen␈α␈ce␈α
w␈α␈e␈α∞will␈α∞g␈α␈ener␈α␈all␈α↓y␈α
wa␈α␈n␈α␈t␈α
the
␈ββV␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplier␈↓ α`␈ε	a␈↓ α|␈εβto␈α
be␈αrelat␈α␈i␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈αth␈α␈e␈αmod␈α␈ulus␈↓ π*␈ε	m␈↓ πG␈εβ.
␈β∧␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	11␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αEq␈α␈.␈α(6).
␈β∧A␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Equ␈α␈ation␈α
(6)␈α∞ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈α∞for␈↓ ¬N␈ε	k␈↓ ¬l␈ε↔∃␈εβ␈α∂0.␈α∀If␈α∞po␈α␈ssible,␈α∂giv␈α␈e␈α
a␈α∞form␈α␈u␈α␈la␈α∞tha␈α␈t␈α∞exp␈α␈resse␈α␈s
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α!␈εβin␈α
terms␈αof␈↓ βK␈ε	X␈↓ β⎇␈εβfor␈ε⊂␈αne␈α␈gativ␈α}e␈εβ␈αvalu␈α␈es␈αof␈↓ εB␈ε	k␈↓ εR␈εβ.
␈β∧s␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈εε+␈↓ αλ␈εk␈↓ βb␈εn
␈β¬p␈↓ ∧S␈εαOur␈αεcurren␈α␈t␈αεgoal␈αεis␈απto␈αε|nd␈αεgood␈απvalues␈αεfor␈αεthe␈αεparameters
␈β¬s␈↓ ↓H␈ε∪3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.1.␈α
C␈α␈hoice␈α¬of␈αεmo␈α␈du␈α␈lus.
␈βε≠␈↓ ↓H␈εαthat␈α
de|ne␈α
a␈α
linear␈αcongruen␈α␈tial␈α
sequence.␈αLet␈α
us␈α|rst␈α
consider␈α
the␈α
proper␈α
choice
␈βεF␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ β5␈ελm␈↓ βU␈εα.␈α∂We␈α
wan␈α␈t␈↓ ¬	␈ελm␈↓ ¬6␈εαto␈α
be␈α
rather␈α∞large,␈α
since␈α
the␈α
period␈α
cannot␈α
hav␈α␈e
␈βεq␈↓ ↓H␈εαmore␈αthan␈↓ αv␈ελm␈↓ β"␈εαelemen␈α␈ts.␈α~(Ev␈α␈en␈αif␈αa␈αperson␈αwan␈α␈ts␈α
to␈αgenerate␈αonly␈αrandom␈αzeros
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εαand␈αones,␈α
he␈α
should␈ε∂␈α
not␈εα␈α
tak␈α␈e␈↓ ¬≡␈ελm␈↓ ¬I␈εα=␈α2,␈α
for␈α
the␈αsequence␈α
at␈α
best␈α
w␈α␈ould␈α
then␈αhav␈α␈e
␈βπH␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞form␈↓ αa␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β⊃␈εα,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈αε1,␈↓ ∧m␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬≥␈εα!␈α∪Methods␈α∞for␈α∂modifying␈α∞random␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞to␈α∞get
␈βπs␈↓ ↓H␈εαrandom␈αzeros␈αand␈αones␈αare␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α3.4.)
␈βλ∨␈↓ α␈εαAnother␈α∞factor␈α∞that␈α∞in⎇uences␈α∞our␈α∞choice␈α∞of␈↓ πV␈ελm␈↓ λ∧␈εαis␈α∞speed␈α∞of␈α∞generation:␈α⊂We
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαwan␈α␈t␈αto␈αpick␈αa␈αvalue␈αso␈αthat␈αthe␈αcomputation␈αof␈α(␈↓ πY␈ελa␈↓ πk␈ελX␈↓ λ≥␈εα+␈↓ λI␈ελc␈↓ λX␈εα)␈↓ λj␈εαmod␈↓ 	4␈ελm␈↓ 	←␈εαis␈αfast.
␈βλX␈↓ λ∧␈εn
␈βλv␈↓ α␈εαConsider␈ε∃␈α⊂M␈α␈IX␈εα␈α∂as␈α⊂an␈α⊂example.␈α⊗We␈α⊂can␈α⊂compute␈↓ λ≤␈ελy␈↓ λ6␈εαmod␈↓ 	␈ελm␈↓ 	0␈εαby␈α∂putting␈↓ 
k␈ελy␈↓ ∞␈εαin
␈β	!␈↓ ↓H␈εαregisters␈α
A␈α∞and␈α
X␈α∞and␈α∞dividing␈α
by␈↓ ¬y␈ελm␈↓ ε→␈εα;␈α∞assuming␈α∞that␈↓ λ≡␈ελy␈↓ λ@␈εαand␈↓ 	λ␈ελm␈↓ 	5␈εαare␈α
positiv␈α␈e,␈α∞w␈α␈e
␈β	L␈↓ ↓H␈εαsee␈αthat␈↓ αO␈ελy␈↓ αi␈εαmod␈↓ β3␈ελm␈↓ β↑␈εαwill␈αthen␈αappear␈αin␈αregister␈αX.␈αBut␈αdivision␈αis␈αa␈αcomparativ␈α␈ely
␈β	x␈↓ ↓H␈εαslo␈α␈w␈α	operation,␈α
and␈α
it␈α	can␈α
be␈α
av␈α␈oided␈α	if␈α
w␈α␈e␈α	tak␈α␈e␈↓ π0␈ελm␈↓ πY␈εαto␈α
be␈α	a␈α
value␈α	that␈α
is␈α	especially
␈β
#␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t,␈αsuch␈αas␈αthe␈ε∂␈αw␈α␈ord␈αsize␈εα␈αof␈αour␈αcomputer.
␈β
J␈↓ πA␈εe
␈β
O␈↓ α␈εαLet␈↓ αK␈ελw␈↓ αn␈εαbe␈αλthe␈α	computer's␈αλw␈α␈ord␈α	size,␈α	namely,␈↓ π/␈εα2␈↓ πV␈εαon␈αλan␈↓ λ3␈ελe␈↓ λA␈εα-bit␈αλbinary␈α	computer␈αλor
␈β
u␈↓ ↓l␈εe
␈β
z␈↓ ↓H␈εα1␈↓ ↓Z␈εα0␈↓ α↓␈εαon␈α
an␈↓ αa␈ελe␈↓ αo␈εα-digit␈α
decimal␈α
machine.␈α∃(In␈α
this␈α
book␈α
w␈α␈e␈α
shall␈α	often␈α
use␈α
the␈α
letter␈↓ 
t␈ελe␈↓ ␈εαto
␈β%␈↓ ↓H␈εαdenote␈αan␈αarbitrary␈αin␈α␈teger␈αexponen␈α␈t,␈αinstead␈αof␈αthe␈αbase␈αof␈αnatural␈αlogarithms,
␈βP␈↓ ↓H␈εαhoping␈αthat␈αthe␈αcon␈α␈text␈αwill␈αmak␈α␈e␈αour␈αnotation␈αunam␈α␈biguous.␈αPh␈α␈ysicists␈αhav␈α␈e␈αa
␈β|␈↓ ↓H␈εαsimilar␈α
problem␈α∞when␈α
they␈α∞use␈↓ ¬@␈ελe␈↓ ¬[␈εαfor␈α∞the␈α
charge␈α∞on␈α∞an␈α
electron.)␈α≤The␈α∞result␈α
of
␈β'␈↓ ↓H␈εαan␈α∞addition␈α∂operation␈α∂is␈α∞usually␈α∂giv␈α␈en␈α∞modulo␈↓ π9␈ελw␈↓ πT␈εα,␈α∂ex␈α␈cept␈α∂on␈α∞ones'-complemen␈α␈t
␈βR␈↓ ↓H␈εαmachines;␈α	and␈αλm␈α␈ultiplication␈αλmod␈↓ ¬\␈ελw␈↓ ¬␈␈εαis␈αλalso␈αλquite␈αλsimple,␈α	since␈αλthe␈αλdesired␈αλresult␈αλis
␈β⎇␈↓ ↓H␈εαthe␈αλlo␈α␈w␈α␈er␈α	half␈αλof␈α	the␈αλproduct.␈αTh␈α␈us,␈α
the␈αλfollo␈α␈wing␈α	program␈αλcomputes␈α	the␈αλquan␈α␈tity
␈β
(␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελa␈↓ ↓f␈ελX␈↓ α␈εα+␈↓ α7␈ελc␈↓ αF␈εα)␈↓ αX␈εαmod␈↓ β"␈ελw␈↓ βH␈εαe}cien␈α␈tly:
␈β
y␈↓ ∧∀␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ¬⊂␈ε∃A
␈β
|␈↓ ¬l␈εβrA␈↓ ε≠␈ε↔ ␈↓ εE␈ε	a␈↓ εV␈εβ.
␈β∞ ␈↓ ∧∀␈ε∃M␈α␈UL␈↓ ¬⊂␈ε∃X
␈β∞#␈↓ ¬l␈εβrAX␈↓ ε3␈ε↔ ␈εβ␈α	(␈↓ εh␈εβrA␈↓ π
␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈↓ π1␈ε	X␈↓ πL␈εβ.
␈β∞6␈↓ α␈εα(1)
␈β∞H␈↓ ∧∀␈ε∃S␈α␈LAX␈↓ ¬⊂␈ε∃5
␈β∞K␈↓ ¬l␈εβrA␈↓ ε≠␈ε↔ ␈↓ εE␈εβrAX␈↓ πλ␈εβmo␈α␈d␈↓ πL␈ε	w␈↓ πe␈εβ.
␈β∞p␈↓ ∧∀␈ε∃A␈α␈DD␈↓ ¬⊂␈ε∃C
␈β∞s␈↓ ¬l␈εβrA␈↓ ε≠␈ε↔ ␈εβ␈α	(␈↓ εP␈εβrA␈↓ ε⎇␈εβ+␈↓ π%␈ε	c␈↓ π2␈εβ)␈↓ πC␈εβmod␈↓ λλ␈ε	w␈↓ λ ␈εβ.
␈β∞u␈↓ λN␈∧∞uλN≠∂
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαThe␈απresult␈αλappears␈αλin␈απregister␈αλA.␈απThe␈αλo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αλtoggle␈απmigh␈α␈t␈αλbe␈αλon␈απat␈αλthe␈απconclusion
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αsequence␈αof␈αinstructions,␈αand␈αif␈αthis␈αis␈αundesirable,␈αthe␈αcode␈αshould
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαbe␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈αby,␈αe.g.,␈α\␈↓ ∧ ␈ε∃J␈α␈OV␈α∀*+1␈↓ ¬1␈εα"␈αto␈αturn␈αit␈αo{.
␈β⊂D␈↓ α␈εαA␈α⊂clev␈α␈er␈α⊂technique␈α⊂that␈α⊂is␈α⊂less␈α⊂commonly␈α⊂kno␈α␈wn␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂used␈α⊂to␈α⊂perform
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαcomputations␈αλmodulo␈αλ(␈↓ ∧,␈ελw␈↓ ∧J␈εα+␈αβ1).␈αFor␈αλreasons␈α	to␈αλbe␈αλexplained␈α	later,␈α	w␈α␈e␈αλwill␈αλgenerally
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαwan␈α␈t␈↓ α ␈ελc␈↓ α8␈εα=␈α
0␈αwhen␈↓ βa␈ελm␈↓ ∧␈εα=␈↓ ∧9␈ελw␈↓ ∧[␈εα+␈απ1,␈αso␈αw␈α␈e␈αmerely␈αneed␈αto␈αcompute␈α(␈↓ 	∨␈ελa␈↓ 	1␈ελX␈↓ 	O␈εα)␈↓ 	a␈εαmod␈↓ 
+␈εα(␈↓ 
7␈ελw␈↓ 
Y␈εα+␈απ1).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα12␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈αprogram␈αdoes␈αthis:
␈βαn␈↓ β9␈ε∃LDA␈α␈N␈↓ ∧5␈ε∃X
␈βαq␈↓ αM␈ε	01␈↓ ¬b␈εβrA␈↓ ε⊂␈ε↔ ␈α	␈␈↓ ε\␈ε	X␈↓ εw␈εβ.
␈ββ⊗␈↓ β9␈ε∃MUL␈↓ ∧5␈ε∃A
␈ββ→␈↓ αM␈ε	02␈↓ ¬b␈εβrAX␈↓ ε(␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ ε↑␈εβrA␈↓ πβ␈εβ)␈ε↔␈απ↓␈↓ π&␈ε	a␈↓ π6␈εβ.
␈ββ=␈↓ β9␈ε∃STX␈↓ ∧5␈ε∃TEM␈α␈P
␈ββ@␈↓ αM␈ε	03
␈ββe␈↓ β9␈ε∃SUB␈↓ ∧5␈ε∃TEM␈α␈P
␈ββg␈↓ α␈εα(2)
␈ββh␈↓ αM␈ε	04␈↓ ¬b␈εβrA␈↓ ε⊂␈ε↔ ␈↓ ε:␈εβrA␈↓ εg␈ε↔␈␈↓ π⊂␈εβrX␈↓ π5␈εβ.
␈β∧
␈↓ β9␈ε∃JAN␈α␈N␈↓ ∧5␈ε∃*+3
␈β∧⊂␈↓ αM␈ε	05␈↓ ¬b␈εβEx␈α␈i␈α↓t␈αif␈↓ εK␈εβrA␈↓ εy␈ε↔∃␈εβ␈α
0.
␈β∧4␈↓ β9␈ε∃INC␈α␈A␈↓ ∧5␈ε∃2
␈β∧7␈↓ αM␈ε	06␈↓ ¬b␈εβrA␈↓ ε⊂␈ε↔ ␈↓ ε:␈εβrA␈↓ εg␈εβ+␈αλ2␈α␈.
␈β∧\␈↓ β9␈ε∃ADD␈↓ ∧5␈ε∃=␈↓ ¬$␈ε∃=
␈β∧←␈↓ αM␈ε	07␈↓ ∧J␈ε	w␈↓ ∧j␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬b␈εβrA␈↓ ε⊂␈ε↔ ␈↓ ε:␈εβrA␈↓ εg␈εβ+␈↓ π⊂␈ε	w␈↓ π0␈ε↔␈␈εβ␈απ1.␈α~(Cf.␈αex␈α}ercise␈α3.)
␈β∧a␈↓ 
∃␈∧∧a
∃≠∂
␈β¬'␈↓ ↓H␈εαRegister␈α
A␈α
no␈α␈w␈α
con␈α␈tains␈αthe␈α
value␈α
(␈↓ ¬r␈ελa␈↓ ε∧␈ελX␈↓ ε"␈εα)␈↓ ε4␈εαmod␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελw␈↓ π*␈εα+␈αε1).␈α
Of␈α
course,␈αthis␈α
value␈α
migh␈α␈t
␈β¬S␈↓ ↓H␈εαlie␈αan␈α␈ywhere␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α0␈αand␈↓ ¬∧␈ελw␈↓ ¬≡␈εα,␈αinclusiv␈α␈e,␈αso␈αthe␈αreader␈αmay␈αlegitimately␈αw␈α␈onder
␈β¬}␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈αw␈α␈e␈α
can␈αrepresen␈α␈t␈α
so␈αman␈α␈y␈α
values␈αin␈α
the␈αA-register!␈α
(The␈α
register␈αobviously
␈βε)␈↓ ↓H␈εαcannot␈α
hold␈αa␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αlarger␈α
than␈↓ ¬←␈ελw␈↓ ¬␈␈ε⊗␈␈εα␈αε1.)␈αThe␈α
answ␈α␈er␈αis␈α
that␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
will␈αbe␈α
on
␈βεT␈↓ ↓H␈εαafter␈α	the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	program␈α	if␈α	and␈α	only␈α	if␈α	the␈α	result␈α	equals␈↓ λ→␈ελw␈↓ λ4␈εα,␈α	assuming␈α	that␈α	o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w
␈βε␈␈↓ ↓H␈εαwas␈αinitially␈α
o{.␈αIt␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αsimply␈αto␈αreject␈α
the␈αvalue␈↓ λe␈ελw␈↓ 	␈εαif␈αit␈αappears␈αin␈α
the
␈βπ+␈↓ ↓H␈εαcongruen␈α␈tial␈α
sequence␈α∞modulo␈↓ ¬-␈ελw␈↓ ¬Q␈εα+␈α	1;␈α∞this␈α∞will␈α∞happen␈α
if␈α∞lines␈α
05␈α∞and␈α
06␈α∞of␈α
(2)
␈βπV␈↓ ↓H␈εαare␈αreplaced␈αby␈α\␈↓ βX␈ε∃J␈α␈ANN␈α∀*+4␈α␈;␈↓ ¬≡␈ε∃IN␈α␈CA␈α∀2;␈↓ ε;␈ε∃JA␈α␈P␈α∃*␈α␈-5␈↓ πL␈εα".
␈βλ↓␈↓ α␈εαTo␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αcode␈α(2)␈αactually␈αdoes␈αdetermine␈α(␈↓ λβ␈ελa␈↓ λ∃␈ελX␈↓ λ3␈εα)␈↓ λE␈εαmod␈↓ 	∂␈εα(␈↓ 	≠␈ελw␈↓ 	=␈εα+␈απ1),␈αnote␈αthat
␈βλ,␈↓ ↓H␈εαin␈αline␈α04␈α
w␈α␈e␈αare␈α
subtracting␈αthe␈αlo␈α␈w␈α␈er␈α
half␈αof␈α
the␈αproduct␈αfrom␈α
the␈αupper␈αhalf.
␈βλW␈↓ ↓H␈εαNo␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
can␈α∞occur␈α
at␈α∞this␈α
step;␈α∞and␈α
if␈↓ εn␈ελa␈↓ π␈ελX␈↓ π*␈εα=␈↓ πZ␈ελq␈↓ πj␈ελw␈↓ λ∞␈εα+␈↓ λ;␈ελr␈↓ λK␈εα,␈α∞with␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
¬␈ελr␈↓ 
!␈εα<␈↓ 
Q␈ελw␈↓ 
l␈εα,␈α
w␈α␈e
␈β	β␈↓ ↓H␈εαwill␈αhav␈α␈e␈αthe␈αquan␈α␈tity␈↓ ∧0␈ελr␈↓ ∧G␈ε⊗␈␈↓ ∧s␈ελq␈↓ ¬⊂␈εαin␈αregister␈αA␈αafter␈αline␈α04.␈αNo␈α␈w
␈β	S␈↓ ∧m␈ελa␈↓ ∧␈␈ελX␈↓ ¬'␈εα=␈↓ ¬U␈ελq␈↓ ¬e␈εα(␈↓ ¬q␈ελw␈↓ ε∪␈εα+␈αλ1)␈αλ+␈αλ(␈↓ π≥␈ελr␈↓ π5␈ε⊗␈␈↓ πa␈ελq␈↓ πq␈εα),
␈β
#␈↓ ↓H␈εαand␈α∞since␈↓ αj␈ελq␈↓ βλ␈εα<␈↓ β:␈ελw␈↓ βT␈εα,␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈ε⊗␈α∂␈␈↓ ¬ ␈ελw␈↓ ¬H␈εα<␈↓ ¬z␈ελr␈↓ ε∪␈ε⊗␈␈↓ εA␈ελq␈↓ ε←␈εα<␈↓ π⊂␈ελw␈↓ π+␈εα;␈α∂hence␈α∂(␈↓ λ7␈ελa␈↓ λH␈ελX␈↓ λf␈εα)␈↓ λx␈εαmod␈↓ 	B␈εα(␈↓ 	N␈ελw␈↓ 	s␈εα+␈α	1)␈α∞equals
␈β
N␈↓ ↓H␈εαeither␈↓ α-␈ελr␈↓ αE␈ε⊗␈␈↓ αp␈ελq␈↓ β␈εαor␈↓ β7␈ελr␈↓ βO␈ε⊗␈␈↓ βz␈ελq␈↓ ∧∩␈εα+␈απ(␈↓ ∧I␈ελw␈↓ ∧k␈εα+␈αλ1),␈αdepending␈αon␈αwhether␈↓ λ1␈ελr␈↓ λI␈ε⊗␈␈↓ λt␈ελq␈↓ 	∞␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈αor␈↓ 
ε␈ελr␈↓ 
≥␈ε⊗␈␈↓ 
H␈ελq␈↓ 
b␈εα<␈α
0.
␈β
y␈↓ α␈εαA␈αsimilar␈αtechnique␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αget␈αthe␈αproduct␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αmodulo
␈β%␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελw␈↓ ↓v␈ε⊗␈␈εα␈αλ1);␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α8.
␈βP␈↓ α␈εαIn␈α∞later␈α
sections␈α
w␈α␈e␈α∞shall␈α
require␈α∞a␈α
kno␈α␈wledge␈α∞of␈α
the␈α∞prime␈α
factors␈α∞of␈↓ 
a␈ελm␈↓ ∞␈εαin
␈β{␈↓ ↓H␈εαorder␈α	to␈α	choose␈α	the␈α	m␈α␈ultiplier␈↓ ¬_␈ελa␈↓ ¬2␈εαcorrectly.␈αTable␈α	1␈α	lists␈α	the␈α	complete␈α	factorization
␈β&␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓s␈ελw␈↓ α⊗␈ε⊗ε␈εα␈α	1␈α
in␈α␈to␈α
primes␈α
for␈α
nearly␈α
ev␈α␈ery␈α
kno␈α␈wn␈α
computer␈α
w␈α␈ord␈α
size;␈α
the␈α
methods
␈βQ␈↓ ↓H␈εαof␈αSection␈α4.5.4␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αextend␈αthis␈αtable␈αif␈αdesired.
␈β⎇␈↓ α␈εαThe␈α
reader␈α
may␈α
w␈α␈ell␈αask␈α
wh␈α␈y␈α
w␈α␈e␈α
bother␈α
to␈α
consider␈α
using␈↓ 	∩␈ελm␈↓ 	<␈εα=␈↓ 	j␈ελw␈↓ 

␈ε⊗ε␈εα␈αε1,␈α
when
␈β
(␈↓ ↓H␈εαthe␈αchoice␈↓ αp␈ελm␈↓ β~␈εα=␈↓ βH␈ελw␈↓ βn␈εαis␈αso␈αmanifestly␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t.␈αThe␈αreason␈αis␈αthat␈ε∂␈αwhen␈↓ 
0␈ελm␈↓ 
Z␈εα=␈↓ λ␈ελw␈↓ "␈ε∂,
␈β
S␈↓ ↓H␈ε∂the␈αrigh␈α␈t-hand␈αdigits␈αof␈↓ ∧C␈ελX␈↓ ∧y␈ε∂are␈αm␈α␈uch␈αless␈αrandom␈αthan␈αthe␈αleft-hand␈αdigits.␈εα␈αIf␈↓ _␈ελd
␈β
`␈↓ ∧\␈εn
␈β
}␈↓ ↓H␈εαis␈αa␈αdivisor␈αof␈↓ β*␈ελm␈↓ βI␈εα,␈αand␈αif
␈β∞I␈↓ ¬␈ελY␈↓ ¬<␈εα=␈↓ ¬j␈ελX␈↓ ε~␈εαmod␈↓ εd␈ελd␈↓ εy␈εα,␈↓ α␈εα(3)
␈β∞V␈↓ ¬ ␈εn␈↓ εβ␈εn
␈β∂	␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αeasily␈αsho␈α␈w␈αthat
␈β∂J␈↓ ∧←␈ελY␈↓ ¬<␈εα=␈α
(␈↓ ¬v␈ελa␈↓ επ␈ελY␈↓ ε6␈εα+␈↓ εb␈ελc␈↓ εp␈εα)␈↓ πα␈εαmod␈↓ πL␈ελd␈↓ πa␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β∂X␈↓ ∧t␈εn␈↓ ¬ε␈ε¬+1␈↓ ε≤␈εn
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εα(For,␈↓ α$␈ελX␈↓ βε␈εα=␈↓ β7␈ελa␈↓ βI␈ελX␈↓ β⎇␈εα+␈↓ ∧*␈ελc␈↓ ∧A␈ε⊗␈␈↓ ∧n␈ελq␈↓ ∧}␈ελm␈↓ ¬+␈εαfor␈α∞some␈α
in␈α␈teger␈↓ π9␈ελq␈↓ πI␈εα,␈α∞and␈α
taking␈α∞both␈α
sides␈α∞mod␈↓ _␈ελd
␈β⊂(␈↓ α=␈εn␈↓ αN␈ε¬+1␈↓ βb␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαcauses␈αthe␈αquan␈α␈tity␈↓ ∧¬␈ελq␈↓ ∧∃␈ελm␈↓ ∧@␈εαto␈αdrop␈αout␈αwhen␈↓ ε↑␈ελd␈↓ ε␈␈εαis␈αa␈αfactor␈αof␈↓ λS␈ελm␈↓ λr␈εα.)
␈β⊂q␈↓ α␈εαTo␈αillustrate␈αthe␈αsigni|cance␈α
of␈αEq.␈α(4),␈αlet␈αus␈αsuppose,␈αfor␈αexample,␈αthat␈α
w␈α␈e
␈β⊃↔␈↓ εE␈εe
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
a␈α
binary␈α
computer.␈α∂If␈↓ ¬α␈ελm␈↓ ¬-␈εα=␈↓ ¬]␈ελw␈↓ εβ␈εα=␈↓ ε3␈εα2␈↓ εP␈εα,␈α∞the␈α
lo␈α␈w-order␈α
four␈α
bits␈α
of␈↓ 
ε␈ελX␈↓ 
=␈εαare␈α
the
␈β⊃)␈↓ 
∨␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.1␈ε∞␈↓ λλCH␈α␈OICE␈α	OF␈α	MODUL␈α␈U␈α␈S␈↓ λ␈εα13
␈βα∨␈↓ ↓H␈εα(Table␈α1␈αwill␈αgo␈αon␈αthis␈αpage,␈αit's␈αbeing␈αset␈αseparately)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα14␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.1
␈βα!␈↓ ∧I␈ε¬4
␈βα&␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈↓ αY␈ελY␈↓ β␈εα=␈↓ β<␈ελX␈↓ βm␈εαmod␈↓ ∧7␈εα2␈↓ ∧W␈εα.␈α⊂The␈α∞gist␈α
of␈α
Eq.␈α
(4)␈α∞is␈α
that␈α
the␈α∞lo␈α␈w-order␈α
four␈α
bits␈α
of
␈βα4␈↓ αn␈εn␈↓ βU␈εn
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε⊗h␈↓ ↓T␈ελX␈↓ ↓␈␈ε⊗i␈εα␈αλform␈αλa␈α	congruen␈α␈tial␈αλsequence␈αλthat␈αλhas␈α	a␈αλperiod␈αλof␈α	length␈αλ16␈αλor␈α	less.␈α
Similarly,
␈βα←␈↓ ↓m␈εn
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞lo␈α␈w-order␈α∂|v␈α␈e␈α∂bits␈α∞are␈α∂periodic␈α∞with␈α∂a␈α∂period␈α∞of␈α∂at␈α∂most␈α∞32;␈α⊂and␈α∂the␈α∞least
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαsigni|can␈α␈t␈αbit␈αof␈↓ βU␈ελX␈↓ ∧␈εαis␈αeither␈αconstan␈α␈t␈αor␈αstrictly␈αalternating.
␈ββ5␈↓ βn␈εn
␈ββS␈↓ α␈εαThis␈α∂situation␈α∞does␈α∂not␈α∂occur␈α∞when␈↓ εR␈ελm␈↓ π␈εα=␈↓ π3␈ελw␈↓ πW␈ε⊗ε␈εα␈α
1;␈α∞in␈α∂such␈α∂a␈α∞case,␈α⊂the␈α∞lo␈α␈w-
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαorder␈α
bits␈α∞of␈↓ β~␈ελX␈↓ βR␈εαwill␈α∞behav␈α␈e␈α
just␈α∞as␈α
randomly␈α∞as␈α
the␈α
high-order␈α∞bits␈α
do.␈α⊃If,␈α
for
␈β∧␈↓ β3␈εn
␈β∧$␈↓ βM␈ε¬35␈↓ ¬0␈ε¬35
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαexample,␈↓ αb␈ελw␈↓ β
␈εα=␈↓ β;␈εα2␈↓ βx␈εαand␈↓ ∧@␈ελm␈↓ ∧l␈εα=␈↓ ¬≡␈εα2␈↓ ¬V␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞of␈α∞the␈α∞sequence␈α∞will␈α∞not␈α
be
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ery␈α
random␈α
if␈α
w␈α␈e␈αconsider␈α
only␈α
their␈αremainders␈α
mod␈α
31,␈α71,␈α
127,␈αor␈α
122921␈α
(cf.
␈β¬␈↓ ↓H␈εαTable␈α∞1);␈α∂but␈α∞the␈α∞lo␈α␈w-order␈α∞bit,␈α∂which␈α∞represen␈α␈ts␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞of␈α∞the␈α∞sequence
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈en␈αmod␈α2,␈αw␈α␈ould␈αbe␈αsatisfactorily␈αrandom.
␈β¬V␈↓ α␈εαAnother␈α∂alternativ␈α␈e␈α⊂is␈α∂to␈α∂let␈↓ ¬b␈ελm␈↓ ε⊃␈εαbe␈α∂the␈α∂largest␈α∂prime␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂less␈α∂than␈↓ λ␈ελw␈↓ "␈εα.
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαThis␈α
prime␈αmay␈α
be␈α
found␈α
by␈α
using␈α
the␈α
techniques␈α
of␈α
Section␈α
4.5.4,␈α
and␈α
a␈αtable
␈βε-␈↓ ↓H␈εαof␈αsuitably␈αlarge␈αprimes␈αappears␈αin␈αthat␈αsection.
␈βεX␈↓ α␈εαIn␈α⊃most␈α⊃applications,␈α∩the␈α⊃lo␈α␈w-order␈α⊃bits␈α⊃are␈α⊃insigni|can␈α␈t,␈α∩and␈α⊃the␈α⊃choice
␈βπβ␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓s␈εα=␈↓ α#␈ελw␈↓ αK␈εαis␈α
quite␈α
satisfactory←pro␈α␈vided␈α
that␈α
the␈α
programmer␈α
using␈α
the␈α
random
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αdoes␈αso␈αwisely.
␈βπc␈↓ α␈εαOur␈α
discussion␈α
so␈α
far␈α
has␈α
been␈α
based␈α
on␈α
a␈α
\signed␈α
magnitude"␈α	computer␈α
lik␈α␈e
␈βλ∞␈↓ ↓H␈ε∃M␈α␈IX␈εα.␈αSimilar␈α
ideas␈α
apply␈α
to␈αmachines␈α
that␈α
use␈α
complemen␈α␈t␈α
notations,␈αalthough
␈βλ:␈↓ ↓H␈εαthere␈α∞are␈α∞some␈α∞instructiv␈α␈e␈α∂variations.␈α∪For␈α∞example,␈α∂the␈α∞PDP-10␈α∞computer␈α∞has
␈βλe␈↓ ↓H␈εα36␈αbits␈αwith␈αt␈α␈w␈α␈o's␈αcomplemen␈α␈t␈αarithmetic;␈αwhen␈αit␈αcomputes␈αthe␈αproduct␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o
␈β	⊂␈↓ ↓H␈εαnonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegers,␈α
the␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αhalf␈α
con␈α␈tains␈αthe␈αleast␈α
signi|can␈α␈t␈α35␈α
bits␈αwith␈αa
␈β	6␈↓ λv␈ε¬35␈↓ 	|␈ε¬3␈α↓6
␈β	;␈↓ ↓H␈εαplus␈αsign.␈α∂On␈α
this␈αmachine␈α
w␈α␈e␈α
should␈α
therefore␈α
tak␈α␈e␈↓ λ∞␈ελw␈↓ λ5␈εα=␈↓ λd␈εα2␈↓ 	∪␈εα,␈α
not␈↓ 	j␈εα2␈↓ 
→␈εα.␈α∂The␈α32-
␈β	f␈↓ ↓H␈εαbit␈α
t␈α␈w␈α␈o's␈αcomplemen␈α␈t␈αarithmetic␈αon␈αIBM␈αSystem/370␈α
computers␈αis␈αdi{eren␈α␈t:␈αthe
␈β
∩␈↓ ↓H␈εαlo␈α␈w␈α␈er␈αhalf␈αof␈αa␈αproduct␈αcon␈α␈tains␈αa␈αfull␈α32␈αbits.␈αSome␈αprogrammers␈αhav␈α␈e␈αfelt␈αthat
␈β
=␈↓ ↓H␈εαthis␈α	is␈α	a␈α	disadvan␈α␈tage,␈α
since␈α	the␈α	lo␈α␈w␈α␈er␈α	half␈α	can␈α
be␈α	negativ␈α␈e␈α	when␈α	the␈α	operands␈α	are
␈β
h␈↓ ↓H␈εαpositiv␈α␈e,␈α	and␈α	it␈αλis␈α	a␈α	n␈α␈uisance␈αλto␈α	correct␈α	this;␈α	but␈α	actually␈α	it␈αλis␈α	a␈α	distinct␈ε∂␈αλadvan␈α␈tage
␈β∞␈↓ ⊂␈ε¬32
␈β∪␈↓ ↓H␈εαfrom␈α
the␈α
standpoin␈α␈t␈α
of␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generation,␈α∞since␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
tak␈α␈e␈↓ 
"␈ελm␈↓ 
N␈εα=␈↓ 
}␈εα2
␈β9␈↓ β␈ε¬31
␈β>␈↓ ↓H␈εαinstead␈αof␈↓ αn␈εα2␈↓ β(␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α4).
␈β=␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β
␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M12␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α
ex␈α}ercise␈α
3.2.1↑3␈α
w␈α␈e␈α
con␈α␈clud␈α␈ed␈α
th␈α␈at␈αth␈α␈e␈α
best␈α
con␈α␈gru␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈αgen␈α␈erato␈α␈rs␈αwill
␈β
3␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α→␈ε	a␈↓ α7␈εβrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∞to␈↓ ∧Y␈ε	m␈↓ ∧w␈εβ.␈α∪S␈α␈ho␈α␈w␈α
that␈α
when␈↓ π∩␈ε	m␈↓ π=␈εβ=␈↓ πl␈ε	w␈↓ λ∩␈εβi␈α↓n␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
case␈α
i␈α↓t␈α
i␈α↓s␈α
po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α∞to
␈β
X␈↓ ε
␈ε∃MIX
␈β
[␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈α
(␈↓ α\␈ε	a␈↓ αm␈ε	X␈↓ β⊃␈εβ+␈↓ β<␈ε	c␈↓ βI␈εβ)␈↓ βY␈εβmod␈↓ ∧≡␈ε	w␈↓ ∧D␈εβin␈α∞ju␈α␈st␈ε⊂␈α∞th␈α␈ree␈↓ εV␈εβinstru␈α␈ction␈α␈s,␈α∂ra␈α␈ther␈α
tha␈α␈n␈α
the␈α
fou␈α␈r␈α∞in␈α
(1),
␈β∞α␈↓ ↓H␈εβwith␈α
the␈αresu␈α␈lt␈αap␈α␈pea␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αin␈αre␈α␈gister␈αX.
␈β∞1␈↓ βT␈ε∃MIX
␈β∞4␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	16␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wri␈α↓te␈α
a␈↓ ∧≥␈εβsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αha␈α␈vin␈α␈g␈αthe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αch␈α␈arac␈α␈teristi␈α↓c␈α␈s:
␈β∞v␈↓ ∧v␈ε∃JM␈α␈P␈α∃R␈α␈AND␈α␈M
␈β∞y␈↓ α2␈εβCalli␈α↓n␈α␈g␈αseq␈α␈ue␈α␈nce:
␈β∂%␈↓ ε↓␈ε∃X␈α␈RAN␈α␈D
␈β∂(␈↓ α1␈εβE␈α↓n␈α}try␈αc␈α␈ond␈α␈itions:␈↓ ∧v␈εβLoc␈α␈ation␈↓ εs␈εβcon␈α}tains␈αa␈α␈n␈αin␈α␈te␈α␈ger␈↓ 	∩␈ε	X␈↓ 	-␈εβ.
␈β∂W␈↓ αG␈εβEx␈α␈i␈α↓t␈αc␈α␈ond␈α␈itions:␈↓ ∧v␈ε	X␈↓ ¬≠␈ε↔ ␈↓ ¬E␈εβrA␈↓ ¬s␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ ε)␈ε	a␈↓ ε9␈ε	X␈↓ ε\␈εβ+␈↓ π¬␈ε	c␈↓ π∩␈εβ)␈↓ π#␈εβm␈α␈od␈↓ πg␈ε	w␈↓ λ␈εβ,␈↓ λ∀␈εβrX␈↓ λC␈ε↔ ␈εβ␈α	0,␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αo␈α␈{␈α↓.
␈β⊂≡␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α}us␈αa␈αca␈α␈l␈α↓l␈αon␈αthis␈αsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αwill␈αpro␈α␈du␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ex␈α␈t␈αran␈α␈do␈α␈m␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αa␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αcon␈α␈-
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ruen␈α}tial␈αsequ␈α␈enc␈α␈e.)
␈β⊂t␈↓ 	←␈ε∃MI␈α␈X
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈α
ca␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
con␈α␈stan␈α}t␈α
(␈↓ ¬4␈ε	w␈↓ ¬V␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α
be␈α
sp␈α␈eci|␈α␈ed␈α
in␈αgen␈α␈eral␈α
in␈α
th␈α␈e␈↓ 
*␈εβasse␈α␈m␈α␈bly
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβlan␈α␈gu␈α␈ag␈α␈e,␈αre␈α␈gard␈α␈less␈αof␈αth␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈αof␈αth␈α␈e␈αby␈α␈te␈αsize?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.2␈ε∞␈↓ πgCHOICE␈α	OF␈α	MU␈α␈L␈α}TIP␈α␈LIER␈↓ λ␈εα15
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ 
a␈εε32
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈α∂the␈α∞calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂o␈α␈f␈α∂li␈α↓n␈α␈ear␈α∞con␈α␈gru␈α␈en␈α␈tial␈α∂seq␈α␈ue␈α␈nces␈α∞wi␈α↓th␈↓ 	s␈ε	m␈↓ 
 ␈εβ=␈↓ 
Q␈εβ2␈↓ 	␈εβon
␈βαR␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α␈'␈α↓s-co␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈αm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αsu␈α␈ch␈αa␈α␈s␈αt␈α␈he␈αS␈α␈ystem␈α␈/37␈α␈0␈αseries.
␈ββ∧␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈en␈απthat␈↓ β}␈ε	m␈↓ ∧#␈εβi␈α↓s␈αλless␈αλth␈α␈an␈αλth␈α␈e␈αλw␈α␈ord␈αλsize,␈α	a␈α␈nd␈αλth␈α␈at␈↓ λ⊗␈ε	x␈↓ λ'␈εβ,␈↓ λ6␈ε	y␈↓ λQ␈εβa␈α␈re␈αλnon␈α␈ne␈α␈gativ␈α}e␈α	in␈α}teger␈α␈s
␈ββ+␈↓ ↓H␈εβless␈α∞th␈α␈an␈↓ αY␈ε	m␈↓ αv␈εβ,␈α∂sho␈α}w␈α∂th␈α␈at␈α∞th␈α␈e␈α∞di{erenc␈α␈e␈α∞(␈↓ ε∂␈ε	x␈↓ ε*␈ε↔␈␈↓ εU␈ε	y␈↓ εh␈εβ)␈↓ εx␈εβmod␈↓ π=␈ε	m␈↓ πh␈εβmay␈α
be␈α∞co␈α␈mpu␈α␈ted␈α∞in␈α∞ju␈α␈st␈α∞fou␈α␈r
␈ββP␈↓ ↓H␈ε∃M␈α␈IX
␈ββS␈↓ α∪␈εβins␈α␈truction␈α␈s,␈α∞witho␈α␈ut␈α
re␈α␈quiring␈αan␈α}y␈α
div␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n.␈α⊃What␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
be␈α␈st␈α
cod␈α␈e␈α
for␈α
th␈α␈e␈α
sum
␈ββz␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓l␈εβ+␈↓ α∀␈ε	y␈↓ α'␈εβ)␈↓ α7␈εβmod␈↓ α|␈ε	m␈↓ β→␈εβ?
␈β∧(␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧,␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈αprev␈α␈ious␈αex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈αsug␈α␈gests␈αthat␈αsub␈α␈traction␈αmo␈α␈d␈↓ λh␈ε	m␈↓ 	⊃␈εβis␈αea␈α␈si␈α↓e␈α␈r␈αto␈αp␈α␈erform
␈β∧T␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈α
ad␈α␈dition␈αm␈α␈od␈↓ βc␈ε	m␈↓ ∧␈εβ.␈αDiscuss␈αse␈α␈que␈α␈nces␈αg␈α␈ene␈α␈rated␈α
by␈α
the␈αru␈α␈le
␈β¬ ␈↓ ∧|␈ε	X␈↓ ¬R␈εβ=␈α
(␈↓ ελ␈ε	a␈↓ ε_␈ε	X␈↓ εG␈ε↔␈␈↓ εp␈ε	c␈↓ ε⎇␈εβ)␈↓ π
␈εβmod␈↓ πR␈ε	m␈↓ πo␈εβ.
␈β¬*␈↓ ¬∪␈εn␈↓ ¬#␈εε+1␈↓ ε/␈εn
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβAre␈αthe␈α␈se␈αseq␈α␈uen␈α␈ces␈αe␈α␈ssen␈α␈tia␈α␈l␈α↓ly␈αdi{eren␈α}t␈αfrom␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈n␈α␈tial␈αseq␈α␈uen␈α␈ces␈αas␈αd␈α␈e|n␈α␈ed
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αtex␈α␈t?␈αAre␈αth␈α␈ey␈αmo␈α␈re␈αsuited␈α
to␈αe}␈α␈cien␈α␈t␈αco␈α␈mpu␈α␈ter␈αca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈?
␈βεE␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αpa␈α␈tterns␈αc␈α␈an␈αy␈α}ou␈αs␈α␈pot␈αin␈αTa␈α␈ble␈α1?
␈βεs␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεt␈↓ βR␈ε∃M␈α␈IX
␈βεw␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wri␈α↓te␈α	a␈↓ ∧→␈εβprog␈α␈ram␈α	an␈α␈alogo␈α␈us␈α	to␈α
(2)␈α	that␈α	com␈α␈pu␈α␈tes␈α
(␈↓ λr␈ε	a␈↓ 	α␈ε	X␈↓ 	≡␈εβ)␈↓ 	/␈εβm␈α␈od␈↓ 	s␈εβ(␈↓ 	}␈ε	w␈↓ 
≥␈ε↔␈␈εβ␈α¬1).␈αThe
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αε0␈αεa␈α␈nd␈↓ αz␈ε	w␈↓ β∪␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α¬are␈α¬to␈αεb␈α␈e␈αεtrea␈α␈ted␈α¬as␈αεeq␈α␈uiva␈α␈len␈α␈t␈αεin␈α¬the␈α¬inp␈α␈ut␈αεa␈α␈nd␈α¬ou␈α␈tpu␈α␈t␈αεof␈αεy␈α}ou␈α␈r␈αεpro␈α␈gra␈α␈m.
␈βπM␈↓ βL␈ε∃MI␈α␈X
␈βπP␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	23␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wri␈α↓te␈αεa␈↓ ∧⊃␈εβp␈α␈rogra␈α␈m␈απan␈α␈alog␈α␈ou␈α␈s␈απto␈απth␈α␈e␈απon␈α␈e␈απin␈απe␈α␈x␈α␈ercise␈απ8␈α␈,␈αλbu␈α␈t␈απit␈απsho␈α␈uld␈αεcomp␈α␈ute
␈βπx␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ ↓c␈ε	X␈↓ ↓␈␈εβ)␈↓ α∂␈εβmod␈↓ αT␈εβ(␈↓ α←␈ε	w␈↓ α␈␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈).
␈βλt␈↓ ∧|␈εαIn␈αthis␈αsection␈αw␈α␈e␈αshall␈αsho␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αchoose␈αthe␈αm␈α␈ul-
␈βλw␈↓ ↓H␈ε∪3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.2.␈αCh␈α␈oice␈α
of␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ier.
␈β	∨␈↓ ↓H␈εαtiplier␈↓ α/␈ελa␈↓ αJ␈εαso␈α	as␈α
to␈α	giv␈α␈e␈α	the␈ε∂␈α	period␈α
of␈α	maxim␈α␈um␈α	length.␈εα␈αA␈α	long␈α
period␈α	is␈α	essen␈α␈tial␈α	for
␈β	J␈↓ ↓H␈εαan␈α␈y␈α	sequence␈α
that␈α
is␈α	to␈α
be␈α	used␈α
as␈α
a␈α	source␈α
of␈α
random␈α	n␈α␈um␈α␈bers;␈αindeed,␈α
w␈α␈e␈α	w␈α␈ould
␈β	u␈↓ ↓H␈εαhope␈αthat␈α
the␈αperiod␈αcon␈α␈tains␈αconsiderably␈αmore␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αthan␈αwill␈αev␈α␈er␈αbe␈α
used
␈β
 ␈↓ ↓H␈εαin␈αa␈αsingle␈αapplication.␈αTherefore␈αw␈α␈e␈αshall␈αconcern␈αourselv␈α␈es␈αin␈αthis␈αsection␈αwith
␈β
L␈↓ ↓H␈εαthe␈αquestion␈α
of␈αperiod␈αlength.␈α∞The␈αreader␈α
should␈αk␈α␈eep␈αin␈α
mind,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
that␈αa
␈β
w␈↓ ↓H␈εαlong␈α∞period␈α
is␈α∞only␈α∞one␈α∞desirable␈α∞criterion␈α∞for␈α∞the␈α∞randomness␈α∞of␈α∞our␈α
sequence.
␈β"␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,␈αwhen␈↓ β␈␈ελa␈↓ ∧≠␈εα=␈↓ ∧I␈ελc␈↓ ∧a␈εα=␈α
1,␈αthe␈αsequence␈αis␈αsimply␈↓ λ≡␈ελX␈↓ λ}␈εα=␈α
(␈↓ 	8␈ελX␈↓ 	j␈εα+␈απ1)␈↓ 
9␈εαmod␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα,
␈β/␈↓ λ7␈εn␈↓ λI␈ε¬+1␈↓ 	Q␈εn
␈βM␈↓ ↓H␈εαand␈α	this␈α	obviously␈α	has␈α	a␈αλperiod␈α	of␈α	length␈↓ εA␈ελm␈↓ εa␈εα,␈α
y␈α␈et␈α	it␈α	is␈α	an␈α␈ything␈αλbut␈α	random.␈αOther
␈βx␈↓ ↓H␈εαconsiderations␈αεa{ecting␈απthe␈απchoice␈αεof␈απa␈απm␈α␈ultiplier␈αεwill␈απbe␈απgiv␈α␈en␈αεlater␈απin␈απthis␈αεchapter.
␈β$␈↓ α␈εαSince␈αonly␈↓ β9␈ελm␈↓ βd␈εαdi{eren␈α␈t␈αvalues␈αare␈αpossible,␈αthe␈αperiod␈αcannot␈αbe␈αlonger␈αthan
␈βO␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα.␈α∃Can␈α∂w␈α␈e␈α∞achiev␈α␈e␈α∂the␈α∂maxim␈α␈um␈α∂length,␈↓ εx␈ελm␈↓ π_␈εα?␈α∀The␈α∂example␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α∂sho␈α␈ws␈α∞that
␈βz␈↓ ↓H␈εαit␈α
is␈α
always␈α∞possible,␈α
although␈α∞the␈α
choice␈↓ ε←␈ελa␈↓ ε⎇␈εα=␈↓ π-␈ελc␈↓ πH␈εα=␈α1␈α
does␈α∞not␈α
yield␈α
a␈α
desirable
␈β
%␈↓ ↓H␈εαsequence.␈α
Let␈αλus␈απin␈α␈v␈α␈estigate␈ε∂␈αλall␈εα␈αλpossible␈απchoices␈αλof␈↓ πE␈ελa␈↓ πW␈εα,␈↓ πj␈ελc␈↓ πx␈εα,␈αλand␈↓ λL␈ελX␈↓ λ{␈εαthat␈αλgiv␈α␈e␈απa␈αλperiod␈απof
␈β
3␈↓ λe␈ε¬0
␈β
P␈↓ ↓H␈εαlength␈↓ α3␈ελm␈↓ αR␈εα.␈αIt␈α
turns␈α	out␈α	that␈α	all␈α	such␈α	values␈α	of␈α	the␈α	parameters␈α	can␈α	be␈α	characterized
␈β
|␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ery␈αsimply;␈αwhen␈↓ βu␈ελm␈↓ ∧!␈εαis␈αthe␈αproduct␈αof␈αdistinct␈α
primes,␈αonly␈↓ 	∧␈ελa␈↓ 	 ␈εα=␈α
1␈αwill␈αproduce
␈β∞'␈↓ ↓H␈εαthe␈αfull␈α
period,␈αbut␈α
when␈↓ ∧a␈ελm␈↓ ¬
␈εαis␈αdivisible␈α
by␈α
a␈αhigh␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αof␈α
some␈αprime␈α
there␈αis
␈β∞R␈↓ ↓H␈εαconsiderable␈αlatitude␈αin␈αthe␈αchoice␈αof␈↓ ε_␈ελa␈↓ ε*␈εα.
␈β∂⊃␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
A.␈ε∂␈α⊗The␈α
linear␈αcongruen␈α␈tial␈α
sequence␈αhas␈αperiod␈α
length␈↓ 	9␈ελm␈↓ 	c␈ε∂if␈α
and␈αonly␈α
if
␈β∂↑␈↓ α$␈εαi)␈↓ αS␈ελc␈↓ αm␈ε∂is␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ ¬B␈ελm␈↓ ¬b␈ε∂;
␈β⊂∀␈↓ α~␈εαii)␈↓ αS␈ελb␈↓ αk␈εα=␈↓ β→␈ελa␈↓ β3␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε∂␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ¬v␈ελp␈↓ ελ␈ε∂,␈αfor␈αev␈α␈ery␈αprime␈↓ λ≥␈ελp␈↓ λ<␈ε∂dividing␈↓ 	H␈ελm␈↓ 	g␈ε∂;
␈β⊂J␈↓ α⊂␈εαiii)␈↓ αS␈ελb␈↓ αm␈ε∂is␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈εα␈α4␈ε∂,␈αif␈↓ ¬0␈ελm␈↓ ¬\␈ε∂is␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈εα␈α4␈ε∂.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα16␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.2
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈α
ideas␈α	used␈α
in␈α
the␈α	proof␈α
of␈α	this␈α
theorem␈α
go␈α	back␈α
at␈α
least␈α	a␈α
h␈α␈undred␈α	y␈α␈ears.
␈βαS␈↓ ↓H␈εαThe␈απ|rst␈αλproof␈αλof␈αλthe␈απtheorem␈αλin␈αλthis␈αλparticular␈αλform␈απwas␈αλgiv␈α␈en␈αλby␈αλM.␈απGreen␈α␈berger
␈βαy␈↓ ∧Z␈εe
␈βα}␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αspecial␈αcase␈↓ βp␈ελm␈↓ ∧~␈εα=␈↓ ∧H␈εα2␈↓ ∧r␈εα[see␈ε∂␈αJA␈α␈CM␈ε∩␈α
8␈εα␈α(1961),␈α383↑389],␈αand␈αthe␈αsu}ciency␈αof
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαconditions␈α
(i),␈α
(ii),␈α
and␈α
(iii)␈α
in␈α
the␈α
general␈α
case␈α
was␈α
sho␈α␈wn␈α
by␈α
Hull␈α
and␈α
Dobell␈α	[see
␈ββU␈↓ ↓H␈ε∂SIAM␈α∞Review␈ε∩␈α∂4␈εα␈α∂(1962),␈α∂230↑254].␈α∀To␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∂the␈α∂theorem␈α∞w␈α␈e␈α∂will␈α∂|rst␈α∞consider
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsome␈αauxiliary␈αn␈α␈um␈α␈ber-theoretic␈αresults␈αthat␈αare␈αof␈αin␈α␈terest␈αin␈αthemselv␈α␈es.
␈β∧?␈↓ 
*␈εe
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αεP.␈ε∂␈α
Let␈↓ β-␈ελp␈↓ βF␈ε∂be␈απa␈αεprime␈απn␈α␈um␈α␈ber,␈αλand␈αεlet␈↓ εa␈ελe␈↓ εv␈ε∂be␈αεa␈απpositiv␈α␈e␈απin␈α␈teger,␈απwhere␈↓ 
_␈ελp␈↓ 
@␈εα>␈α
2␈ε∂.␈α
If
␈β¬∃␈↓ ¬←␈εe␈↓ λN␈εe␈↓ λZ␈ε¬+1
␈β¬≠␈↓ βZ␈ελx␈↓ βw␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ ¬M␈ελp␈↓ ¬k␈εα),␈↓ εI␈ελx␈↓ εf␈ε⊗@⊃␈↓ π∀␈εα1␈α
(modulo␈↓ λ<␈ελp␈↓ 	¬␈εα)␈↓ α␈εα(1)
␈β¬G␈↓ ↓H␈ε∂then
␈β¬l␈↓ β3␈εp␈↓ ¬4␈εe␈↓ ¬@␈ε¬+1␈↓ ε\␈εp␈↓ λ]␈εe␈↓ λi␈ε¬+2
␈β¬r␈↓ β ␈ελx␈↓ βL␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ ¬"␈ελp␈↓ ¬k␈εα),␈↓ εI␈ελx␈↓ εu␈ε⊗@⊃␈↓ π#␈εα1␈α
(modulo␈↓ λK␈ελp␈↓ 	∀␈εα).␈↓ α␈εα(2)
␈βεE␈↓ ¬␈εe
␈βεJ␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α~We␈αhav␈α␈e␈↓ βV␈ελx␈↓ βt␈εα=␈α1␈αλ+␈↓ ∧j␈ελq␈↓ ∧z␈ελp␈↓ ¬$␈εαfor␈α
some␈α
in␈α␈teger␈↓ π/␈ελq␈↓ πL␈εαthat␈αis␈α
not␈α
a␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ 
V␈ελp␈↓ 
i␈εα.␈α
By
␈βεu␈↓ ↓H␈εαthe␈αbinomial␈αform␈α␈ula
␈βπ@␈↓ β ␈ε↓∩␈↓ βH␈ε↓∪␈↓ ¬≡␈ε↓∩␈↓ ε␈ε↓∪
␈βπC␈↓ β6␈ελp␈↓ ¬W␈ελp
␈βπT␈↓ α∩␈εp␈↓ ∧␈εe␈↓ ε3␈εp␈↓ εB␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε␈␈ε¬(␈↓ π	␈εp␈↓ π_␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ πM␈εe␈↓ λ≥␈εp␈↓ λ>␈εp␈↓ λN␈εe
␈βπZ␈↓ α␈ελx␈↓ α,␈εα=␈α
1␈αλ+␈↓ β↑␈ελq␈↓ βn␈ελp␈↓ ∧∀␈εα+␈↓ ∧@␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧r␈εα+␈↓ ε"␈ελq␈↓ εm␈ελp␈↓ πa␈εα+␈↓ λ
␈ελq␈↓ λ,␈ελp
␈βπr␈↓ β6␈εα1␈↓ ¬4␈ελp␈↓ ¬N␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈βλ~␈↓ βy␈ε↓∩␈↓ ∧o␈ε↓∩␈↓ ¬_␈ε↓∪␈↓ ε*␈ε↓∩␈↓ εS␈ε↓∪␈↓ λ`␈ε↓∩␈↓ 	λ␈ε↓∪␈↓ 
U␈ε↓∪
␈βλ≥␈↓ ∧Y␈εα1␈↓ ¬¬␈ελp␈↓ ε∀␈εα1␈↓ ε@␈ελp␈↓ λJ␈εα1␈↓ λv␈ελp
␈βλ.␈↓ βB␈εe␈↓ βN␈ε¬+1␈↓ ¬P␈εe␈↓ εy␈ε¬2␈↓ π→␈ε¬2␈↓ π(␈εe␈↓ 	.␈εp␈↓ 	>␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 	{␈ε¬(␈↓ 
¬␈εp␈↓ 
∀␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ 
I␈εe
␈βλ4␈↓ α,␈εα=␈α
1␈αλ+␈↓ β ␈ελq␈↓ β0␈ελp␈↓ ∧∂␈εα1␈αλ+␈↓ ¬.␈ελq␈↓ ¬>␈ελp␈↓ ¬d␈εα+␈↓ εi␈ελq␈↓ ππ␈ελp␈↓ π<␈εα+␈↓ πh␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ~␈εα+␈↓ 	≡␈ελq␈↓ 	i␈ελp␈↓ 
k␈εα.
␈βλD␈↓ ∧Y␈∧λD∧Yα∪␈↓ ε∀␈∧λDε∀α∪␈↓ λJ␈∧λDλJα∪
␈βλL␈↓ ∧Y␈ελp␈↓ ¬¬␈εα2␈↓ ε∀␈ελp␈↓ ε@␈εα3␈↓ λJ␈ελp␈↓ λv␈ελp
␈β	 ␈↓ ↓H␈εαThe␈αquan␈α␈tity␈αin␈αparen␈α␈theses␈αis␈αan␈αin␈α␈teger,␈αand,␈αin␈αfact,␈αev␈α␈ery␈αterm␈αin␈αthe␈αparen-
␈β	K␈↓ ↓H␈εαtheses␈α
is␈α∞a␈α
m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ ∧2␈ελp␈↓ ∧R␈εαex␈α␈cept␈α
the␈α∞|rst␈α
term.␈α⊃For␈α
if␈α∞1␈α<␈↓ λl␈ελk␈↓ 	
␈εα<␈↓ 	;␈ελp␈↓ 	M␈εα,␈α∞the␈α
binomial
␈β	V␈↓ αo␈ε↓␈␈↓ β␈ε↓↓
␈β	n␈↓ α⎇␈εp
␈β	v␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈t␈↓ β&␈εαis␈αdivisible␈αby␈↓ ¬␈ελp␈↓ ¬*␈εα(cf.␈αex␈α␈ercise␈α1.2.6↑10),␈αhence
␈β
	␈↓ α⎇␈εk
␈β
M␈↓ ¬N␈ε↓∩␈↓ ¬v␈ε↓∪
␈β
P␈↓ ¬7␈εα1␈↓ ¬d␈ελp
␈β
a␈↓ ε≤␈εk␈↓ ε+␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ εh␈ε¬(␈↓ εr␈εk␈↓ π␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ π5␈εe
␈β
g␈↓ ε␈ελq␈↓ εV␈ελp
␈β
w␈↓ ¬7␈∧
w¬7α∪
␈β
␈␈↓ ¬7␈ελp␈↓ ¬d␈ελk
␈βU␈↓ β@␈ε¬(␈↓ βJ␈εk␈↓ βY␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓)␈↓ ∧
␈εe␈↓ πα␈εp␈↓ π∩␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πO␈ε¬(␈↓ πY␈εp␈↓ πh␈ε→␈␈ε¬1)␈↓ λ≥␈εe␈↓ λ)␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βZ␈↓ ↓H␈εαis␈αdivisible␈αby␈↓ β.␈ελp␈↓ ∧→␈εα;␈αand␈α
the␈αlast␈αterm␈αis␈↓ εr␈ελq␈↓ π=␈ελp␈↓ λT␈εα,␈αwhich␈αis␈αdivisible␈αby
␈β␈↓ ¬	␈εe␈↓ ε?␈εp␈↓ πq␈εe␈↓ π⎇␈ε¬+1␈↓ 	R␈εe␈↓ 	↑␈ε¬+␈α␈2
␈β¬␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓g␈εαsince␈α(␈↓ αK␈ελp␈↓ αf␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈↓ β1␈ελe␈↓ βJ␈εα>␈α1␈α
when␈↓ ∧v␈ελp␈↓ ¬ ␈εα>␈α2.␈α∞So␈↓ ε,␈ελx␈↓ εY␈ε⊗⊃␈εα␈α1␈αλ+␈↓ πO␈ελq␈↓ π←␈ελp␈↓ λ4␈εα(modulo␈↓ 	@␈ελp␈↓ 
	␈εα),␈α
and␈αthis
␈β⊂␈↓ ∧'␈ε↓␈
␈β0␈↓ ↓H␈εαcompletes␈α
the␈α∞proof.␈↓ ∧5␈ε∂Note:␈εα␈α∂A␈α∞generalization␈α
of␈α∞this␈α∞result␈α
appears␈α∞in␈α
ex␈α␈ercise
␈β<␈↓ α|␈ε↓↓
␈β[␈↓ ↓H␈εα3.2.2↑11(a).
␈β`␈↓ β=␈∧`β=≠∂
␈β
 ␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αQ.␈ε∂␈α→Let␈αthe␈αdecomposition␈αof␈↓ ε∨␈ελm␈↓ εK␈ε∂in␈α␈to␈αprime␈αfactors␈αbe
␈β
q␈↓ ε3␈εe␈↓ π␈εe
␈β
x␈↓ ¬I␈ελm␈↓ ¬s␈εα=␈↓ ε!␈ελp␈↓ εJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈ελp␈↓ π!␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈β
z␈↓ ε?␈επ1␈↓ π↔␈ε
t
␈β∞	␈↓ ε3␈ε¬1␈↓ π␈εt
␈β∞P␈↓ ↓H␈ε∂The␈α
length,␈↓ β
␈ελ∃␈↓ β"␈ε∂,␈α
of␈α∞the␈α
period␈α
of␈α∞the␈α
linear␈α
congruen␈α␈tial␈α∞sequence␈α
determined␈α
by
␈β∞{␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελX␈↓ ↓{␈εα,␈↓ α␈ελa␈↓ α≥␈εα,␈↓ α-␈ελc␈↓ α;␈εα,␈↓ αK␈ελm␈↓ αk␈εα)␈ε∂␈αis␈α
the␈αleast␈αcommon␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈α
lengths␈↓ λ=␈ελ∃␈↓ λk␈ε∂of␈αthe␈α
periods␈αof␈αthe
␈β∂λ␈↓ ↓m␈ε¬0␈↓ λQ␈εj
␈β∂∨␈↓ ε0␈εe␈↓ πK␈εe␈↓ λb␈εe␈↓ 	≤␈εe
␈β∂&␈↓ ↓H␈ε∂linear␈αcongruen␈α␈tial␈αsequences␈εα␈α(␈↓ ¬'␈ελX␈↓ ¬T␈εαmod␈↓ ε≡␈ελp␈↓ εG␈εα,␈↓ εW␈ελa␈↓ εo␈εαmod␈↓ π9␈ελp␈↓ πb␈εα,␈↓ πr␈ελc␈↓ λε␈εαmod␈↓ λP␈ελp␈↓ λy␈εα,␈↓ 		␈ελp␈↓ 	2␈εα)␈ε∂,␈εα␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
≡␈ελj␈↓ 
9␈ε⊗∀␈↓ 
g␈ελt␈↓ 
t␈ε∂.
␈β∂(␈↓ ε<␈ε
j␈↓ πW␈ε
j␈↓ λn␈ε
j␈↓ 	'␈ε
j
␈β∂3␈↓ ¬@␈ε¬0
␈β∂9␈↓ ε0␈εj␈↓ πK␈εj␈↓ λb␈εj␈↓ 	≤␈εj
␈β∂m␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α
By␈αλinduction␈απon␈↓ ∧/␈ελt␈↓ ∧<␈εα,␈αλit␈απsu}ces␈αλto␈απpro␈α␈v␈α␈e␈απthat␈απif␈↓ πM␈ελm␈↓ λα␈εαand␈↓ λC␈ελm␈↓ λw␈εαare␈απrelativ␈α␈ely␈απprime,
␈β∂{␈↓ πl␈ε¬1␈↓ λa␈ε¬2
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαthe␈α
length␈↓ αp␈ελ∃␈↓ β⊂␈εαof␈α
the␈α
linear␈αcongruen␈α␈tial␈α
sequence␈α
determined␈α
by␈α(␈↓ 	-␈ελX␈↓ 	T␈εα,␈↓ 	d␈ελa␈↓ 	v␈εα,␈↓ 
ε␈ελc␈↓ 
∀␈εα,␈↓ 
$␈ελm␈↓ 
Q␈ελm␈↓ 
}␈εα)␈α
is
␈β⊂&␈↓ 	F␈ε¬0␈↓ 
C␈ε¬1␈↓ 
p␈ε¬2
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαthe␈α
least␈α
common␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈α
the␈α∞lengths␈↓ εc␈ελ∃␈↓ π¬␈εα,␈↓ π∃␈ελ∃␈↓ πE␈εαof␈α
the␈α
periods␈α
of␈α
the␈α
sequences
␈β⊂Q␈↓ εw␈ε¬1␈↓ π)␈ε¬2
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελX␈↓ α↓␈εαmod␈↓ αK␈ελm␈↓ αx␈εα,␈↓ β∞␈ελa␈↓ β&␈εαmod␈↓ βp␈ελm␈↓ ∧≥␈εα,␈↓ ∧3␈ελc␈↓ ∧G␈εαmod␈↓ ¬⊃␈ελm␈↓ ¬>␈εα,␈↓ ¬T␈ελm␈↓ ε↓␈εα)␈αand␈α(␈↓ εi␈ελX␈↓ π↔␈εαmod␈↓ πa␈ελm␈↓ λ∞␈εα,␈↓ λ$␈ελa␈↓ λ;␈εαmod␈↓ 	¬␈ελm␈↓ 	2␈εα,␈↓ 	H␈ελc␈↓ 	]␈εαmod␈↓ 
'␈ελm␈↓ 
S␈εα,␈↓ 
i␈ελm␈↓ ⊗␈εα).
␈β⊂|␈↓ ↓m␈ε¬0␈↓ αj␈ε¬1␈↓ ∧∞␈ε¬1␈↓ ¬0␈ε¬1␈↓ ¬s␈ε¬1␈↓ πα␈ε¬0␈↓ π␈␈ε¬2␈↓ 	$␈ε¬2␈↓ 
E␈ε¬2␈↓ λ␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαWe␈αobserv␈α␈ed␈αin␈αthe␈αprevious␈αsection,␈αEq.␈α(4),␈αthat␈αif␈αthe␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αthese␈αthree
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.2␈ε∞␈↓ πgCHOICE␈α	OF␈α	MU␈α␈L␈α}TIP␈α␈LIER␈↓ λ␈εα17
␈βα(␈↓ ↓H␈εαsequences␈αare␈αdenoted␈αby␈↓ ∧b␈ελX␈↓ ¬
␈εα,␈↓ ¬#␈ελY␈↓ ¬I␈εα,␈αand␈↓ ε%␈ελZ␈↓ εJ␈εα,␈αrespectiv␈α␈ely,␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e
␈βα5␈↓ ∧{␈εn␈↓ ¬8␈εn␈↓ ε8␈εn
␈βα⎇␈↓ αA␈ελY␈↓ αr␈εα=␈↓ β ␈ελX␈↓ βQ␈εαmod␈↓ ∧≠␈ελm␈↓ ¬⊂␈εαand␈↓ ε∩␈ελZ␈↓ εA␈εα=␈↓ εo␈ελX␈↓ π ␈εαmod␈↓ πj␈ελm␈↓ λ←␈εαfor␈αall␈↓ 	I␈ελn␈↓ 	i␈ε⊗∃␈εα␈α
0.
␈ββ␈↓ αV␈εn␈↓ β9␈εn␈↓ ∧:␈ε¬1␈↓ ε%␈εn␈↓ πλ␈εn␈↓ λ	␈ε¬2
␈ββS␈↓ ↓H␈εαTherefore,␈αby␈αLaw␈αD␈αof␈αSection␈α1.2.4,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β∧(␈↓ α␈␈ελX␈↓ β4␈εα=␈↓ βb␈ελX␈↓ ∧R␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈↓ εh␈ελY␈↓ π→␈εα=␈↓ πG␈ελY␈↓ λ∞␈εαand␈↓ λl␈ελZ␈↓ 	≠␈εα=␈↓ 	I␈ελZ␈↓ 	k␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β∧5␈↓ β_␈εn␈↓ β{␈εk␈↓ ε⎇␈εn␈↓ π\␈εk␈↓ λ␈␈εn␈↓ 	\␈εk
␈β∧x␈↓ αf␈ε→0
␈β∧⎇␈↓ α␈εαLet␈↓ αQ␈ελ∃␈↓ α|␈εαbe␈α∞the␈α∂least␈α∂common␈α∞m␈α␈ultiple␈α∂of␈↓ π∃␈ελ∃␈↓ πF␈εαand␈↓ λ∞␈ελ∃␈↓ λ1␈εα;␈α⊂w␈α␈e␈α∞wish␈α∂to␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that
␈β¬␈↓ π)␈ε¬1␈↓ λ"␈ε¬2
␈β¬#␈↓ ↓]␈ε→0
␈β¬(␈↓ ↓H␈ελ∃␈↓ ↓n␈εα=␈↓ α≤␈ελ∃␈↓ α1␈εα.␈αSince␈↓ β$␈ελX␈↓ βY␈εα=␈↓ ∧π␈ελX␈↓ ∧k␈εαfor␈αall␈αsuitably␈αlarge␈↓ π5␈ελn␈↓ πJ␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ λi␈ελY␈↓ 	→␈εα=␈↓ 	G␈ελY␈↓ 
(␈εα(hence␈↓ ↔␈ελ∃
␈β¬6␈↓ β=␈εn␈↓ ∧ ␈εn␈↓ ∧2␈ε¬+␈↓ ∧O␈ε∃␈↓ λ}␈εn␈↓ 	\␈εn␈↓ 	n␈ε¬+␈↓ 
␈ε∃
␈β¬T␈↓ ↓H␈εαis␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ βE␈ελ∃␈↓ βg␈εα)␈α∞and␈↓ ∧H␈ελZ␈↓ ∧x␈εα=␈↓ ¬(␈ελZ␈↓ ε	␈εα(hence␈↓ εz␈ελ∃␈↓ π≤␈εαis␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ 	→␈ελ∃␈↓ 	<␈εα),␈α
so␈↓ 
␈ελ∃␈↓ 
.␈εαm␈α␈ust␈α
be
␈β¬a␈↓ βY␈ε¬1␈↓ ∧[␈εn␈↓ ¬;␈εn␈↓ ¬M␈ε¬+␈↓ ¬j␈ε∃␈↓ 	-␈ε¬2
␈β¬z␈↓ α␈ε→0
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε⊗∃␈↓ ↓w␈ελ∃␈↓ α∪␈εα.␈α∞Furthermore,␈α
w␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α
that␈↓ ¬n␈ελY␈↓ ε ␈εα=␈↓ εP␈ελY␈↓ π7␈εαand␈↓ π}␈ελZ␈↓ λ.␈εα=␈↓ λ]␈ελZ␈↓ 	C␈εαfor␈α
all␈αsuitably
␈βε
␈↓ π%␈ε≠0␈↓ 	1␈ε≠0
␈βε␈↓ εβ␈εn␈↓ εe␈εn␈↓ εw␈ε¬+␈↓ π∪␈ε∃␈↓ λ⊃␈εn␈↓ λp␈εn␈↓ 	α␈ε¬+␈↓ 	∨␈ε∃
␈βε%␈↓ λ]␈ε→0␈↓ 
λ␈ε→0
␈βε*␈↓ ↓H␈εαlarge␈↓ α ␈ελn␈↓ α5␈εα;␈αtherefore,␈αby␈α(4),␈↓ ∧a␈ελX␈↓ ¬⊗␈εα=␈↓ ¬D␈ελX␈↓ ε#␈εα.␈αThis␈αpro␈α␈v␈α␈es␈↓ π{␈ελ∃␈↓ λ~␈ε⊗∀␈↓ λH␈ελ∃␈↓ λd␈εα,␈αso␈↓ 	&␈ελ∃␈↓ 	E␈εα=␈↓ 	s␈ελ∃␈↓ 
⊂␈εα.
␈βε/␈↓ 
A␈∧ε/
A≠∂
␈βε5␈↓ ε≡␈ε≠0
␈βε7␈↓ ∧z␈εn␈↓ ¬]␈εn␈↓ ¬o␈ε¬+␈↓ ε␈ε∃
␈βεj␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈αw␈α␈e␈αare␈αready␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αTheorem␈αA␈↓ εs␈εα.␈αBecause␈αof␈αLemma␈αQ␈↓ 	Y␈εα,␈αit␈αsu}ces␈αto
␈βπ∃␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αtheorem␈αwhen␈↓ ∧R␈ελm␈↓ ∧⎇␈εαis␈αa␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈αa␈αprime␈αn␈α␈um␈α␈ber.␈αFor
␈βπe␈↓ β&␈εe␈↓ β␈␈εe␈↓ λs␈εe␈↓ 	L␈εe
␈βπk␈↓ β∀␈ελp␈↓ β=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βm␈ελp␈↓ ∧≡␈εα=␈↓ ∧L␈ελ∃␈↓ ∧k␈εα=␈↓ ¬→␈εαlcm␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελ∃␈↓ ¬␈␈εα,␈↓ ε∂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε?␈εα,␈↓ εO␈ελ∃␈↓ εn␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ π2␈ελ∃␈↓ πZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈ελ∃␈↓ λ2␈ε⊗∀␈↓ λ`␈ελp␈↓ 		␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	9␈ελp
␈βπm␈↓ β2␈επ1␈↓ ∧
␈ε
t␈↓ λ}␈επ1␈↓ 	W␈ε
t
␈βπx␈↓ ¬q␈ε¬1␈↓ εc␈εt␈↓ πF␈ε¬1␈↓ λ≡␈εt
␈βπ⎇␈↓ β&␈ε¬1␈↓ β␈␈εt␈↓ λs␈ε¬1␈↓ 	L␈εt
␈βλ9␈↓ ¬K␈εe
␈βλ@␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αtrue␈αif␈αand␈αonly␈αif␈↓ ∧`␈ελ∃␈↓ ¬␈εα=␈↓ ¬9␈ελp␈↓ ¬n␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ εp␈ελj␈↓ π
␈ε⊗∀␈↓ π8␈ελt␈↓ πE␈εα.
␈βλB␈↓ ¬V␈ε
j
␈βλM␈↓ ∧t␈εj
␈βλS␈↓ ¬F␈εj
␈βλf␈↓ ¬k␈εe
␈βλk␈↓ α␈εαTherefore,␈αassume␈αthat␈↓ ¬↓␈ελm␈↓ ¬*␈εα=␈↓ ¬X␈ελp␈↓ ¬v␈εα,␈αwhere␈↓ εr␈ελp␈↓ π∂␈εαis␈αprime␈αand␈↓ λ[␈ελe␈↓ λt␈εαis␈αa␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α␈teger.
␈β	⊗␈↓ ↓H␈εαThe␈αtheorem␈α
is␈α
obviously␈αtrue␈α
when␈↓ ε∩␈ελa␈↓ ε/␈εα=␈α1,␈α
so␈αw␈α␈e␈α
may␈α
tak␈α␈e␈↓ 	
␈ελa␈↓ 	'␈εα>␈α1.␈α∞The␈αperiod
␈β	B␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αof␈αlength␈↓ βP␈ελm␈↓ β|␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈αeach␈αpossible␈αin␈α␈teger␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λm␈ελx␈↓ 	
␈εα<␈↓ 	8␈ελm␈↓ 	c␈εαoccurs␈αin␈αthe
␈β	m␈↓ ↓H␈εαperiod,␈αsince␈α
no␈αvalue␈αoccurs␈αin␈α
the␈αperiod␈αmore␈αthan␈α
once.␈αTherefore␈αthe␈α
period
␈β
_␈↓ ↓H␈εαis␈αof␈αlength␈↓ ββ␈ελm␈↓ β.␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈αthe␈αperiod␈αof␈αthe␈αsequence␈αwith␈↓ 	␈ελX␈↓ 	1␈εα=␈α
0␈αis␈αof␈αlength
␈β
%␈↓ 	→␈ε¬0
␈β
C␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αare␈αjusti|ed␈αin␈αsupposing␈αthat␈↓ ε\␈ελX␈↓ π∞␈εα=␈α
0.␈αBy␈αform␈α␈ula␈α3.2.1↑6␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
Q␈↓ εu␈ε¬0
␈β⊂␈↓ ¬|␈εn
␈β∩␈↓ ¬P␈ε↓∩␈↓ εX␈ε↓∪
␈β∃␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε⊗␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β,␈↓ ∧m␈ελX␈↓ ¬"␈εα=␈↓ εt␈ελc␈↓ π∞␈εαmod␈↓ π↑␈ελm␈↓ π⎇␈εα.␈↓ α␈εα(5)
␈β:␈↓ ¬ε␈εn
␈β<␈↓ ¬j␈∧<¬jαj
␈βE␈↓ ¬s␈ελa␈↓ ε
␈ε⊗␈␈εα␈αλ1
␈β∃␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓o␈ελc␈↓ α
␈εαis␈α∂not␈α⊂relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂to␈↓ ¬3␈ελm␈↓ ¬R␈εα,␈α⊃this␈α∂value␈↓ π~␈ελX␈↓ πT␈εαcould␈α∂nev␈α␈er␈α⊂be␈α∂equal␈α⊂to␈α∂1,␈α⊂so
␈β"␈↓ π3␈εn
␈β@␈↓ ↓H␈εαcondition␈α(i)␈αof␈αthe␈αtheorem␈αis␈αnecessary.␈αThe␈αperiod␈αhas␈αlength␈↓ 	5␈ελm␈↓ 	`␈εαif␈αand␈αonly␈αif
␈βk␈↓ ↓H␈εαthe␈α
smallest␈α
positiv␈α␈e␈α
value␈α
of␈↓ ¬$␈ελn␈↓ ¬G␈εαfor␈α
which␈↓ εi␈ελX␈↓ π ␈εα=␈↓ πP␈ελX␈↓ λβ␈εα=␈α0␈α
is␈↓ λx␈ελn␈↓ 	→␈εα=␈↓ 	I␈ελm␈↓ 	i␈εα.␈α∂By␈α
(5)␈α
and
␈βy␈↓ πα␈εn␈↓ πi␈ε¬0
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαcondition␈α(i),␈αour␈αtheorem␈αno␈α␈w␈αreduces␈αto␈αpro␈α␈ving␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfact:
␈β
R␈↓ ε&␈εe
␈β
W␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α∂R.␈ε∂␈α∨Assume␈α∂that␈εα␈α⊂1␈α∂<␈↓ ¬?␈ελa␈↓ ¬`␈εα<␈↓ ε∀␈ελp␈↓ ε2␈ε∂,␈α⊂where␈↓ π7␈ελp␈↓ πY␈ε∂is␈α∂prime.␈α⊗If␈↓ 	"␈ελ∃␈↓ 	F␈ε∂is␈α∂the␈α∂smallest
␈β
⎇␈↓ ¬α␈ε∃␈↓ λY␈εe
␈β∞α␈↓ ↓H␈ε∂positiv␈α␈e␈αin␈α␈teger␈αfor␈αwhich␈εα␈α(␈↓ ∧p␈ελa␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/(␈↓ εβ␈ελa␈↓ ε≥␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ λG␈ελp␈↓ λe␈εα)␈ε∂,␈αthen
␈β∞S␈↓ ¬w␈ε↓~
␈β∞W␈↓ ε
␈ελa␈↓ ε)␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ π␈␈ελp␈↓ λ∩␈εα)␈↓ λf␈ε∂when␈↓ 	\␈ελp␈↓ 	x␈εα>␈α
2,
␈β∞g␈↓ β∞␈εe
␈β∞m␈↓ α.␈ελ∃␈↓ αM␈εα=␈↓ α{␈ελp␈↓ βa␈ε∂if␈αand␈αonly␈αif
␈β∂β␈↓ ε
␈ελa␈↓ ε)␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈α4)␈↓ λf␈ε∂when␈↓ 	\␈ελp␈↓ 	x␈εα=␈α
2.
␈β∂h␈↓ ∧}␈εe␈↓ λq␈εn
␈β∂m␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≤Assume␈α∞that␈↓ ∧_␈ελ∃␈↓ ∧;␈εα=␈↓ ∧l␈ελp␈↓ ¬
␈εα.␈α∩If␈↓ ¬L␈ελa␈↓ ¬k␈ε⊗@⊃␈↓ ε≥␈εα1␈α
(modulo␈↓ πH␈ελp␈↓ πZ␈εα),␈α∂then␈α∞(␈↓ λ←␈ελa␈↓ 	␈ε⊗␈␈εα␈α	1)/(␈↓ 	u␈ελa␈↓ 
⊂␈ε⊗␈␈εα␈α
1)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
0
␈β⊂⊂␈↓ 
␈ε
e
␈β⊂∀␈↓ αf␈εe␈↓ ∧|␈εn␈↓ πO␈εe␈↓ 	⎇␈εp
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εα(modulo␈↓ αT␈ελp␈↓ αr␈εα)␈α
if␈α
and␈α∞only␈α
if␈↓ ∧j␈ελa␈↓ ¬↔␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈ε⊗␈α⊃␈εα␈α0␈α(modulo␈↓ π<␈ελp␈↓ πZ␈εα).␈α⊂The␈α∞condition␈↓ 	k␈ελa␈↓ 
∨␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈ε⊗␈α⊃␈εα␈α0
␈β⊂;␈↓ ¬:␈ε
e␈↓ 
t␈ε
e
␈β⊂?␈↓ αf␈εe␈↓ ¬+␈εp␈↓ 
e␈εp
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εα(modulo␈↓ αT␈ελp␈↓ αr␈εα)␈α	then␈α	implies␈α
that␈↓ ¬→␈ελa␈↓ ¬O␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ π%␈ελp␈↓ π7␈εα);␈α
but␈α	by␈α
Theorem␈α	1.2.4F␈↓ 
?␈εα,␈↓ 
S␈ελa␈↓ λ␈ε⊗⊃
␈β⊂o␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓d␈εα(modulo␈↓ αp␈ελp␈↓ βα␈εα),␈α
hence␈↓ ∧∧␈ελa␈↓ ∧ ␈ε⊗@⊃␈↓ ∧N␈εα1␈α
(modulo␈↓ ¬v␈ελp␈↓ ελ␈εα)␈α
leads␈α
to␈α
a␈α
con␈α␈tradiction.␈αAnd␈α
if␈↓ 
␈ελp␈↓ 
(␈εα=␈α
2␈α
and
␈β⊃∩␈↓ ¬1␈ε
e␈↓ ¬;␈ε≠␈␈επ1
␈β⊃∃␈↓ ¬"␈ε¬2␈↓ 	/␈εe
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓f␈ε⊗⊃␈εα␈α
3␈α(modulo␈α4),␈α∞w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞(␈↓ ¬⊃␈ελa␈↓ ¬f␈ε⊗␈␈εα␈α	1)/(␈↓ εO␈ελa␈↓ εj␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α0␈α
(modulo␈↓ 	≥␈εα2␈↓ 	;␈εα)␈α
by␈α∞ex␈α␈ercise␈α
8.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα18␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.2
␈βα#␈↓ 
.␈εf
␈βα(␈↓ ↓H␈εαThese␈α
argumen␈α␈ts␈α
sho␈α␈w␈α
that␈α
it␈α
is␈αnecessary␈α
in␈α
general␈α
to␈α
hav␈α␈e␈↓ 	␈ελa␈↓ 	≤␈εα=␈α
1␈αε+␈↓ 
␈ελq␈↓ 
≤␈ελp␈↓ 
<␈εα,␈α
where
␈βαN␈↓ ↓Z␈εf␈↓ λ␈εe
␈βαS␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓r␈εα>␈α
2␈αand␈↓ β∧␈ελq␈↓ β ␈εαis␈αnot␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ¬Y␈ελp␈↓ ¬k␈εα,␈αwhenev␈α␈er␈↓ π ␈ελ∃␈↓ π?␈εα=␈↓ πm␈ελp␈↓ λ␈εα.
␈βαy␈↓ 
↑␈εe
␈βα}␈↓ α␈εαIt␈αremains␈α
to␈αbe␈αsho␈α␈wn␈α
that␈αthis␈αcondition␈α
is␈ε∂␈αsu}cien␈α␈t␈εα␈αto␈α
mak␈α␈e␈↓ 	⎇␈ελ∃␈↓ 
≥␈εα=␈↓ 
K␈ελp␈↓ 
i␈εα.␈α
By
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαrepeated␈αapplication␈αof␈αLemma␈αP␈↓ ¬V␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈ββr␈↓ β0␈ε
g␈↓ εm␈ε
g
␈ββv␈↓ β!␈εp␈↓ ¬/␈εf␈↓ ¬=␈ε¬+␈↓ ¬Y␈εg␈↓ ε]␈εp␈↓ λk␈εf␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εg␈↓ 	$␈ε¬+1
␈ββ|␈↓ β∂␈ελa␈↓ βF␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ ¬≤␈ελp␈↓ ¬g␈εα),␈↓ εK␈ελa␈↓ πβ␈ε⊗@⊃␈↓ π1␈εα1␈α
(modulo␈↓ λY␈ελp␈↓ 	O␈εα),
␈β∧N␈↓ ↓H␈εαfor␈αall␈↓ α2␈ελg␈↓ αM␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈αand␈αtherefore
␈β¬∃␈↓ ∧@␈ε
g
␈β¬_␈↓ ∧1␈εp␈↓ λ∩␈εg
␈β¬≡␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελa␈↓ ∧T␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/(␈↓ ¬<␈ελa␈↓ ¬V␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε*␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ λ␈ελp␈↓ λ ␈εα),
␈β¬2␈↓ α␈εα(6)
␈β¬@␈↓ ∧@␈ε
g
␈β¬D␈↓ ∧1␈εp␈↓ λ∩␈εg␈↓ λ ␈ε¬+1
␈β¬J␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελa␈↓ ∧T␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/(␈↓ ¬<␈ελa␈↓ ¬V␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε*␈ε⊗@⊃␈↓ εX␈εα0␈α
(modulo␈↓ λ␈ελp␈↓ λK␈εα).
␈βε∩␈↓ βO␈ε
e
␈βε⊗␈↓ β@␈εp␈↓ π≠␈εe
␈βε≠␈↓ ↓H␈εαIn␈αparticular,␈α(␈↓ β.␈ελa␈↓ βa␈ε⊗␈␈εα␈αε1)/(␈↓ ∧G␈ελa␈↓ ∧`␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ π	␈ελp␈↓ π'␈εα).␈αNo␈α␈w␈αthe␈αcongruen␈α␈tial␈αsequence
␈βεA␈↓ αL␈εe␈↓ ∧0␈εn␈↓ εx␈εe
␈βεF␈↓ ↓H␈εα(0,␈↓ ↓v␈ελa␈↓ αλ␈εα,␈αε1,␈↓ α:␈ελp␈↓ αX␈εα)␈αhas␈↓ β/␈ελX␈↓ βd␈εα=␈α
(␈↓ ∧≡␈ελa␈↓ ∧J␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/(␈↓ ¬2␈ελa␈↓ ¬K␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε≠␈εαmod␈↓ εe␈ελp␈↓ πβ␈εα;␈αtherefore␈αit␈αhas␈αa␈αperiod␈αof␈αlength
␈βεS␈↓ βH␈εn
␈βεl␈↓ 	↓␈εe
␈βεq␈↓ ↓H␈ελ∃␈↓ ↓]␈εα,␈αthat␈αis,␈↓ αm␈ελX␈↓ β"␈εα=␈α
0␈αif␈αand␈αonly␈αif␈↓ ¬D␈ελn␈↓ ¬d␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ πZ␈ελ∃␈↓ πo␈εα.␈αHence␈↓ λn␈ελp␈↓ 	_␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 
␈ελ∃␈↓ "␈εα.
␈βε␈␈↓ βε␈εn
␈βπ↔␈↓ ¬2␈εg
␈βπ≤␈↓ ↓H␈εαThis␈α
can␈αhappen␈α
only␈α
if␈↓ ∧P␈ελ∃␈↓ ∧p␈εα=␈↓ ¬ ␈ελp␈↓ ¬M␈εαfor␈α
some␈↓ εa␈ελg␈↓ εr␈εα,␈α
and␈α
the␈α
relations␈α
in␈α
(6)␈α
imply␈αthat
␈βπC␈↓ α'␈εe
␈βπH␈↓ ↓H␈ελ∃␈↓ ↓g␈εα=␈↓ α∃␈ελp␈↓ α3␈εα,␈αcompleting␈αthe␈αproof.
␈βπM␈↓ ¬B␈∧πM¬B≠∂
␈βπs␈↓ α␈εαThe␈αproof␈αof␈αTheorem␈αA␈αis␈αno␈α␈w␈αcomplete.
␈βπx␈↓ πI␈∧πxπI≠∂
␈βλ(␈↓ α␈εαWe␈α∞will␈α∞conclude␈α∞this␈α∂section␈α∞by␈α∞considering␈α∞the␈α∞special␈α∞case␈α∞of␈α∞pure␈α∞m␈α␈ul-
␈βλS␈↓ ↓H␈εαtiplicativ␈α␈e␈α⊂generators,␈α⊃when␈↓ ¬∪␈ελc␈↓ ¬2␈εα=␈α⊃0.␈α_Although␈α⊂the␈α∂random-n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂generation
␈βλ}␈↓ ↓H␈εαprocess␈α∞is␈α∞sligh␈α␈tly␈α∂faster␈α∞in␈α∂this␈α∞case,␈α∂Theorem␈α∞A␈α∂sho␈α␈ws␈α∞us␈α∂that␈α∞the␈α∞maxim␈α␈um
␈β	)␈↓ ↓H␈εαperiod␈αλlength␈α	cannot␈α	be␈αλachiev␈α␈ed.␈αIn␈α	fact,␈α	this␈α	is␈αλquite␈α	obvious,␈α	since␈α	the␈αλsequence
␈β	U␈↓ ↓H␈εαno␈α␈w␈αsatis|es␈αthe␈αrelation
␈β
␈↓ ¬_␈ελX␈↓ ¬x␈εα=␈↓ ε&␈ελa␈↓ ε8␈ελX␈↓ εi␈εαmod␈↓ π3␈ελm␈↓ πR␈εα,␈↓ α␈εα(7)
␈β

␈↓ ¬1␈εn␈↓ ¬C␈ε¬+␈α␈1␈↓ εQ␈εn
␈β
B␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αvalue␈↓ β*␈ελX␈↓ β←␈εα=␈α
0␈αshould␈αnev␈α␈er␈αappear␈αlest␈αthe␈αsequence␈αdegenerate␈αto␈αzero.
␈β
P␈↓ βC␈εn
␈β
n␈↓ ↓H␈εαIn␈α
general,␈α∂if␈↓ β"␈ελd␈↓ βD␈εαis␈α
an␈α␈y␈α∞divisor␈α∞of␈↓ ¬T␈ελm␈↓ ε↓␈εαand␈α∞if␈↓ εm␈ελX␈↓ π&␈εαis␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ 	&␈ελd␈↓ 	:␈εα,␈α∂all␈α
succeeding
␈β
{␈↓ πε␈εn
␈β→␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈ts␈↓ α\␈ελX␈↓ β2␈εα,␈↓ βI␈ελX␈↓ ∧∨␈εα,␈↓ ∧6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈εαof␈α
the␈α
m␈α␈ultiplicativ␈α␈e␈α
sequence␈α
will␈α
be␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈↓ ∞␈ελd␈↓ "␈εα.
␈β&␈↓ αu␈εn␈↓ βπ␈ε¬+␈α␈1␈↓ βb␈εn␈↓ βt␈ε¬+2
␈βD␈↓ ↓H␈εαSo␈αwhen␈↓ αY␈ελc␈↓ αr␈εα=␈α0,␈α
w␈α␈e␈αwill␈α
wan␈α␈t␈↓ ¬∨␈ελX␈↓ ¬W␈εαto␈αbe␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime␈αto␈↓ λg␈ελm␈↓ 	∀␈εαfor␈αall␈↓ 	␈␈ελn␈↓ 
∃␈εα,␈α
and␈αthis
␈βQ␈↓ ¬8␈εn
␈βo␈↓ ↓H␈εαlimits␈αthe␈αlength␈αof␈αthe␈αperiod␈αto␈αat␈αmost␈↓ ε\␈ελ⎇␈↓ εs␈εα(␈↓ ε␈␈ελm␈↓ π∨␈εα),␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αin␈α␈tegers␈αbet␈α␈w␈α␈een
␈β~␈↓ ↓H␈εα0␈αand␈↓ α,␈ελm␈↓ αW␈εαthat␈αare␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ ε∩␈ελm␈↓ ε2␈εα.
␈βF␈↓ α␈εαIt␈αmay␈αbe␈αpossible␈αto␈αachiev␈α␈e␈αan␈αacceptably␈αlong␈αperiod␈αev␈α␈en␈αif␈αw␈α␈e␈αstipulate
␈βq␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∀␈ελc␈↓ α,␈εα=␈α
0.␈αLet␈α
us␈α
no␈α␈w␈α
try␈α
to␈α
|nd␈α
conditions␈α
on␈α
the␈α
m␈α␈ultiplier␈α
so␈α
that␈α	the␈α
period
␈β
≤␈↓ ↓H␈εαis␈αas␈αlong␈αas␈αpossible␈αin␈αthis␈αspecial␈αcase.
␈β
G␈↓ α␈εαAccording␈αto␈αLemma␈αQ␈↓ ∧␈␈εα,␈αthe␈αperiod␈αof␈αthe␈αsequence␈αdepends␈αen␈α␈tirely␈αon␈αthe
␈β
m␈↓ ε
␈εe
␈β
r␈↓ ↓H␈εαperiods␈α	of␈α
the␈α
sequences␈α	when␈↓ ¬ ␈ελm␈↓ ¬J␈εα=␈↓ ¬x␈ελp␈↓ ε⊗␈εα,␈α
so␈α
let␈α	us␈α
consider␈α
that␈α
situation.␈αWe␈α	hav␈α␈e
␈β∞→␈↓ αE␈εn␈↓ βa␈εe
␈β∞≡␈↓ ↓H␈ελX␈↓ α↓␈εα=␈↓ α4␈ελa␈↓ αW␈ελX␈↓ β¬␈εαmod␈↓ βO␈ελp␈↓ βm␈εα,␈α∂and␈α∂it␈α∂is␈α∞clear␈α∂that␈α∂the␈α∞period␈α∂will␈α∂be␈α∞of␈α∂length␈α∂1␈α∞if␈↓ 
S␈ελa␈↓ 
t␈εαis␈α∞a
␈β∞+␈↓ ↓a␈εn␈↓ αp␈ε¬0
␈β∞I␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ βα␈ελp␈↓ β∃␈εα,␈α∞so␈α∞w␈α␈e␈α
tak␈α␈e␈↓ ∧b␈ελa␈↓ ¬α␈εαto␈α∞be␈α
relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α∞to␈↓ λ_␈ελp␈↓ λ*␈εα.␈α⊃Then␈α∞the␈α∞period␈α∞is␈α
the
␈β∞o␈↓ ε∧␈ε∃␈↓ π∨␈εe
␈β∞t␈↓ ↓H␈εαsmallest␈α
in␈α␈teger␈↓ βK␈ελ∃␈↓ βm␈εαsuch␈α
that␈↓ ¬∂␈ελX␈↓ ¬B␈εα=␈↓ ¬r␈ελa␈↓ ε∃␈ελX␈↓ εC␈εαmod␈↓ π
␈ελp␈↓ π+␈εα.␈α∂If␈α
the␈α
greatest␈α
common␈α
divisor
␈β∂↓␈↓ ¬(␈ε¬0␈↓ ε.␈ε¬0
␈β∂~␈↓ α⎇␈εe␈↓ βL␈εf
␈β∂∨␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελX␈↓ α%␈εαand␈↓ αk␈ελp␈↓ β∃␈εαis␈↓ β9␈ελp␈↓ βZ␈εα,␈αthis␈αcondition␈αis␈αequivalen␈α␈t␈αto
␈β∂-␈↓ α␈ε¬0
␈β∂k␈↓ ¬≠␈ε∃␈↓ π∨␈εe␈↓ π*␈ε→␈␈↓ πG␈εf
␈β∂r␈↓ ¬	␈ελa␈↓ ¬6␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ π␈ελp␈↓ πU␈εα).␈↓ α␈εα(8)
␈β⊂;␈↓ εr␈ε
e␈↓ ε|␈ε≠␈␈↓ π∪␈ε
f
␈β⊂?␈↓ εF␈ε⎇␈↓ εY␈ε¬(␈↓ εc␈εp␈↓ π∨␈ε¬)␈↓ 	≠␈εe␈↓ 	'␈ε→␈␈↓ 	D␈εf
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαBy␈αEuler's␈αtheorem␈α(ex␈α␈ercise␈α1.2.4↑28),␈↓ ε4␈ελa␈↓ π3␈ε⊗⊃␈εα␈α
1␈α
(modulo␈↓ 		␈ελp␈↓ 	Q␈εα);␈αhence␈↓ 
V␈ελ∃␈↓ 
w␈εαis␈αa
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαdivisor␈αof
␈β⊃∀␈↓ ¬ ␈εe␈↓ ¬,␈ε→␈␈↓ ¬I␈εf␈↓ ε-␈εe␈↓ ε9␈ε→␈␈↓ εV␈εf␈↓ εd␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃~␈↓ ∧k␈ελ⎇␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελp␈↓ ¬W␈εα)␈α
=␈↓ ε≠␈ελp␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελp␈↓ π5␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.2␈ε∞␈↓ πgCHOICE␈α	OF␈α	MU␈α␈L␈α}TIP␈α␈LIER␈↓ λ␈εα19
␈βα#␈↓ 
<␈ε∃
␈βα(␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α6␈ελa␈↓ αZ␈εαis␈α∩relativ␈α␈ely␈α∩prime␈α∪to␈↓ ¬H␈ελm␈↓ ¬g␈εα,␈α∀the␈α∩smallest␈α∪in␈α␈teger␈↓ λW␈ελ∃␈↓ λ}␈εαfor␈α∩which␈↓ 
*␈ελa␈↓ 
b␈ε⊗⊃␈εα␈α∀1
␈βαS␈↓ ↓H␈εα(modulo␈↓ αT␈ελm␈↓ αs␈εα)␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tionally␈αcalled␈ε∂␈αthe␈α
order␈αof␈↓ πB␈ελa␈↓ π←␈ε∂modulo␈↓ λ↑␈ελm␈↓ λ⎇␈ε∂.␈εα␈αAn␈α␈y␈αsuch␈αvalue␈α
of
␈βα}␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓d␈εαthat␈αgiv␈α␈es␈α
the␈ε∂␈αmaxim␈α␈um␈εα␈α
possible␈αorder␈α
modulo␈↓ πL␈ελm␈↓ πv␈εαis␈αcalled␈α
a␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈α
elemen␈α␈t
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαmodulo␈↓ αH␈ελm␈↓ αg␈εα.
␈ββU␈↓ α␈εαLet␈↓ αK␈ελ∃␈↓ α`␈εα(␈↓ αl␈ελm␈↓ β␈εα)␈α	denote␈α	the␈α	order␈α	of␈α
a␈α	primitiv␈α␈e␈α	elemen␈α␈t,␈α	i.e.,␈α
the␈α	maxim␈α␈um␈α	possible
␈ββ{␈↓ πo␈εe␈↓ 	␈␈εe␈↓ 
␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧␈↓ ↓H␈εαorder,␈α
modulo␈↓ β-␈ελm␈↓ βM␈εα.␈αThe␈αremarks␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
sho␈α␈w␈αthat␈↓ π;␈ελ∃␈↓ πP␈εα(␈↓ π\␈ελp␈↓ π{␈εα)␈α
is␈α
a␈αdivisor␈α
of␈↓ 	m␈ελp␈↓ 
6␈εα(␈↓ 
B␈ελp␈↓ 
Z␈ε⊗␈␈εα␈αε1);
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαwith␈α	a␈α	little␈α	care␈α
(see␈α	ex␈α␈ercises␈α	11␈α	through␈α
16␈α	belo␈α␈w)␈α	w␈α␈e␈α	can␈α
giv␈α␈e␈α	the␈α	precise␈α	value
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελ∃␈↓ απ␈εα(␈↓ α∪␈ελm␈↓ α2␈εα)␈αin␈αall␈αcases␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β¬'␈↓ πα␈εe␈↓ πd␈εe␈↓ πp␈ε→␈␈ε¬␈α␈2
␈β¬,␈↓ β→␈ελ∃␈↓ β.␈εα(2)␈α
=␈α
1,␈↓ ∧t␈ελ∃␈↓ ¬	␈εα(4)␈α
=␈α
2,␈↓ εO␈ελ∃␈↓ εd␈εα(␈↓ εp␈εα2␈↓ π∞␈εα)␈α
=␈↓ πR␈εα2␈↓ λ?␈εαif␈↓ λy␈ελe␈↓ 	⊃␈ε⊗∃␈εα␈α
3.
␈β¬R␈↓ ∧V␈εe␈↓ ¬8␈εe␈↓ ¬D␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬X␈↓ ∧"␈ελ∃␈↓ ∧7␈εα(␈↓ ∧C␈ελp␈↓ ∧b␈εα)␈α
=␈↓ ¬&␈ελp␈↓ ¬o␈εα(␈↓ ¬{␈ελp␈↓ ε∃␈ε⊗␈␈εα␈αλ1),␈↓ π1if␈↓ πk␈ελp␈↓ λλ␈εα>␈α
2.␈↓ α␈εα(9)
␈β¬c␈↓ ε9␈ε↓␈␈↓ λ@␈ε↓↓
␈β¬}␈↓ ∧O␈εe␈↓ ¬(␈εe␈↓ εz␈εe␈↓ λ ␈εe
␈βεβ␈↓ ∧≤␈ελ∃␈↓ ∧1␈εα(␈↓ ∧=␈ελp␈↓ ∧f␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⊗␈ελp␈↓ ¬=␈εα)␈α
=␈↓ ε↓␈εαlcm␈↓ εG␈ελ∃␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελp␈↓ π⊂␈εα),␈↓ π,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π\␈εα,␈↓ πl␈ελ∃␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ
␈ελp␈↓ λ4␈εα)␈↓ λN␈εα.
␈βεε␈↓ ∧Z␈επ1␈↓ ¬3␈ε
t␈↓ π¬␈επ1␈↓ λ+␈ε
t
␈βε∃␈↓ ∧O␈ε¬1␈↓ ¬(␈εt␈↓ εz␈ε¬1␈↓ λ ␈εt
␈βεW␈↓ ↓H␈εαOur␈αremarks␈αmay␈αbe␈αsummarized␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtheorem:
␈βπ↔␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α	B.␈εα␈α∪[R.␈α
D.␈α	Carmichael,␈ε∂␈α
Bull.␈α
Amer.␈α	Math.␈α	Soc.␈ε∩␈α
16␈εα␈α	(1910),␈α
232↑238.]␈ε∂␈αThe
␈βπB␈↓ ↓H␈ε∂maxim␈α␈um␈α
period␈αpossible␈α
when␈↓ ¬=␈ελc␈↓ ¬U␈εα=␈α
0␈ε∂␈α
is␈↓ εB␈ελ∃␈↓ εW␈εα(␈↓ εc␈ελm␈↓ πβ␈εα)␈ε∂,␈αwhere␈↓ λ
␈ελ∃␈↓ λ∨␈εα(␈↓ λ+␈ελm␈↓ λK␈εα)␈ε∂␈α
is␈αde|ned␈α
in␈εα␈α(9)␈ε∂.␈αThis
␈βπn␈↓ ↓H␈ε∂period␈αis␈αachiev␈α␈ed␈αif
␈βλ>␈↓ α~␈εαi)␈↓ αI␈ελX␈↓ α|␈ε∂is␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ ¬Q␈ελm␈↓ ¬q␈ε∂;
␈βλK␈↓ αb␈ε¬0
␈βλt␈↓ α⊂␈εαii)␈↓ αI␈ελa␈↓ αg␈ε∂is␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αelemen␈α␈t␈αmodulo␈↓ εI␈ελm␈↓ εh␈ε∂.
␈βλy␈↓ π~␈∧λyπ~≠∂
␈β	u␈↓ ↓H␈εαNote␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αobtain␈αa␈αperiod␈αof␈αlength␈↓ εu␈ελm␈↓ π≤␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αif␈↓ λπ␈ελm␈↓ λ2␈εαis␈αprime;␈αthis␈αis␈αjust␈αone
␈β
 ␈↓ ↓H␈εαless␈αthan␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αlength,␈αso␈αfor␈αall␈αpractical␈αpurposes␈αthe␈αperiod␈αis␈αas␈αlong
␈β
L␈↓ ↓H␈εαas␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t.
␈β
w␈↓ α␈εαThe␈α∞question␈α∞no␈α␈w␈α∂is,␈α∂ho␈α␈w␈α∞can␈α∞w␈α␈e␈α∞|nd␈α∞primitiv␈α␈e␈α∂elemen␈α␈ts␈α∞modulo␈↓ 
.␈ελm␈↓ 
N␈εα?␈α∩The
␈β"␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercises␈αat␈αthe␈αclose␈αof␈αthis␈αsection␈αgiv␈α␈e␈αus␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfacts:
␈β]␈↓ λ⎇␈εe
␈βc␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈αC.␈ε∂␈α→The␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧k␈ελa␈↓ ¬	␈ε∂is␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αelemen␈α␈t␈αmodulo␈↓ λk␈ελp␈↓ 	∃␈ε∂if␈αand␈αonly␈αif
␈β.␈↓ αe␈εe␈↓ ¬]␈εe
␈β3␈↓ α$␈εαi)␈↓ αS␈ελp␈↓ α{␈εα=␈α
2␈ε∂,␈↓ βQ␈ελa␈↓ βo␈ε∂is␈αodd;␈↓ ¬∨or␈↓ ¬K␈ελp␈↓ ¬s␈εα=␈α
4␈ε∂,␈↓ εI␈ελa␈↓ εa␈εαmod␈↓ π+␈εα4␈α
=␈α
3␈ε∂;
␈βY␈↓ β⊃␈εe
␈β↑␈↓ αS␈ε∂or␈↓ α␈␈ελp␈↓ β'␈εα=␈α
8␈ε∂,␈↓ β⎇␈ελa␈↓ ∧∃␈εαmod␈↓ ∧←␈εα8␈α
=␈α
3,␈αε5,␈αε7␈ε∂;␈↓ εQor␈↓ ε⎇␈ελp␈↓ π→␈εα=␈α
2␈ε∂,␈↓ πo␈ελe␈↓ λπ␈ε⊗∃␈εα␈α
4␈ε∂,␈↓ λ]␈ελa␈↓ λu␈εαmod␈↓ 	?␈εα8␈α
=␈α
3,␈αε5␈ε∂;
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε∂or
␈β
E␈↓ πQ␈ε¬(␈↓ π[␈εp␈↓ πj␈ε→␈␈ε¬1)/␈↓ λ-␈εq
␈β
J␈↓ α~␈εαii)␈↓ αS␈ελp␈↓ αq␈ε∂is␈αodd,␈↓ βe␈ελe␈↓ β⎇␈εα=␈α
1␈ε∂,␈↓ ∧S␈ελa␈↓ ∧o␈ε⊗@⊃␈↓ ¬≥␈εα0␈α
(modulo␈↓ εE␈ελp␈↓ εX␈εα)␈ε∂,␈αand␈↓ π@␈ελa␈↓ λE␈ε⊗@⊃␈↓ λs␈εα1␈α
(modulo␈↓ 
≠␈ελp␈↓ 
-␈εα)
␈β
u␈↓ αS␈ε∂for␈αan␈α␈y␈αprime␈αdivisor␈↓ ¬,␈ελq␈↓ ¬H␈ε∂of␈↓ ¬r␈ελp␈↓ ε␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈ε∂;
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε∂or
␈β∞\␈↓ π∂␈εp␈↓ π≡␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	<␈ε¬2
␈β∞a␈↓ α⊂␈εαiii)␈↓ αS␈ελp␈↓ αq␈ε∂is␈αodd,␈↓ βe␈ελe␈↓ β⎇␈εα>␈α
1␈ε∂,␈↓ ∧S␈ελa␈↓ ∧q␈ε∂satis|es␈α(ii),␈αand␈↓ ε⎇␈ελa␈↓ πS␈ε⊗@⊃␈↓ λ↓␈εα1␈α
(modulo␈↓ 	)␈ελp␈↓ 	J␈εα)␈ε∂.
␈β∞f␈↓ 
λ␈∧∞f
λ≠∂
␈β∂b␈↓ ↓H␈εαConditions␈α⊂(ii)␈α⊂and␈α⊂(iii)␈α⊃of␈α⊂this␈α⊂theorem␈α⊂are␈α⊂readily␈α⊃tested␈α⊂on␈α⊂a␈α⊂computer␈α⊂for
␈β⊂∞␈↓ ↓H␈εαlarge␈αvalues␈αof␈↓ β6␈ελp␈↓ βH␈εα,␈αby␈αusing␈αthe␈αe}cien␈α␈t␈αmethods␈αfor␈αevaluating␈αpo␈α␈w␈α␈ers␈αdiscussed
␈β⊂9␈↓ ↓H␈εαin␈α∞Section␈α∞4.6.3.␈α∪Theorem␈α∞C␈α∞applies␈α∞to␈α∂po␈α␈w␈α␈ers␈α∞of␈α∞primes␈α∞only;␈α⊂if␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α∞giv␈α␈en
␈β⊂]␈↓ ε+␈εe
␈β⊂d␈↓ ↓H␈εαvalues␈↓ α9␈ελa␈↓ αf␈εαthat␈α⊂are␈α∂primitiv␈α␈e␈α∂modulo␈↓ ε→␈ελp␈↓ εB␈εα,␈α⊂it␈α∂is␈α⊂possible␈α∂to␈α∂|nd␈α⊂a␈α∂single␈α∂value␈↓ ≠␈ελa
␈β⊂f␈↓ ε6␈ε
j
␈β⊂q␈↓ αJ␈εj
␈β⊂w␈↓ ε&␈εj
␈β⊃␈↓ ¬␈εe
␈β⊃∪␈↓ ↓H␈εαsuch␈α∂that␈↓ αm␈ελa␈↓ β∞␈ε⊗⊃␈↓ βA␈ελa␈↓ βn␈εα(modulo␈↓ ∧z␈ελp␈↓ ¬#␈εα),␈α⊂for␈α∞1␈ε⊗␈α∂∀␈↓ εW␈ελj␈↓ εv␈ε⊗∀␈↓ π)␈ελt␈↓ π6␈εα,␈α⊂using␈α∂the␈α∂\Chinese␈α∞remainder
␈β⊃∃␈↓ ¬↔␈ε
j
␈β⊃ ␈↓ βR␈εj
␈β⊃&␈↓ ¬π␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα20␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαalgorithm"␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α4.3.2,␈αand␈αthis␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ λ-␈ελa␈↓ λK␈εαwill␈αbe␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αele-
␈βαN␈↓ β;␈εe␈↓ ∧∀␈εe
␈βαS␈↓ ↓H␈εαmen␈α␈t␈α∂modulo␈↓ β)␈ελp␈↓ βR␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈ελp␈↓ ∧)␈εα.␈α∃Hence␈α∂there␈α∂is␈α⊂a␈α∂reasonably␈α∂e}cien␈α␈t␈α∂way␈α∂to␈α∂construct
␈βαW␈↓ βG␈επ1␈↓ ∧∨␈ε
t
␈βαe␈↓ β;␈ε¬1␈↓ ∧∀␈εt
␈βα}␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultipliers␈α∞satisfying␈α∞the␈α∞condition␈α∞of␈α∞Theorem␈α∞B␈↓ π←␈εα,␈α∂for␈α∞an␈α␈y␈α∞desired␈α∞value␈α∞of␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα,
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαalthough␈αthe␈αcalculations␈αcan␈αbe␈αsomewhat␈αlength␈α␈y␈αin␈αthe␈αgeneral␈αcase.
␈ββQ␈↓ ¬D␈εe
␈ββV␈↓ α␈εαIn␈α
the␈α
common␈α
case␈↓ ∧W␈ελm␈↓ ¬α␈εα=␈↓ ¬2␈εα2␈↓ ¬P␈εα,␈α
with␈↓ ε:␈ελe␈↓ εU␈ε⊗∃␈εα␈α4,␈α∞the␈α
conditions␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
simplify␈α
to
␈β∧↓␈↓ ↓H␈εαthe␈αsingle␈αrequiremen␈α␈t␈αthat␈↓ ∧{␈ελa␈↓ ¬↔␈ε⊗⊃␈εα␈α
3␈αor␈α5␈α
(modulo␈α8).␈αIn␈αthis␈αcase,␈αone-fourth␈αof␈αall
␈β∧,␈↓ ↓H␈εαpossible␈αm␈α␈ultipliers␈αgiv␈α␈e␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αperiod.
␈β∧S␈↓ πn␈εe
␈β∧X␈↓ α␈εαThe␈α
second␈α
most␈α
common␈α
case␈αis␈α
when␈↓ εs␈ελm␈↓ π≤␈εα=␈α
1␈↓ π\␈εα0␈↓ πz␈εα.␈αUsing␈α
Lemmas␈α
P␈α
and␈α
Q␈↓ ␈εα,␈α
it
␈β¬β␈↓ ↓H␈εαis␈αnot␈αdi}cult␈αto␈αobtain␈αnecessary␈αand␈αsu}cien␈α␈t␈αconditions␈αfor␈αthe␈αachiev␈α␈emen␈α␈t
␈β¬/␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αperiod␈αin␈αthe␈αcase␈αof␈αa␈αdecimal␈αcomputer␈α(cf.␈αex␈α␈ercise␈α18):
␈β¬p␈↓ ∧E␈εe
␈β¬u␈↓ ↓H␈ε∩Theorem␈α
D.␈ε∂␈α~If␈↓ βF␈ελm␈↓ βr␈εα=␈α1␈↓ ∧3␈εα0␈↓ ∧Q␈ε∂,␈↓ ∧h␈ελe␈↓ ¬α␈ε⊗∃␈εα␈α5␈ε∂,␈↓ ¬Z␈ελc␈↓ ¬t␈εα=␈α0␈ε∂,␈α∞and␈↓ π∀␈ελX␈↓ πH␈ε∂is␈α
not␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈εα␈α2␈ε∂␈α
or␈εα␈α
5␈ε∂,␈α
the
␈βεβ␈↓ π-␈ε¬0
␈βε≠␈↓ πu␈εe␈↓ λ↓␈ε→␈␈ε¬2
␈βε ␈↓ ↓H␈ε∂period␈αof␈α
the␈αlinear␈α
congruen␈α␈tial␈αsequence␈α
is␈εα␈α5␈ε⊗␈α	α␈εα␈αλ1␈↓ πc␈εα0␈↓ λ8␈ε∂if␈α
and␈α
only␈αif␈↓ 
∃␈ελa␈↓ 
,␈εαmod␈↓ 
v␈εα200
␈βεL␈↓ ↓H␈ε∂equals␈αone␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈εα␈α32␈ε∂␈αvalues:
␈βπ≥␈↓ ↓l␈εα3,␈α11,␈α13,␈α19,␈α21,␈α27,␈α29,␈α37,␈α53,␈α59,␈α61,␈α67,␈α69,␈α77,␈α83,␈α91,␈α109,␈α117,
␈βπ3␈↓ 
p␈εα(10)
␈βπH␈↓ ↓l␈εα123,␈α131,␈α133,␈α139,␈α141,␈α147,␈α163,␈α171,␈α173,␈α179,␈α181,␈α187,␈α189,␈α197.
␈βπM␈↓ 
/␈∧πM
/≠∂
␈βλz␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β	P␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈α∞i␈α↓s␈α∞the␈α∞leng␈α␈th␈α∂o␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈eriod␈α∞of␈α∂th␈α␈e␈α∂linea␈α␈r␈α∂co␈α␈ngr␈α␈uen␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈α∂sequ␈α␈en␈α␈ce␈α∂with
␈β	w␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓u␈εβ=␈α	57␈α␈721␈α␈566␈α␈48,␈↓ βZ␈ε	a␈↓ βt␈εβ=␈α	314␈α␈15␈α␈926␈α␈21,␈↓ ¬Y␈ε	c␈↓ ¬o␈εβ=␈α
27␈α␈18␈α␈281␈α␈829␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ λ∃␈ε	m␈↓ λ<␈εβ=␈α
1␈α␈000␈α␈00␈α␈000␈α␈00?
␈β
α␈↓ ↓←␈εε0
␈β
-␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Are␈α
th␈α␈e␈α	f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α	tw␈α␈o␈α	co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns␈α
s␈α␈u}cien␈α}t␈α
to␈α	gu␈α␈ara␈α␈n␈α␈tee␈α	the␈α	ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
len␈α␈gth
␈β
U␈↓ ↓H␈εβp␈α␈eriod␈α␈,␈αwh␈α␈en␈↓ β∞␈ε	m␈↓ β6␈εβis␈αa␈αpo␈α}w␈α␈er␈αof␈α2?␈α\␈α␈(␈α↓i)␈↓ ¬↑␈ε	c␈↓ ¬v␈εβis␈αodd␈α␈;␈α(i␈α↓i)␈↓ π∃␈ε	a␈↓ π+␈εβmod␈↓ πp␈εβ4␈αλ=␈α
1."
␈βε␈↓ ¬→␈εe
␈β
␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	13␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Su␈α␈pp␈α␈ose␈αtha␈α␈t␈↓ ∧%␈ε	m␈↓ ∧M␈εβ=␈α
1␈↓ ¬	␈εβ0␈↓ ¬$␈εβ,␈αwhere␈↓ ε~␈ε	e␈↓ ε1␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈αa␈α␈nd␈αsu␈α␈pp␈α␈ose␈αfu␈α␈rthe␈α␈r␈αtha␈α␈t␈↓ 	{␈ε	c␈↓ 
∀␈εβis␈αodd␈αa␈α␈nd
␈β2␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈α	a␈α	m␈α␈ultiple␈α	of␈α
5␈α␈.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
linea␈α␈r␈α
c␈α␈ong␈α␈ruen␈α}tial␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α	wil␈α↓l␈α	hav␈α}e␈α	the␈α	max␈α␈im␈α␈um
␈βZ␈↓ ↓H␈εβlen␈α␈gth␈α
period␈α
if␈αa␈α␈nd␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
i␈α↓f␈↓ ∧]␈ε	a␈↓ ∧s␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬7␈εβ20␈α	=␈α	1.
␈β␈↓ _␈εe
␈β∂␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Whe␈α␈n␈↓ βZ␈ε	a␈↓ βy␈εβan␈α␈d␈↓ ∧=␈ε	c␈↓ ∧X␈εβsatisfy␈α∞th␈α␈e␈α∞con␈α␈dition␈α␈s␈α∂o␈α␈f␈α∂Th␈α␈eore␈α␈m␈α∂A␈↓ λv␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞wh␈α␈en␈↓ 
,␈ε	m␈↓ 
X␈εβ=␈↓ λ␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈β7␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓u␈εβ=␈α	0,␈αwha␈α␈t␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αva␈α␈lue␈αof␈↓ ∧r␈ε	X␈↓ ¬B␈εβ?
␈βB␈↓ ↓←␈εε0␈↓ ¬∃␈ε
e␈↓ ¬ ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βE␈↓ ¬	␈εε2
␈βm␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	14␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αall␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓e␈α␈rs␈↓ ¬α␈ε	a␈↓ ¬∨␈εβth␈α␈at␈αsatisfy␈αthe␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
The␈α␈orem␈αA␈α
wh␈α␈en␈↓ 
b␈ε	m␈↓ ␈εβ=
␈β
⊂␈↓ ↓X␈εε35
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓y␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈α~(Th␈α␈e␈αprime␈αfa␈α␈ctors␈αo␈α␈f␈↓ ¬↔␈ε	m␈↓ ¬?␈εβma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αfoun␈α␈d␈αin␈αTa␈α␈ble␈α3.2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓1␈α␈↑1.)
␈β
F␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
J␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αall␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓e␈α␈rs␈↓ ¬α␈ε	a␈↓ ¬∨␈εβth␈α␈at␈αsatisfy␈αthe␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
The␈α␈orem␈αA␈α
wh␈α␈en␈↓ 
b␈ε	m␈↓ ␈εβ=
␈β
n␈↓ ↓i␈εε6
␈β
r␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ ↓X␈εβ0␈↓ ↓⎇␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α~(S␈α␈ee␈αTab␈α␈le␈α3.2.1.1↑␈α␈1.)
␈β∞$␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞(␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈αp␈α␈eriod␈αof␈αa␈αcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈tial␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈αn␈α␈eed␈αn␈α␈ot␈αsta␈α␈rt␈αwith␈↓ 	S␈ε	X␈↓ 	w␈εβ,␈αb␈α␈ut␈αw␈α␈e␈αcan
␈β∞2␈↓ 	j␈εε0
␈β∞O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α
|n␈α␈d␈α∞in␈α␈dices␈↓ βl␈ε	⊗␈↓ ∧␈ε↔∃␈εβ␈α∞0␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬≥␈ε	∃␈↓ ¬>␈εβ>␈α∞0␈α
suc␈α␈h␈α∞th␈α␈at␈↓ π$␈ε	X␈↓ λβ␈εβ=␈↓ λ2␈ε	X␈↓ λg␈εβwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ 	|␈ε	n␈↓ 
≡␈ε↔∃␈↓ 
M␈ε	⊗␈↓ 
←␈εβ,␈α∂a␈α␈nd
␈β∞Z␈↓ π<␈εn␈↓ πL␈εε+␈↓ πe␈ε∃␈↓ λI␈εn
␈β∞w␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ α↑␈ε	⊗␈↓ α⎇␈εβan␈α␈d␈↓ β?␈ε	∃␈↓ β←␈εβare␈αth␈α␈e␈αsmallest␈αpos␈α␈si␈α↓b␈α␈le␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α
with␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈rope␈α␈rty.␈α≤(Cf.␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈s
␈β∂↔␈↓ 
␈εe
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑6␈α	and␈α	3.2␈α␈.␈α↓1␈α␈↑1.)␈α⊗If␈↓ ∧
␈ε	⊗␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈ε	∃␈↓ ∧b␈εβa␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
ind␈α␈i␈α↓c␈α␈es␈α
co␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈ing␈α	to␈α
th␈α␈e␈α
seq␈α␈uen␈α␈ces␈α
(␈↓ 
∂␈ε	X␈↓ 
8␈εβmo␈α␈d␈↓ 
|␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β∂∨␈↓ _␈ε
j
␈β∂)␈↓ ∧≡␈εj␈↓ ∧L␈εj␈↓ 
&␈εε0
␈β∂0␈↓ 	␈εj
␈β∂?␈↓ α3␈εe␈↓ β@␈εe␈↓ βu␈εe
␈β∂A␈↓ 	>␈εe
␈β∂B␈↓ 
⊃␈εe
␈β∂F␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓↑␈εβm␈α␈od␈↓ α"␈ε	p␈↓ αI␈εβ,␈↓ αX␈ε	c␈↓ αj␈εβmod␈↓ β/␈ε	p␈↓ βU␈εβ,␈↓ βd␈ε	p␈↓ ∧␈εβ),␈απan␈α␈d␈α¬i␈α↓f␈↓ ∧|␈ε	⊗␈↓ ¬∞␈εβ,␈↓ ¬≥␈ε	∃␈↓ ¬6␈εβco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α¬to␈α¬the␈α¬sequ␈α␈enc␈α␈e␈αε(␈↓ λ?␈ε	X␈↓ λc␈εβ,␈↓ λr␈ε	a␈↓ 	α␈εβ,␈↓ 	⊃␈ε	c␈↓ 	≡␈εβ,␈↓ 	-␈ε	p␈↓ 	S␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
$␈εβ),␈απLemma
␈β∂G␈↓ α=␈ε
j␈↓ βJ␈ε
j␈↓ β␈␈ε
j
␈β∂I␈↓ 	H␈επ1␈↓ 
≠␈ε
t
␈β∂Q␈↓ λV␈εε0
␈β∂U␈↓ 
⊃␈εt
␈β∂V␈↓ 	>␈εε1
␈β∂W␈↓ α/␈εj␈↓ β;␈εj␈↓ βq␈εj
␈β∂n␈↓ ↓H␈εβQ␈αstate␈α␈s␈α
th␈α␈at␈↓ β↔␈ε	∃␈↓ β7␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
lea␈α␈st␈α
co␈α␈mmo␈α␈n␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ π⊗␈ε	∃␈↓ π5␈εβ,␈↓ πD␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πq␈εβ,␈↓ π␈␈ε	∃␈↓ λ≤␈εβ.␈α∂What␈αis␈α
th␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈α
o␈α␈f␈↓ 
r␈ε	⊗␈↓ ⊃␈εβin
␈β∂x␈↓ π)␈εε1␈↓ λ∩␈εt
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rms␈αof␈α
the␈αv␈α␈alu␈α␈es␈αof␈↓ ∧⊂␈ε	⊗␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧<␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧i␈εβ,␈↓ ∧x␈ε	⊗␈↓ ¬∪␈εβ?␈αWh␈α␈at␈αis␈αth␈α␈e␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αp␈α␈ossible␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αof␈↓ 	x␈ε	⊗␈↓ 
∃␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ab␈α␈l␈α↓e
␈β⊂ ␈↓ ∧!␈εε1␈↓ ¬	␈εt
␈β⊂8␈↓ ¬j␈εe
␈β⊂9␈↓ ε=␈εe
␈β⊂=␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αv␈α␈ary␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ αr␈ε	X␈↓ β⊗␈εβ,␈↓ β*␈ε	a␈↓ β:␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ ∧∂␈ε	c␈↓ ∧≤␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ ¬λ␈ε	m␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε	p␈↓ ¬␈␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε,␈ε	p␈↓ ε[␈εβi␈α↓s␈α|␈α␈x␈α␈e␈α␈d?
␈β⊂?␈↓ ¬t␈επ1␈↓ εG␈ε
t
␈β⊂G␈↓ β	␈εε0
␈β⊂L␈↓ ε=␈εt
␈β⊂M␈↓ ¬j␈εε1
␈β⊂n␈↓ π6␈ε
e␈↓ πA␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂r␈↓ π*␈εε2␈↓ ↔␈εe
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
if␈↓ ∧=␈ε	a␈↓ ∧S␈εβm␈α␈od␈↓ ¬↔␈εβ4␈α
=␈α
3␈α␈,␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈α
(␈↓ π→␈ε	a␈↓ πk␈ε↔␈␈εβ␈α	1)/(␈↓ λM␈ε	a␈↓ λf␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α
0␈α(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ε␈εβ2␈↓ !␈εβ)
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	e␈↓ α5␈εβ>␈α	1.␈α→(␈α↓Use␈α
L␈α↓e␈α␈mma␈αP.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.2␈ε∞␈↓ πgCHOICE␈α	OF␈α	MU␈α␈L␈α}TIP␈α␈LIER␈↓ λ␈εα21
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ πm␈εe
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(W.␈α
E␈α↓.␈α
Th␈α␈omso␈α␈n.)␈α⊗W␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬p␈ε	c␈↓ επ␈εβ=␈α	0␈α
a␈α␈nd␈↓ π␈ε	m␈↓ π2␈εβ=␈↓ π\␈εβ2␈↓ λ↓␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈6,␈α
Theo␈α␈rems␈α
B␈α
an␈α␈d␈α
C␈α	say
␈βαN␈↓ ∧b␈εe␈↓ ∧m␈ε~␈␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αthe␈αp␈α␈eriod␈αha␈α␈s␈αlen␈α␈gth␈↓ ∧R␈εβ2␈↓ ¬≡␈εβi␈α↓f␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈αt␈α␈he␈αm␈α␈ultiplier␈↓ λ<␈ε	a␈↓ λX␈εβsatis|␈α␈es␈↓ 	S␈ε	a␈↓ 	i␈εβm␈α␈od␈↓ 
-␈εβ8␈α
=␈α
3␈αo␈α␈r
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓↑␈εβm␈α␈od␈↓ α"␈εβ8␈α	=␈α
5␈α␈.␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈at␈αλev␈α}ery␈απsuc␈α␈h␈αλse␈α␈que␈α␈nce␈απis␈αλessen␈α}tiall␈α↓y␈απa␈απli␈α↓n␈α␈ear␈απcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈tial␈αλse␈α␈que␈α␈nce
␈ββ≥␈↓ αu␈εe␈↓ β␈ε~␈␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α∪␈ε	m␈↓ α:␈εβ=␈↓ αe␈εβ2␈↓ β&␈εβ,␈αha␈α␈ving␈ε⊂␈α
full␈εβ␈αperiod␈α␈,␈αi␈α↓n␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αsen␈α␈se:
␈ββS␈↓ ¬%␈εe
␈ββW␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	X␈↓ β∧␈εβ=␈α	(4␈↓ βJ␈ε	c␈↓ β←␈εβ+␈απ1)␈↓ ∧#␈ε	X␈↓ ∧P␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬∀␈εβ2␈↓ ¬0␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	X␈↓ ε6␈εβ=␈α	4␈↓ εq␈ε	Y␈↓ π≤␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αth␈α␈en
␈ββa␈↓ αD␈εn␈↓ αU␈εε+1␈↓ ∧:␈εn␈↓ ε≤␈εn␈↓ π∧␈εn
␈β∧#␈↓ λ␈εe␈↓ λ␈ε~␈␈εε2
␈β∧&␈↓ ¬8␈εα(␈↓ π→␈εα)
␈β∧)␈↓ ∧:␈ε	Y␈↓ ¬
␈εβ=␈↓ ¬D␈εβ(4␈↓ ¬`␈ε	c␈↓ ¬t␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ ε8␈ε	Y␈↓ εc␈εβ+␈↓ π␈ε	c␈↓ π+␈εβm␈α␈od␈↓ πo␈εβ2␈↓ λ0␈εβ.
␈β∧3␈↓ ∧N␈εn␈↓ ∧↑␈εε+1␈↓ εL␈εn
␈β∧w␈↓ ¬%␈εe␈↓ π4␈εn␈↓ 	7␈εe
␈β∧x␈↓ ε`␈εα(␈↓ λP␈εα)
␈β∧{␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	X␈↓ β∧␈εβ=␈α	(4␈↓ βJ␈ε	c␈↓ β←␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ ∧#␈ε	X␈↓ ∧P␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬∀␈εβ2␈↓ ¬0␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	X␈↓ ε6␈εβ=␈↓ εl␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ π)␈εβ)␈↓ πE␈εβ(4␈↓ π`␈ε	Y␈↓ λ␈εβ+␈αλ1)␈↓ λa␈εβmod␈↓ 	&␈εβ2␈↓ 	A␈εβ,␈αth␈α␈en
␈β¬ε␈↓ αD␈εn␈↓ αU␈εε+1␈↓ ∧:␈εn␈↓ ε≤␈εn␈↓ πt␈εn
␈β¬G␈↓ λ␈εe␈↓ λ␈ε~␈␈εε2
␈β¬J␈↓ ¬8␈εα(␈↓ π→␈εα)
␈β¬M␈↓ ∧:␈ε	Y␈↓ ¬
␈εβ=␈↓ ¬D␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ4␈↓ ε ␈ε	c␈↓ ε-␈εβ)␈↓ ε8␈ε	Y␈↓ εc␈ε↔␈␈↓ π␈ε	c␈↓ π+␈εβm␈α␈od␈↓ πo␈εβ2␈↓ λ0␈εβ.
␈β¬X␈↓ ∧N␈εn␈↓ ∧↑␈εε+1␈↓ εL␈εn
␈βε ␈↓ α␈εβ(␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αIn␈α
th␈α␈ese␈α
form␈α}ulas,␈↓ ∧⎇␈ε	c␈↓ ¬∀␈εβi␈α↓s␈α	an␈α
o␈α␈dd␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r.␈αThe␈α
litera␈α␈ture␈α
co␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α
sev␈α}eral␈α
state␈α␈-
␈βεH␈↓ ↓H␈εβm␈α␈en␈α␈ts␈α
to␈α	the␈α	e{␈α↓e␈α␈ct␈α
tha␈α␈t␈α
sequ␈α␈en␈α␈ces␈α
with␈↓ εε␈ε	c␈↓ ε≤␈εβ=␈α	0␈α
satisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
Th␈α␈eorem␈α	B␈α
are␈α
so␈α␈meho␈α}w␈α
more
␈βεo␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈α
tha␈α␈n␈α
sequ␈α␈en␈α␈ces␈α
satisfyin␈α␈g␈α∞Th␈α␈eore␈α␈m␈α∞A␈↓ εl␈εβ,␈α∞in␈α
spite␈α
of␈α
the␈α
fac␈α␈t␈α∞th␈α␈at␈α
the␈α
pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈α
is
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nly␈αλon␈α␈e-fou␈α␈rth␈αλas␈αλl␈α↓o␈α␈ng␈αλin␈αλthe␈αλca␈α␈se␈α	o␈α␈f␈α	Th␈α␈eorem␈αλB␈↓ ε}␈εβ.␈α
This␈α	e␈α␈x␈α␈ercise␈αλrefu␈α␈tes␈α	su␈α␈ch␈αλsta␈α␈temen␈α}ts;
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβin␈αe␈α␈ssenc␈α␈e,␈αo␈α␈ne␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}es␈αup␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αbits␈αof␈αth␈α␈e␈αwo␈α␈rd␈αlen␈α␈gth␈αin␈αo␈α␈rde␈α␈r␈αt␈α␈o␈αsav␈α}e␈αthe␈αad␈α␈dition␈α
of␈↓ ⊗␈ε	c␈↓ #␈εβ,
␈βπf␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	m␈↓ αG␈εβis␈αa␈αpo␈α}w␈α␈er␈αof␈α2.)
␈βλ≤␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗For␈αwh␈α␈at␈αv␈α␈alues␈αo␈α␈f␈↓ ¬⊗␈ε	m␈↓ ¬>␈εβis␈↓ ¬←␈ε	∃␈↓ ¬s␈εβ(␈↓ ¬}␈ε	m␈↓ ε≠␈εβ)␈α	=␈↓ εZ␈ε	⎇␈↓ εo␈εβ(␈↓ εz␈ε	m␈↓ π_␈εβ)?
␈βλN␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλR␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	x␈↓ βM␈εβb␈α␈e␈α	an␈α	o␈α␈dd␈α	in␈α}teger␈α	g␈α␈reater␈α	th␈α␈an␈α	1␈α␈.␈α∃(a)␈α	Sh␈α␈o␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α	there␈α	e␈α␈xists␈α	a␈α	un␈α␈ique
␈βλu␈↓ ¬␈εf␈↓ εy␈εf␈↓ πε␈εε+1␈↓ 
←␈εe
␈βλy␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α7␈ε	f␈↓ αR␈εβ>␈α1␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧2␈ε	x␈↓ ∧O␈ε↔⊃␈↓ ∧|␈εβ2␈↓ ¬!␈ε↔ε␈εβ␈α	1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ εh␈εβ2␈↓ π,␈εβ).␈α≤(b␈α␈)␈α
Giv␈α}en␈αth␈α␈at␈α1␈α<␈↓ 
¬␈ε	x␈↓ 
"␈εβ<␈↓ 
O␈εβ2␈↓ 
r␈ε↔␈␈εβ␈α	1
␈β	!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
th␈α␈at␈↓ αO␈ε	f␈↓ αj␈εβis␈αt␈α␈he␈α
corre␈α␈spon␈α␈din␈α␈g␈αin␈α}teger␈α
from␈α
pa␈α␈rt␈α(a␈α␈),␈αsho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αo␈α␈rde␈α␈r␈αof␈↓ 
%␈ε	x␈↓ 
A␈εβmod␈α␈ulo
␈β	E␈↓ ↓X␈εe␈↓ α ␈εe␈↓ α+␈ε~␈␈↓ αD␈εf
␈β	I␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓n␈εβis␈↓ α∂␈εβ2␈↓ αQ␈εβ.␈α→(c)␈αIn␈αp␈α␈articula␈α␈r,␈αth␈α␈is␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈αThe␈α␈orem␈αC(i).
␈β	␈␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	p␈↓ βL␈εβb␈α␈e␈α	a␈α␈n␈α	od␈α␈d␈αλprime.␈α
If␈↓ ¬f␈ε	e␈↓ ¬⎇␈εβ>␈α	1,␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α	th␈α␈at␈↓ πi␈ε	a␈↓ λα␈εβi␈α↓s␈αλa␈α	primitiv␈α␈e␈αλelemen␈α}t␈α	mod␈α␈ulo
␈β
"␈↓ ↓Y␈εe␈↓ λ∀␈εp␈↓ λ!␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
/␈εε2
␈β
#␈↓ 
m␈εα(
␈β
&␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓p␈εβif␈α
an␈α␈d␈αonly␈αif␈↓ β@␈ε	a␈↓ β]␈εβi␈α↓s␈αa␈α
p␈α␈rimitiv␈α␈e␈α
e␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}t␈α
mod␈α␈ulo␈↓ π#␈ε	p␈↓ πA␈εβa␈α␈nd␈↓ λβ␈ε	a␈↓ λS␈ε↔@⊃␈↓ 	␈εβ1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
≡␈ε	p␈↓ 
<␈εβ).␈↓ 
y␈εβFo␈α␈r
␈β
J␈↓ εe␈εe␈↓ πB␈εe␈↓ πL␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β
N␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈urp␈α␈ose␈α␈s␈αof␈αth␈α␈is␈αex␈α}ercise,␈αassu␈α␈me␈αt␈α␈hat␈↓ ε5␈ε	∃␈↓ εI␈εβ(␈↓ εT␈ε	p␈↓ εp␈εβ)␈α
=␈↓ π1␈ε	p␈↓ πr␈εβ(␈↓ π⎇␈ε	p␈↓ λ⊗␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α
This␈αfa␈α␈ct␈αis␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈d␈αin
␈β
r␈↓ ∧E␈εα)
␈β
u␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercises␈α1␈α␈4␈αan␈α␈d␈α1␈α␈6␈αbe␈α␈l␈α↓o␈α}w.
␈β+␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β6␈ε	p␈↓ βT␈εβb␈α␈e␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈α⊃Giv␈α␈en␈αth␈α␈at␈↓ ε≤␈ε	a␈↓ ε9␈εβi␈α↓s␈α
n␈α␈ot␈α
a␈αprimitiv␈α␈e␈αel␈α↓e␈α␈men␈α}t␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 
>␈ε	p␈↓ 
O␈εβ,␈α
sho␈α}w
␈βO␈↓ ¬X␈εε(␈↓ ¬`␈εp␈↓ ¬n␈ε~␈␈εε1)/␈↓ ε)␈εq
␈βS␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
eith␈α␈er␈↓ αr␈ε	a␈↓ β⊂␈εβis␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
o␈α␈f␈↓ ∧␈␈ε	p␈↓ ¬≥␈εβo␈α␈r␈↓ ¬G␈ε	a␈↓ εB␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α(mod␈α␈ulo␈↓ λ∂␈ε	p␈↓ λ∨␈εβ)␈α∞fo␈α␈r␈α∞so␈α␈me␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ ≡␈ε	q
␈βz␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ β↓␈ε	p␈↓ β→␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.
␈β0␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M18␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β→␈ε	e␈↓ β0␈εβ>␈α1␈αa␈α␈nd␈↓ ∧:␈ε	p␈↓ ∧W␈εβis␈αan␈αod␈α␈d␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,␈αand␈αif␈↓ π4␈ε	a␈↓ πP␈εβi␈α↓s␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αelemen␈α}t␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈βT␈↓ λ8␈εe
␈βX␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αeither␈↓ βI␈ε	a␈↓ βd␈εβor␈↓ ∧
␈ε	a␈↓ ∧%␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	p␈↓ ∧i␈εβi␈α↓s␈αa␈α
primitiv␈α␈e␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈αm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ λ'␈ε	p␈↓ λC␈εβ.␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αSee␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α1␈α␈2.]
␈β
∞␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ βi␈ε	a␈↓ ∧¬␈εβ,␈↓ ∧∀␈ε	a␈↓ ∧=␈εβbe␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
to␈↓ π
␈ε	m␈↓ π(␈εβ,␈α
an␈α␈d␈αl␈α↓e␈α␈t␈α
the␈α␈i␈α↓r␈αorde␈α␈rs␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
a␈ε	m␈↓ ␈εβbe
␈β
→␈↓ βy␈εε1␈↓ ∧$␈εε2
␈β
0␈↓ 
l␈ε∀␈↓ ∀␈ε∀
␈β
6␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓g␈εβ,␈↓ ↓v␈ε	∃␈↓ α∃␈εβ,␈α
resp␈α␈ectiv␈α}el␈α↓y␈α␈.␈α⊂If␈↓ ∧∩␈ε	∃␈↓ ∧2␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
lea␈α␈st␈α
co␈α␈mmo␈α␈n␈α
m␈α}ultiple␈α
o␈α␈f␈↓ λ∩␈ε	∃␈↓ λ>␈εβa␈α␈nd␈↓ 	␈ε	∃␈↓ 	∨␈εβ,␈α
pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈↓ 
[␈ε	a␈↓ ∧␈ε	a
␈β
8␈↓ 
y␈επ1␈↓ !␈επ2
␈β
@␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ αλ␈εε2␈↓ λ$␈εε1␈↓ 	∪␈εε2
␈β
F␈↓ 
l␈εε1␈↓ ∀␈εε2
␈β
]␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈α	ord␈α␈er␈↓ αV␈ε	∃␈↓ αs␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ βg␈ε	m␈↓ ∧¬␈εβ,␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α	suitab␈α␈le␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ ε=␈ε	∀␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	∀␈↓ π∧␈εβ.␈α∀[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈αCo␈α␈nside␈α␈r␈α
|␈α␈rst␈α	the␈α	c␈α␈ase␈α	tha␈α␈t␈↓ 
␈ε	∃
␈β
h␈↓ εL␈εε1␈↓ εw␈εε2␈↓  ␈εε1
␈β∞¬␈↓ ↓H␈εβis␈α
relativ␈α␈ely␈α
p␈α␈rime␈αt␈α␈o␈↓ ∧↓␈ε	∃␈↓ ∧ ␈εβ.]␈α_(b␈α␈)␈αLet␈↓ ¬9␈ε	∃␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε	m␈↓ ¬u␈εβ)␈αb␈α␈e␈αt␈α␈he␈α
max␈α␈im␈α␈um␈α
ord␈α␈er␈α
of␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
elem␈α␈en␈α␈t␈α
mod␈α␈ulo
␈β∞∂␈↓ ∧∪␈εε2
␈β∞,␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ.␈αPro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈↓ β≠␈ε	∃␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	m␈↓ βW␈εβ)␈α
is␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
ord␈α␈er␈α
o␈α␈f␈αe␈α␈ach␈α	elemen␈α}t␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 	;␈ε	m␈↓ 	Y␈εβ;␈α
tha␈α␈t␈α
i␈α↓s␈α␈,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β∞P␈↓ α ␈ε∃␈↓ α0␈εε(␈↓ α9␈εm␈↓ αP␈εε)
␈β∞T␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ αa␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧'␈ε	m␈↓ ∧E␈εβ)␈αwh␈α␈enev␈α}er␈↓ ¬n␈ε	a␈↓ ε	␈εβi␈α↓s␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ λE␈ε	m␈↓ λb␈εβ.
␈β∂ε␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ π{␈εn␈↓ λf␈εn␈↓ λw␈ε~␈␈εε1
␈β∂
␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β5␈ε	p␈↓ βQ␈εβbe␈αa␈αprime␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r.␈α≠(a)␈αLet␈↓ ε|␈ε	f␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π(␈εβ)␈α=␈↓ πj␈ε	x␈↓ λ∪␈εβ+␈↓ λ<␈ε	c␈↓ λU␈ε	x␈↓ 	$␈εβ+␈↓ 	N␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ 	|␈εβ+␈↓ 
&␈ε	c␈↓ 
B␈εβ,␈αwhere
␈β∂∀␈↓ λI␈εε1␈↓ 
2␈εn
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ ↓␈␈ε	c␈↓ α␈εβ's␈α	are␈α	in␈α␈te␈α␈gers.␈α
Gi␈α↓v␈α}en␈αλthat␈↓ ¬
␈ε	a␈↓ ¬#␈εβis␈α	an␈α	in␈α}teger␈α	fo␈α␈r␈α	w␈α↓h␈α␈ich␈↓ πk␈ε	f␈↓ πz␈εβ(␈↓ λε␈ε	a␈↓ λ⊗␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
0␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	p␈ε	p␈↓ 
↓␈εβ),␈α
sho␈α}w␈α	tha␈α␈t
␈β∂U␈↓ ¬<␈εn␈↓ ¬M␈ε~␈␈εε1␈↓ εL␈εn␈↓ ε]␈ε~␈␈εε2
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αe␈α␈xists␈αa␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ ∧A␈ε	q␈↓ ∧P␈εβ(␈↓ ∧[␈ε	x␈↓ ∧l␈εβ)␈α	=␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ+␈↓ ε"␈ε	q␈↓ ε;␈ε	x␈↓ π
␈εβ+␈↓ π2␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πa␈εβ+␈↓ λ	␈ε	q␈↓ λV␈εβwi␈α↓th␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β∂d␈↓ ε.␈εε1␈↓ λ∃␈εn␈↓ λ%␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈↓ αY␈ε	f␈↓ αh␈εβ(␈↓ αt␈ε	x␈↓ β¬␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
(␈↓ βO␈ε	x␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧≥␈εβ)␈↓ ∧(␈ε	q␈↓ ∧7␈εβ(␈↓ ∧B␈ε	x␈↓ ∧S␈εβ)␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ ¬z␈εβ)␈α
for␈α	all␈α
in␈α␈te␈α␈gers␈↓ πg␈ε	x␈↓ πy␈εβ.␈α∃(␈α↓b␈α␈)␈α
Let␈↓ 	¬␈ε	f␈↓ 	∃␈εβ(␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	2␈εβ)␈α	be␈α	a␈α	poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α
i␈α↓n␈α(a).␈α⊃Sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ ∧␈ε	f␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε	x␈↓ ∧,␈εβ)␈α
has␈α
a␈α␈t␈α
most␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε!␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈α
\r␈α␈oots"␈αmod␈α␈ulo␈↓ 	
␈ε	p␈↓ 	≠␈εβ;␈α∞th␈α␈at␈α
is,␈α∞th␈α␈ere␈α
are
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈↓ αC␈ε	n␈↓ αc␈εβin␈α␈te␈α␈gers␈↓ β↑␈ε	a␈↓ βo␈εβ,␈αwith␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬↔␈ε	a␈↓ ¬2␈εβ<␈↓ ¬↑␈ε	p␈↓ ¬n␈εβ,␈α
su␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ π→␈ε	f␈↓ π)␈εβ(␈↓ π4␈ε	a␈↓ πD␈εβ)␈ε↔␈α⊃␈εβ␈α
0␈α
(mod␈α␈ulo␈↓ 	"␈ε	p␈↓ 	3␈εβ).␈α~(␈α↓c␈α␈)␈αBecau␈α␈se␈αo␈α␈f
␈β⊂s␈↓ εα␈ε∃␈↓ ε∩␈εε(␈↓ ε~␈εp␈↓ ε(␈εε)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α
15(b␈α␈),␈αthe␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈↓ ¬¬␈ε	f␈↓ ¬∃␈εβ(␈↓ ¬ ␈ε	x␈↓ ¬1␈εβ)␈α
=␈↓ ¬p␈ε	x␈↓ ε7␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αh␈α␈as␈↓ π6␈ε	p␈↓ πN␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
distinc␈α␈t␈αroo␈α␈ts;␈αhen␈α␈ce␈α
there␈α
is
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αin␈α␈te␈α␈ger␈↓ αd␈ε	a␈↓ α␈␈εβw␈α↓ith␈α
ord␈α␈er␈↓ ∧"␈ε	p␈↓ ∧;␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα22␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗No␈α␈t␈α∞all␈α∞of␈α∞th␈α␈e␈α∞v␈α␈alues␈α
l␈α↓isted␈α
in␈α∞Th␈α␈eore␈α␈m␈α∞D␈α∞w␈α␈ou␈α␈ld␈α∞b␈α␈e␈α∞fou␈α␈nd␈α
by␈α
th␈α␈e␈α∞tex␈α␈t's
␈βαN␈↓ λ	␈εe
␈βαR␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈ruction␈α␈;␈α⊂for␈α∞e␈α␈xam␈α␈ple,␈α∂11␈α
i␈α↓s␈α∞n␈α␈ot␈α∞p␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈α∞mod␈α␈ulo␈↓ πy␈εβ5␈↓ λ∀␈εβ.␈α∀Ho␈α␈w␈α∞can␈α
this␈α∞b␈α␈e␈α∞po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le,
␈βαu␈↓ ¬∪␈εe
␈βαy␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈α1␈α␈1␈ε⊂␈αis␈εβ␈αprimitiv␈α␈e␈αm␈α␈od␈α␈ulo␈α1␈↓ ¬β␈εβ0␈↓ ¬≡␈εβ,␈αacco␈α␈rdin␈α␈g␈αto␈αTh␈α␈eorem␈α
D␈↓ λ↔␈εβ?␈αW␈α↓h␈α␈ich␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αva␈α␈lues␈αlisted
␈ββ≥␈↓ πD␈εe␈↓ λ+␈εe
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβin␈α
T␈α↓h␈α␈eo␈α␈rem␈αD␈αare␈αp␈α␈rimitiv␈α␈e␈αeleme␈α␈n␈α␈ts␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈ε⊂␈α
bo␈α␈th␈↓ π3␈εβ2␈↓ πZ␈εβa␈α␈nd␈↓ λ~␈εβ5␈↓ λ6␈εβ?
␈ββS␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αTheo␈α␈rem␈αD␈↓ ∧z␈εβ.␈α→(Cf.␈αth␈α␈e␈αpre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α␈e␈α␈rcise.)
␈β∧ε␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	40␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Ma␈α␈k␈α␈e␈αλa␈α	ta␈α␈ble␈α	o␈α␈f␈α	some␈αλsuita␈α␈ble␈α	m␈α␈u␈α␈ltipliers,␈↓ π8␈ε	a␈↓ πH␈εβ,␈α
fo␈α␈r␈α	ea␈α␈ch␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	v␈α␈alues␈αλof␈↓ 
9␈ε	m␈↓ 
←␈εβlisted
␈β∧.␈↓ ↓H␈εβin␈α
T␈α↓a␈α␈ble␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.␈α↓1␈α␈↑1␈α␈,␈αa␈α␈ssumin␈α␈g␈αtha␈α␈t␈↓ ¬9␈ε	c␈↓ ¬P␈εβ=␈α	0.
␈β∧\␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧`␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(G.␈αMa␈α␈rsaglia.)␈α→The␈α
pu␈α␈rpo␈α␈se␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈αis␈αto␈α
stud␈α␈y␈αth␈α␈e␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αlen␈α␈gth
␈β¬∧␈↓ 	w␈εn␈↓ 
λ␈ε~␈␈εε1
␈β¬λ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞a␈α␈n␈ε⊂␈α
arb␈α␈itrary␈εβ␈α
line␈α␈ar␈α
con␈α␈gru␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ce.␈α⊃L␈α↓e␈α␈t␈↓ π(␈ε	Y␈↓ πX␈εβ=␈α
1␈α	+␈↓ λJ␈ε	a␈↓ λc␈εβ+␈↓ 	
␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	=␈εβ+␈↓ 	g␈ε	a␈↓ 
.␈εβ,␈α∞so␈αtha␈α␈t
␈β¬∩␈↓ π;␈εn
␈β¬/␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓x␈εβ=␈α
(␈↓ α.␈ε	A␈↓ αD␈ε	Y␈↓ αm␈εβ+␈↓ β∀␈ε	X␈↓ β8␈εβ)␈↓ βH␈εβmod␈↓ ∧
␈ε	m␈↓ ∧3␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α
so␈α␈me␈α	con␈α␈stan␈α}t␈↓ ε<␈ε	A␈↓ ε\␈εβb␈α␈y␈α	Eq.␈α
3.2␈α␈.␈α↓1␈α␈↑8.␈α∃(a)␈α	P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α	that␈α	th␈α␈e␈α
p␈α␈eriod
␈β¬:␈↓ ↓←␈εn␈↓ αX␈εn␈↓ β+␈εε0
␈β¬S␈↓ εv␈ε~0␈↓ λ↔␈ε~0
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβlen␈α␈gth␈α	of␈ε↔␈α
h␈↓ α]␈ε	X␈↓ β∧␈ε↔i␈εβ␈α
is␈α
the␈α	perio␈α␈d␈α
len␈α␈gth␈α	of␈ε↔␈α
h␈↓ ¬k␈ε	Y␈↓ ε∀␈εβmod␈↓ εY␈ε	m␈↓ ε|␈ε↔i␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πz␈ε	m␈↓ λ&␈εβ=␈↓ λQ␈ε	m␈↓ λn␈εβ/␈↓ λ␈␈εβgc␈α␈d␈↓ 	1␈εβ(␈↓ 	<␈ε	A␈↓ 	R␈εβ,␈↓ 	a␈ε	m␈↓ 	}␈εβ).␈α↔(b␈α␈)␈α
Pro␈α␈v␈α␈e
␈β¬b␈↓ αt␈εn␈↓ ¬}␈εn
␈β¬z␈↓ ¬Y␈εe
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈eriod␈α∂len␈α␈gth␈α∞of␈ε↔␈α∂h␈↓ ∧Z␈ε	Y␈↓ ¬β␈εβmod␈↓ ¬H␈ε	p␈↓ ¬d␈ε↔i␈εβ␈α∂sa␈α␈ti␈α↓s␈α␈|es␈α∂th␈α␈e␈α∂follo␈α␈wing␈α∞when␈↓ 	%␈ε	p␈↓ 	E␈εβis␈α∂prime:␈α!(i)␈α∂If
␈βε	␈↓ ∧n␈εn
␈βε"␈↓ ππ␈εe
␈βε&␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓↑␈εβm␈α␈od␈↓ α"␈ε	p␈↓ α?␈εβ=␈α0␈α␈,␈α∞it␈αi␈α↓s␈α1.␈α≤(ii␈α↓)␈αIf␈↓ ∧f␈ε	a␈↓ ∧|␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬A␈ε	p␈↓ ¬]␈εβ=␈α1,␈α
it␈α
is␈↓ εw␈ε	p␈↓ π∩␈εβ,␈α
ex␈α␈ce␈α␈pt␈αwhen␈↓ λk␈ε	p␈↓ 	π␈εβ=␈α2␈α
a␈α␈nd␈↓ 
∀␈ε	e␈↓ 
-␈ε↔∃␈εβ␈α2␈αa␈α␈nd
␈βεN␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓↑␈εβm␈α␈od␈↓ α"␈εβ4␈α	=␈α
3.␈α~(ii␈α↓i)␈αI␈α↓f␈↓ βz␈ε	p␈↓ ∧∃␈εβ=␈α
2␈α␈,␈↓ ∧g␈ε	e␈↓ ∧⎇␈ε↔∃␈εβ␈α
2,␈αa␈α␈nd␈↓ ε∂␈ε	a␈↓ ε%␈εβm␈α␈od␈↓ εi␈εβ4␈α
=␈α
3␈α␈,␈αit␈αi␈α↓s␈αt␈α␈wice␈αthe␈αord␈α␈er␈αof␈↓ 
%␈ε	a␈↓ 
A␈εβmod␈α␈ulo
␈βεq␈↓ ↓Y␈εe␈↓ ε]␈εe
␈βεu␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓o␈εβ(cf.␈αex␈α}ercise␈α1␈α␈1),␈αun␈α␈less␈↓ ∧I␈ε	a␈↓ ∧c␈ε↔⊃␈α␈␈εβ1␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ εL␈εβ2␈↓ εh␈εβ)␈αwh␈α␈en␈αit␈αis␈α2.␈α~(iv)␈αIf␈↓ 	.␈ε	a␈↓ 	D␈εβm␈α␈od␈↓ 
λ␈ε	p␈↓ 
#␈εβ>␈α1␈α␈,␈αi␈α↓t␈αis
␈βπ→␈↓ ∧"␈εe
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αord␈α␈er␈αof␈↓ α␈␈ε	a␈↓ β~␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ∧⊃␈ε	p␈↓ ∧,␈εβ.
␈βπO␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α
a␈α
li␈α↓n␈α␈ear␈α
con␈α␈gru␈α␈en␈α␈tial␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈αo␈α␈f␈αma␈α␈xim␈α␈um␈α
p␈α␈eriod,␈α
l␈α↓et␈↓ 	<␈ε	X␈↓ 	i␈εβ=␈α
0␈α
a␈α␈nd␈α
let␈↓ ∨␈ε	s
␈βπZ␈↓ 	S␈εε0
␈βπs␈↓ ε	␈εs
␈βπw␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈ast␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ ¬x␈ε	a␈↓ ε≥␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ πc␈ε	m␈↓ λ␈εβ).␈αPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ 	D␈εβgcd␈↓ 	v␈εβ(␈↓ 
α␈ε	X␈↓ 
$␈εβ,␈↓ 
3␈ε	m␈↓ 
P␈εβ)␈α	=␈↓ ∂␈ε	s␈↓ ≥␈εβ.
␈βλα␈↓ 
→␈εs
␈βλv␈↓ βS␈εαIn␈αthe␈α
preceding␈αsection,␈α
w␈α␈e␈αsho␈α␈w␈α␈ed␈αthat␈α
the␈αmaxim␈α␈um␈αperiod
␈βλy␈↓ ↓H␈ε∪3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.3.␈αP␈α↓o␈α␈tenc␈α␈y.
␈β	!␈↓ ↓H␈εαcan␈α∞be␈α∞obtained␈α∂when␈↓ ∧5␈ελb␈↓ ∧Q␈εα=␈↓ ¬β␈ελa␈↓ ¬≡␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∞is␈α∞a␈α∂m␈α␈ultiple␈α∞of␈α∞each␈α∂prime␈α∞dividing␈↓ 
9␈ελm␈↓ 
Y␈εα;␈α∂and
␈β	M␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓e␈εαm␈α␈ust␈α∞also␈α∂be␈α∂a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∂of␈α∞4␈α∂if␈↓ ¬`␈ελm␈↓ ε∞␈εαis␈α∂a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∂of␈α∂4.␈α∀If␈↓ λh␈ελz␈↓ 	ε␈εαis␈α∂the␈α∞radix␈α∂of␈α∞the
␈β	x␈↓ ↓H␈εαmachine␈α∞being␈α∂used←so␈α∂that␈↓ ¬%␈ελz␈↓ ¬B␈εα=␈α∂2␈α∂for␈α∂a␈α∞binary␈α∂computer,␈α⊂and␈↓ 	]␈ελz␈↓ 	z␈εα=␈α∂10␈α∂for␈α∞a
␈β
≡␈↓ π%␈εe
␈β
#␈↓ ↓H␈εαdecimal␈αcomputer←and␈αif␈↓ ∧l␈ελm␈↓ ¬↔␈εαis␈αthe␈αw␈α␈ord␈αsize␈↓ π⊗␈ελz␈↓ π1␈εα,␈αthe␈αm␈α␈ultiplier
␈β
s␈↓ ¬?␈εk
␈β
y␈↓ ∧f␈ελa␈↓ ¬α␈εα=␈↓ ¬0␈ελz␈↓ ¬V␈εα+␈αλ1,␈↓ εl2␈ε⊗␈α
∀␈↓ π6␈ελk␈↓ πR␈εα<␈↓ λ␈ελe␈↓ α␈εα(1)
␈βP␈↓ ↓H␈εαsatis|es␈α
these␈α
conditions.␈α∂Theorem␈α
3.2.1.2A␈α
also␈α
says␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
may␈α
tak␈α␈e␈↓ 
G␈ελc␈↓ 
a␈εα=␈α1.
␈β{␈↓ ↓H␈εαThe␈αrecurrence␈αrelation␈αno␈α␈w␈αhas␈αthe␈αform
␈β2␈↓ ¬B␈ε↓␈␈↓ π=␈ε↓↓
␈βL␈↓ ¬k␈εk␈↓ λ*␈εe
␈βR␈↓ ∧4␈ελX␈↓ ¬∀␈εα=␈↓ ¬P␈εα(␈↓ ¬\␈ελz␈↓ εα␈εα+␈αλ1)␈↓ εL␈ελX␈↓ ε␈␈εα+␈αλ1␈↓ πQ␈εαmod␈↓ λ≠␈ελz␈↓ λ6␈εα,␈↓ α␈εα(2)
␈β←␈↓ ∧M␈εn␈↓ ∧←␈ε¬+1␈↓ εe␈εn
␈β
(␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αequation␈αsuggests␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αav␈α␈oid␈αthe␈αm␈α␈ultiplication;␈αmerely␈αshifting
␈β
S␈↓ ↓H␈εαand␈αadding␈αwill␈αsu}ce.
␈β
z␈↓ ε↔␈ε¬2
␈β
␈␈↓ α␈εαFor␈α
example,␈αsuppose␈α
that␈↓ ¬5␈ελa␈↓ ¬Q␈εα=␈↓ ¬␈␈ελB␈↓ ε+␈εα+␈αε1,␈α
where␈↓ πa␈ελB␈↓ λ∧␈εαis␈α
the␈α
byte␈α
size␈α
of␈ε∃␈α
MIX␈εα␈α␈.␈α
The
␈β∞*␈↓ ↓H␈εαcode
␈β∞C␈↓ ¬N␈ε∃L␈α␈DA␈↓ εJ␈ε∃X
␈β∞j␈↓ ¬N␈ε∃S␈α␈LA␈↓ εJ␈ε∃2
␈β∞|␈↓ α␈εα(3)
␈β∂∩␈↓ ¬N␈ε∃A␈α␈DD␈↓ εJ␈ε∃X
␈β∂9␈↓ ¬N␈ε∃I␈α␈NCA␈↓ εJ␈ε∃1
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαcan␈αλbe␈α	used␈α	in␈α	place␈αλof␈α	the␈α	instructions␈αλgiv␈α␈en␈α	in␈α	Section␈α	3.2.1.1,␈α	and␈α	the␈αλex␈α␈ecution
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαtime␈αdecreases␈αfrom␈α16␈↓ ∧0␈ελu␈↓ ∧Q␈εαto␈α7␈↓ ¬∂␈ελu␈↓ ¬%␈εα.
␈β⊂F␈↓ α␈εαFor␈αλthis␈α	reason,␈α	m␈α␈ultipliers␈αλhaving␈αλform␈α	(1)␈αλhav␈α␈e␈αλbeen␈α	widely␈αλdiscussed␈αλin␈αλthe
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαliterature,␈αand␈α
indeed␈αthey␈αhav␈α␈e␈α
been␈αrecommended␈αby␈α
man␈α␈y␈αauthors.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂early␈α⊃y␈α␈ears␈α⊃of␈α⊃experimen␈α␈tation␈α⊃with␈α⊂this␈α⊃method␈α⊃sho␈α␈w␈α␈ed␈α⊃that␈ε∂␈α⊂m␈α␈ultipliers
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.1.3␈ε∞␈↓ 	/P␈α␈OTENCY␈↓ λ␈εα23
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∂having␈α∞the␈α∞simple␈α∞form␈α∂in␈εα␈α∞(1)␈ε∂␈α∞should␈α∂be␈α∞av␈α␈oided.␈εα␈α∪The␈α∞generated␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞just
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαaren't␈αrandom␈αenough.
␈βα⎇␈↓ α␈εαLater␈α
in␈α
this␈α	chapter␈α
w␈α␈e␈α
shall␈α
be␈α	discussing␈α
some␈α
rather␈α
sophisticated␈α	theory
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαthat␈αaccoun␈α␈ts␈αfor␈αthe␈αbadness␈αof␈αall␈αthe␈α
linear␈αcongruen␈α␈tial␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈αgen-
␈ββ3␈↓ π{␈ε↓␈␈↓ 	/␈ε↓↓
␈ββS␈↓ ↓H␈εαerators␈αkno␈α␈wn␈αto␈αbe␈αbad.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αsome␈αgenerators␈↓ λ	␈εαsuch␈αas␈α(2)␈↓ 	H␈εαare␈αsu}cien␈α␈tly
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαawful␈α∞that␈α∂a␈α∂comparativ␈α␈ely␈α∞simple␈α∂theory␈α∂can␈α∞be␈α∂used␈α∞to␈α∂dispense␈α∂with␈α∞them.
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαThis␈α
simple␈α∞theory␈α∞is␈α∞related␈α
to␈α∞the␈α∞concept␈α
of␈α∞\potency,"␈α∞which␈α∞w␈α␈e␈α∞shall␈α
no␈α␈w
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαdiscuss.
␈β¬␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈απpotency␈εα␈αεof␈απa␈αεlinear␈απcongruen␈α␈tial␈απsequence␈αεwith␈απmaxim␈α␈um␈αεperiod␈απis␈αεde|ned
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαto␈αbe␈αthe␈αleast␈αin␈α␈teger␈↓ ∧-␈ελs␈↓ ∧H␈εαsuch␈αthat
␈β¬y␈↓ ¬0␈εs
␈β¬␈␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬G␈ε⊗⊃␈εα␈α
0␈α
(modulo␈↓ π≥␈ελm␈↓ π<␈εα).␈↓ α␈εα(4)
␈βεS␈↓ ↓H␈εα(Such␈αan␈α
in␈α␈teger␈↓ βW␈ελs␈↓ βs␈εαwill␈α
always␈α
exist␈αwhen␈α
the␈α
m␈α␈ultiplier␈α
satis|es␈α
the␈αconditions
␈βε␈␈↓ ↓H␈εαof␈αTheorem␈α3.2.1.2A␈↓ ∧
␈εα,␈αsince␈↓ ∧x␈ελb␈↓ ¬∩␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αev␈α␈ery␈αprime␈αdividing␈↓ 	↑␈ελm␈↓ 	}␈εα.)
␈βπ*␈↓ α␈εαWe␈αmay␈αanalyze␈αthe␈αrandomness␈αof␈αthe␈αsequence␈αby␈αtaking␈↓ 	<␈ελX␈↓ 	m␈εα=␈α
0,␈αsince␈α0
␈βπ7␈↓ 	U␈ε¬0
␈βπU␈↓ ↓H␈εαoccurs␈αsomewhere␈αin␈αthe␈αperiod.␈αWith␈αthis␈αassumption,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βλ	␈↓ ¬I␈ε↓␈␈↓ ππ␈ε↓↓
␈βλ#␈↓ ¬t␈εn
␈βλ)␈↓ ∧f␈ελX␈↓ ¬≠␈εα=␈↓ ¬W␈εα(␈↓ ¬c␈ελa␈↓ ε∞␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ εX␈ελc␈↓ εf␈εα/␈↓ εx␈ελb␈↓ π≠␈εαmod␈↓ πe␈ελm␈↓ λ∧␈εα,
␈βλ6␈↓ ∧␈␈εn
␈βλx␈↓ βt␈εn␈↓ ¬o␈εn
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εαand␈αif␈αw␈α␈e␈αexpand␈↓ βb␈ελa␈↓ ∧∞␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈α
=␈α
(␈↓ ¬∂␈ελb␈↓ ¬%␈εα+␈αλ1␈↓ ¬c␈εα)␈↓ ε	␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αby␈αthe␈αbinomial␈αtheorem,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β	M␈↓ ∧C␈ε↓∩␈↓ ¬#␈ε↓∩␈↓ ¬N␈ε↓∪␈↓ π␈ε↓∩␈↓ π6␈ε↓∪␈↓ λ_␈ε↓∪
␈β	P␈↓ ¬9␈ελn␈↓ π!␈ελn
␈β	a␈↓ πa␈εs␈↓ πm␈ε→␈␈ε¬1
␈β	g␈↓ βL␈ελX␈↓ ∧↓␈εα=␈↓ ∧/␈ελc␈↓ ∧Y␈ελn␈↓ ∧w␈εα+␈↓ ¬j␈ελb␈↓ ε↓␈εα+␈↓ ε-␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε←␈εα+␈↓ πR␈ελb␈↓ λ4␈εαmod␈↓ λ}␈ελm␈↓ 	≡␈εα.␈↓ α␈εα(5)
␈β	t␈↓ βe␈εn
␈β	␈␈↓ ¬;␈εα2␈↓ π$␈ελs
␈β
O␈↓ β≡␈εs␈↓ βO␈εs␈↓ β[␈ε¬+1
␈β
T␈↓ ↓H␈εαAll␈αterms␈αin␈↓ β⊂␈ελb␈↓ β*␈εα,␈↓ β@␈ελb␈↓ ∧ε␈εα,␈αetc.,␈αmay␈αbe␈αignored,␈αsince␈αthey␈αare␈αm␈α␈ultiples␈αof␈↓ 
∨␈ελm␈↓ 
?␈εα.
␈β
␈␈↓ α␈εαEquation␈α∞(5)␈α
can␈α∞be␈α
instructiv␈α␈e,␈α∞so␈α∞w␈α␈e␈α
shall␈α∞consider␈α∞some␈α
special␈α∞cases.␈α⊂If
␈β+␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓d␈εα=␈α
1,␈αthe␈α
potency␈αis␈α1;␈αand␈↓ ¬␈ελX␈↓ ¬@␈ε⊗⊃␈↓ ¬n␈ελc␈↓ ¬|␈ελn␈↓ ε≤␈εα(modulo␈↓ π(␈ελm␈↓ πG␈εα),␈αas␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αalready␈α
observ␈α␈ed,
␈β6␈↓ 
u␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β8␈↓ ¬$␈εn
␈βN␈↓ β␈εn
␈βV␈↓ ↓H␈εαso␈απthe␈αλsequence␈αλis␈απsurely␈αλnot␈αλrandom.␈α
If␈αλthe␈αλpotency␈απis␈αλ2,␈α	w␈α␈e␈απhav␈α␈e␈↓ 	)␈ελX␈↓ 	↑␈ε⊗⊃␈↓ 
␈ελc␈↓ 
~␈ελn␈↓ 
2␈εα+␈↓ 
X␈ελc␈↓ 
f␈ελb␈↓ "␈εα,
␈βc␈↓ 	B␈εn
␈βi␈↓ ∧␈ε¬2
␈β↓␈↓ ↓H␈εαand␈αagain␈αthe␈αsequence␈αis␈αnot␈αv␈α␈ery␈αrandom;␈αindeed,
␈βU␈↓ ¬∧␈ελX␈↓ ¬c␈ε⊗␈␈↓ ε∂␈ελX␈↓ εC␈ε⊗⊃␈↓ εq␈ελc␈↓ πλ␈εα+␈↓ π4␈ελc␈↓ πB␈ελb␈↓ πP␈ελn␈↓ πf␈εα,
␈βc␈↓ ¬≥␈εn␈↓ ¬/␈ε¬+1␈↓ ε(␈εn
␈β
)␈↓ ↓H␈εαso␈α⊂the␈α⊂di{erences␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊃consecutiv␈α␈ely␈α⊂generated␈α⊂n␈α␈um␈α␈bers␈α⊃change␈α⊂in␈α⊂a␈α⊂v␈α␈ery
␈β
U␈↓ ↓H␈εαsimple␈αway␈αfrom␈α
one␈αvalue␈αof␈↓ ¬∨␈ελn␈↓ ¬@␈εαto␈αthe␈αnext.␈αThe␈αpoin␈α␈t␈α(␈↓ λ4␈ελX␈↓ λ←␈εα,␈↓ λo␈ελX␈↓ 	E␈εα,␈↓ 	U␈ελX␈↓ 
+␈εα)␈αalways
␈β
b␈↓ λM␈εn␈↓ 	λ␈εn␈↓ 	~␈ε¬+1␈↓ 	n␈εn␈↓ 
␈ε¬+2
␈β∞␈↓ ↓H␈εαlies␈αon␈αone␈αof␈αthe␈αfour␈αplanes
␈β∞L␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬∨␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ¬]␈ελy␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελz␈↓ ε>␈εα=␈↓ εl␈ελd␈↓ πλ␈εα+␈↓ π4␈ελm␈↓ πT␈εα,
␈β∞x␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬∨␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ¬]␈ελy␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελz␈↓ ε>␈εα=␈↓ εl␈ελd␈↓ π␈εα,
␈β∂#␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬∨␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ¬]␈ελy␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελz␈↓ ε>␈εα=␈↓ εl␈ελd␈↓ πλ␈ε⊗␈␈↓ π4␈ελm␈↓ πT␈εα,
␈β∂N␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬∨␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ ¬]␈ελy␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελz␈↓ ε>␈εα=␈↓ εl␈ελd␈↓ πλ␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ πF␈ελm␈↓ πf␈εα,
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαin␈αthree-dimensional␈αspace,␈αwhere␈↓ ¬f␈ελd␈↓ ε∧␈εα=␈↓ ε2␈ελc␈↓ ε@␈ελb␈↓ εT␈εαmod␈↓ π≡␈ελm␈↓ π>␈εα.
␈β⊂F␈↓ α␈εαIf␈α
the␈αpotency␈α
is␈α
3,␈αthe␈α
sequence␈α
begins␈αto␈α
look␈α
somewhat␈αmore␈α
random,␈α
but
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαthere␈α
is␈α
a␈α
high␈α
degree␈α
of␈α
dependency␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ π&␈ελX␈↓ πQ␈εα,␈↓ πh␈ελX␈↓ λ>␈εα,␈α∞and␈↓ 	≥␈ελX␈↓ 	s␈εα;␈α
tests␈α
sho␈α␈w
␈β⊂}␈↓ π?␈εn␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ∪␈ε¬+1␈↓ 	6␈εn␈↓ 	H␈ε¬+␈α␈2
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthat␈αsequences␈αwith␈αpotency␈α
3␈αare␈αstill␈αnot␈αsu}cien␈α␈tly␈α
good.␈αReasonable␈αresults
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα24␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
F3.2.1.3
␈βα(␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
been␈α
reported␈αwhen␈α
the␈α
potency␈αis␈α
4␈α
or␈αmore,␈α
but␈α
these␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
disputed
␈βαS␈↓ ↓H␈εαby␈α	other␈α	people.␈αA␈α
potency␈α	of␈α	at␈α	least␈α
5␈α	w␈α␈ould␈α	seem␈α	to␈α
be␈α	required␈α	for␈α	su}cien␈α␈tly
␈βα}␈↓ ↓H␈εαrandom␈αvalues.
␈ββ'␈↓ ε3␈ε¬3␈α↓5␈↓ λ¬␈εk␈↓ 
0␈εk
␈ββ,␈↓ α␈εαSuppose,␈α∞for␈α
example,␈α
that␈↓ ¬F␈ελm␈↓ ¬q␈εα=␈↓ ε!␈εα2␈↓ ε]␈εαand␈↓ π%␈ελa␈↓ πC␈εα=␈↓ πs␈εα2␈↓ λ≤␈εα+␈α	1.␈α∂Then␈↓ 	T␈ελb␈↓ 	n␈εα=␈↓ 
≡␈εα2␈↓ 
?␈εα,␈α
so␈α
w␈α␈e
␈ββR␈↓ εα␈ε¬2␈↓ εb␈ε¬2␈↓ εp␈εk
␈ββW␈↓ ↓H␈εα|nd␈α∞that␈α∞when␈↓ βC␈ελk␈↓ βb␈ε⊗∃␈εα␈α∞18,␈α∂the␈α∞value␈↓ ¬t␈ελb␈↓ ε≡␈εα=␈↓ εP␈εα2␈↓ π
␈εαis␈α∂a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ 	⊂␈ελm␈↓ 	/␈εα:␈α⊃the␈α∞potency␈α∞is
␈β∧α␈↓ ↓H␈εα2.␈α⊗If␈↓ α!␈ελk␈↓ αC␈εα=␈α⊂17,␈αε16,␈↓ β←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈εα,␈αε12,␈α⊂the␈α∂potency␈α⊂is␈α∂3,␈α⊂and␈α⊂a␈α∂potency␈α⊂of␈α∂4␈α⊂is␈α∂achiev␈α␈ed␈α∂for
␈β∧-␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓e␈εα=␈α11,␈αε10,␈αε9.␈α∂The␈α
only␈α
acceptable␈α
m␈α␈ultipliers,␈α
from␈α
the␈α
standpoin␈α␈t␈α
of␈αpotency,
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εαtherefore␈α∞hav␈α␈e␈↓ β:␈ελk␈↓ βY␈ε⊗∀␈εα␈α∞8.␈α∀This␈α∞means␈↓ ε␈ελa␈↓ ε ␈ε⊗∀␈εα␈α∞257,␈α∂and␈α∞w␈α␈e␈α∂shall␈α∞see␈α∂later␈α∞that␈ε∂␈α∞small
␈β¬∧␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultipliers␈α
are␈αalso␈αto␈αbe␈αav␈α␈oided.␈αWe␈α
hav␈α␈e␈αno␈α␈w␈αeliminated␈αall␈αm␈α␈ultipliers␈αof␈α
the
␈β¬*␈↓ α0␈εk␈↓ ∧X␈ε¬35
␈β¬/␈↓ ↓H␈εαform␈↓ α≡␈εα2␈↓ αF␈εα+␈αλ1␈αwhen␈↓ βn␈ελm␈↓ ∧_␈εα=␈↓ ∧F␈εα2␈↓ ∧u␈εα.
␈β¬\␈↓ α␈εαWhen␈↓ αw␈ελm␈↓ β&␈εαis␈α∂equal␈α∂to␈↓ ∧]␈ελw␈↓ ¬↓␈ε⊗ε␈εα␈α
1,␈α⊂where␈↓ εF␈ελw␈↓ εp␈εαis␈α∂the␈α∂w␈α␈ord␈α∂size,␈↓ 	ε␈ελm␈↓ 	4␈εαis␈α∂generally␈α∂not
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαdivisible␈α
by␈α
high␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈α
of␈α
primes,␈αand␈α
a␈α
high␈α
potency␈α
is␈α
impossible␈α
(see␈α
ex␈α␈ercise
␈βε3␈↓ ↓H␈εα6).␈α∂So␈α∞in␈α
this␈α
case,␈α∞the␈α
maxim␈α␈um-period␈α
method␈α∞should␈ε∂␈α
not␈εα␈α
be␈α
used;␈α∞the␈α
pure-
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication␈αmethod␈αwith␈↓ ¬β␈ελc␈↓ ¬≠␈εα=␈α
0␈αshould␈αbe␈αapplied␈αinstead.
␈βπ␈↓ α␈εαIt␈αm␈α␈ust␈αbe␈α
emphasized␈αthat␈αhigh␈αpotency␈αis␈α
necessary␈αbut␈αnot␈αsu}cien␈α␈t␈αfor
␈βπ6␈↓ ↓H␈εαrandomness;␈α
w␈α␈e␈α
use␈α
the␈α
concept␈α
of␈α
potency␈α
only␈α
to␈α
reject␈α
impoten␈α␈t␈αgenerators,
␈βπa␈↓ ↓H␈εαnot␈α∂to␈α⊂accept␈α∂the␈α∂poten␈α␈t␈α⊂ones.␈α⊗Linear␈α⊂congruen␈α␈tial␈α∂sequences␈α⊂should␈α∂pass␈α∂the
␈βλ
␈↓ ↓H␈εα\spectral␈αεtest"␈αεof␈αεSection␈απ3.3.4␈αεbefore␈αεthey␈αεare␈απconsidered␈αεto␈αεbe␈αεacceptably␈αεrandom.
␈β	'␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β	␈␈↓ λ∂␈ε∃MIX
␈β
α␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α	that,␈α
n␈α␈o␈α
ma␈α␈tter␈α
wh␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
by␈α␈te␈α
size␈↓ πI␈ε	B␈↓ πj␈εβo␈α␈f␈↓ λW␈εβha␈α␈pp␈α␈ens␈α	to␈α
b␈α␈e,␈αth␈α␈e␈α
c␈α␈ode
␈β
)␈↓ ↓H␈εβ(3␈α␈)␈αy␈α␈ields␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om-n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αge␈α␈nera␈α␈tor␈αof␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αper␈α␈i␈α↓o␈α␈d.
␈β
a␈↓ 	≥␈ε∃MIX
␈β
d␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈αis␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈tenc␈α␈y␈αof␈αth␈α␈e␈αgen␈α␈erato␈α␈r␈αrepr␈α␈esen␈α␈te␈α␈d␈αb␈α␈y␈αthe␈↓ 	g␈εβc␈α␈ode␈α
(␈α↓3␈α␈)?
␈β~␈↓ ∧≠␈εε3␈α␈5
␈β≡␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	11␈↓ α;␈εβ]␈α⊗When␈↓ β9␈ε	m␈↓ β`␈εβ=␈↓ ∧
␈εβ2␈↓ ∧4␈εβ,␈α
w␈α↓h␈α␈at␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈oten␈α␈cy␈α	of␈α
the␈α	li␈α↓n␈α␈ear␈α
c␈α␈on␈α␈grue␈α␈n␈α␈tial␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
with
␈βB␈↓ λg␈εε23␈↓ 	A␈εε14␈↓ 
≠␈εε2
␈βF␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓a␈εβ=␈α
31␈α␈41␈α␈592␈α␈621␈α␈?␈αW␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈αp␈α␈ote␈α␈ncy␈α
i␈α↓f␈αth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ier␈αis␈↓ λ∩␈ε	a␈↓ λ,␈εβ=␈↓ λV␈εβ2␈↓ 	λ␈εβ+␈↓ 	0␈εβ2␈↓ 	b␈εβ+␈↓ 

␈εβ2␈↓ 
/␈εβ+␈αλ1␈α␈?
␈β⎇␈↓ ∧y␈εe
␈β↓␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αif␈↓ ∧_␈ε	m␈↓ ∧>␈εβ=␈↓ ∧i␈εβ2␈↓ ¬
␈ε↔∃␈εβ␈α
8,␈α
max␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α
po␈α␈tenc␈α␈y␈α
i␈α↓s␈α
ac␈α␈hiev␈α␈e␈α␈d␈α
when␈↓ 	t␈ε	a␈↓ 

␈εβm␈α␈od␈↓ 
N␈εβ8␈α	=␈α
5␈α␈.
␈β6␈↓ ¬∀␈εe␈↓ λα␈εf
␈β7␈↓ ¬g␈εe␈↓ λT␈εf
␈β;␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α∞tha␈α␈t␈↓ ∧'␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ¬β␈ε	p␈↓ ¬)␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬V␈ε	p␈↓ ε	␈εβa␈α␈nd␈↓ εM␈ε	a␈↓ εl␈εβ=␈α∂1␈α	+␈↓ πa␈ε	k␈↓ πq␈ε	p␈↓ λ⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λC␈ε	p␈↓ λf␈εβ,␈α∂where␈↓ 	b␈ε	a␈↓ 
↓␈εβsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈α∞the
␈β>␈↓ ¬≡␈επ1␈↓ ¬q␈ε
t␈↓ λ␈επ1␈↓ λ]␈ε
t
␈βK␈↓ ¬g␈εt␈↓ λT␈εt
␈βL␈↓ ¬∀␈εε1␈↓ λα␈εε1
␈βc␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈f␈αTh␈α␈eore␈α␈m␈α3.2.1.2A␈αan␈α␈d␈↓ ¬]␈ε	k␈↓ ¬x␈εβi␈α↓s␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ λ4␈ε	m␈↓ λQ␈εβ,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αthe␈αp␈α␈oten␈α␈cy
␈β
␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓i␈εβma␈α␈x␈↓ α(␈εβ(␈ε↔d␈↓ α@␈ε	e␈↓ αY␈εβ/␈↓ αi␈ε	f␈↓ β␈ε↔e␈εβ,␈↓ β≤␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βH␈εβ,␈ε↔␈αεd␈↓ βd␈ε	e␈↓ βz␈εβ/␈↓ ∧
␈ε	f␈↓ ∧≡␈ε↔e␈εβ).
␈β
∃␈↓ αL␈εε1␈↓ αs␈εε1␈↓ βp␈εt␈↓ ∧∀␈εt
␈β
A␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
E␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Which␈α	of␈α
the␈α	valu␈α␈es␈α
of␈↓ ¬+␈ε	m␈↓ ¬Q␈εβ=␈↓ ¬|␈ε	w␈↓ ε~␈ε↔ε␈εβ␈απ1␈α	i␈α↓n␈α	Tab␈α␈le␈α
3.2.1.1↑␈α␈1␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
u␈α␈sed␈α
in␈α	a␈α
li␈α↓n␈α␈ea␈α␈r
␈β
m␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈n␈α␈tial␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈α
of␈αma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈αp␈α␈eriod␈α
who␈α␈se␈αp␈α␈oten␈α␈cy␈α
is␈α4␈α
or␈α
more?␈α(Use␈α
the␈α
resu␈α␈lt
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α5␈α␈.)
␈β∞O␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Whe␈α␈n␈↓ βW␈ε	a␈↓ βs␈εβsa␈α␈tis|es␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈αof␈αThe␈α␈orem␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.1.2A␈↓ λo␈εβ,␈αi␈α↓t␈αis␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime
␈β∞s␈↓ ¬"␈ε~0␈↓ εl␈ε~0␈↓ 
:␈ε~0
␈β∞w␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓r␈ε	m␈↓ α∂␈εβ;␈α
h␈α␈ence␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ¬∩␈ε	a␈↓ ¬5␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ εK␈ε	a␈↓ ε[␈ε	a␈↓ ε⎇␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λG␈ε	m␈↓ λe␈εβ).␈α∂S␈α␈ho␈α}w␈α
th␈α␈at␈↓ 
*␈ε	a␈↓ 
M␈εβca␈α␈n␈αbe
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈ressed␈α
si␈α↓m␈α␈ply␈αin␈αte␈α␈rms␈αof␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬␈εβ.
␈β∂U␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ λ↓␈εε17␈↓ 	c␈εε35
␈β∂Y␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗A␈α	ran␈α␈do␈α␈m-n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α	gen␈α␈erato␈α␈r␈α	w␈α↓ith␈↓ εd␈ε	X␈↓ π;␈εβ=␈α	(␈↓ πq␈εβ2␈↓ λ∨␈εβ+␈α¬3)␈↓ λa␈ε	X␈↓ 	∞␈εβmo␈α␈d␈↓ 	R␈εβ2␈↓ 
¬␈εβand␈↓ 
D␈ε	X␈↓ 
q␈εβ=␈α
1
␈β∂d␈↓ ε|␈εn␈↓ π␈εε+1␈↓ λx␈εn␈↓ 
[␈εε0
␈β∂⎇␈↓ π\␈εε3␈α␈5
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈s␈α
sub␈α␈j␈α↓e␈α␈cted␈α
to␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α
t␈α␈est:␈αLet␈↓ ε
␈ε	Y␈↓ ε:␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ1␈α␈0␈↓ π∪␈ε	X␈↓ π:␈εβ/␈↓ πK␈εβ2␈↓ πu␈ε↔c␈εβ;␈αth␈α␈en␈↓ λa␈ε	Y␈↓ 	∂␈εβs␈α␈hou␈α␈ld␈α
be␈α
a␈α	rand␈α␈om
␈β⊂␈↓ ε!␈εn␈↓ π*␈εn␈↓ λt␈εn
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβd␈α␈igit␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α0␈αa␈α␈nd␈α9,␈αan␈α␈d␈αthe␈αtriples␈α(␈↓ επ␈ε	Y␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εN␈ε	Y␈↓ π$␈εβ,␈↓ π;␈ε	Y␈↓ λ⊃␈εβ)␈αshou␈α␈ld␈αta␈α␈k␈α␈e␈αon␈αeac␈α␈h␈αo␈α␈f␈αthe
␈β⊂3␈↓ ε~␈εε3␈↓ ε'␈εn␈↓ εa␈εε3␈↓ εn␈εn␈↓ ε}␈εε+1␈↓ πN␈εε3␈↓ π[␈εn␈↓ πk␈εε+2
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈000␈αpo␈α␈ssible␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αfrom␈α(0,␈α0,␈α0)␈αto␈α(9,␈α9,␈α9)␈αwith␈αequ␈α␈al␈αp␈α␈rob␈α␈ability.␈α
But␈αwith␈α30␈α␈000
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ αU␈ε	n␈↓ αu␈εβte␈α␈sted,␈αso␈α␈me␈αtriples␈αh␈α␈ard␈α␈ly␈αev␈α␈er␈αocc␈α␈urred␈α␈,␈αan␈α␈d␈αoth␈α␈ers␈αo␈α␈ccu␈α␈rred␈αm␈α␈u␈α␈ch␈αmore
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ften␈αth␈α␈an␈α
they␈α
sho␈α␈uld␈αh␈α␈av␈α}e.␈αCa␈α␈n␈αy␈α}ou␈αa␈α␈cco␈α␈un␈α␈t␈αfo␈α␈r␈αthis␈αfailure?
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ λBOTH␈α␈ER␈α	METH␈α␈ODS␈↓ λ␈εα25
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.2.2.␈α
Oth␈α↓e␈α␈r␈α
M␈α␈eth␈α↓o␈α␈ds
␈βαo␈↓ ↓H␈εαOf␈α	course,␈α
linear␈α	congruen␈α␈tial␈α
sequences␈α	are␈α	not␈α
the␈α	only␈α	sources␈α
of␈α	random␈α	n␈α␈um-
␈ββ~␈↓ ↓H␈εαbers␈αλthat␈α	hav␈α␈e␈αλbeen␈α	proposed␈α	for␈αλcomputer␈α	use.␈αIn␈αλthis␈α	section␈α	w␈α␈e␈αλshall␈α	review␈αλthe
␈ββE␈↓ ↓H␈εαmost␈α
signi|can␈α␈t␈αalternativ␈α␈es;␈α∞some␈α
of␈α
these␈α
methods␈αare␈α
quite␈α
importan␈α␈t,␈α
while
␈ββp␈↓ ↓H␈εαothers␈αεare␈απin␈α␈teresting␈αεchie⎇y␈απbecause␈αεthey␈απare␈αεnot␈απas␈αεgood␈αεas␈απa␈αεperson␈απmigh␈α␈t␈αεexpect.
␈β∧≥␈↓ α␈εαOne␈α	of␈αλthe␈α	common␈αλfallacies␈α	encoun␈α␈tered␈α	in␈αλconnection␈α	with␈αλrandom-n␈α␈um␈α␈ber
␈β∧H␈↓ ↓H␈εαgeneration␈α
is␈α	the␈α
idea␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
tak␈α␈e␈α
a␈α
good␈α
generator␈α
and␈α	modify␈α
it␈α
a␈α
little,␈α
in
␈β∧t␈↓ ↓H␈εαorder␈αto␈αget␈αan␈α\ev␈α␈en-more-random"␈αsequence.␈αThis␈αis␈αoften␈αfalse.␈αFor␈αexample,
␈β¬∨␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αthat
␈β¬O␈↓ ∧p␈ελX␈↓ ¬P␈εα=␈α
(␈↓ ε
␈ελa␈↓ ε≤␈ελX␈↓ εO␈εα+␈↓ ε{␈ελc␈↓ π	␈εα)␈↓ π≠␈εαmod␈↓ πe␈ελm␈↓ α␈εα(1)
␈β¬\␈↓ ¬	␈εn␈↓ ¬≠␈ε¬+␈α␈1␈↓ ε5␈εn
␈βε↔␈↓ ↓H␈εαleads␈αto␈αreasonably␈αgood␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers;␈αw␈α␈ouldn't␈αthe␈αsequence␈αproduced␈αby
␈βεS␈↓ ¬	␈ε↓␈␈↓ π|␈ε↓↓
␈βεr␈↓ β{␈ελX␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελa␈↓ ¬5␈ελX␈↓ ¬`␈εα)␈↓ ¬r␈εαmod␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελm␈↓ εo␈εα+␈αλ1)␈αλ+␈↓ πm␈ελc␈↓ λ⊂␈εαmod␈↓ λZ␈ελm␈↓ α␈εα(2)
␈βπ␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧&␈ε¬+1␈↓ ¬N␈εn
␈βπM␈↓ ↓H␈εαbe␈αev␈α␈en␈ε∂␈αmore␈εα␈αrandom?␈αThe␈αansw␈α␈er␈αis,␈αthe␈αnew␈αsequence␈αis␈αprobably␈αa␈αgreat␈αdeal
␈βπy␈↓ ↓H␈ε∂less␈εα␈α	random.␈αFor␈α	the␈α	whole␈α	theory␈α	breaks␈α	do␈α␈wn,␈α	and␈α	in␈α	the␈α	absence␈α	of␈α	an␈α␈y␈α	theory
␈βλ$␈↓ ↓H␈εαabout␈α
the␈α∞behavior␈α
of␈α
the␈α∞sequence␈α
(2),␈α∞w␈α␈e␈α∞come␈α
in␈α␈to␈α∞the␈α
area␈α∞of␈α
generators␈α
of
␈βλO␈↓ ↓H␈εαthe␈αtype␈↓ αX␈ελX␈↓ β9␈εα=␈↓ βh␈ελf␈↓ βy␈εα(␈↓ ∧¬␈ελX␈↓ ∧0␈εα)␈α
with␈αthe␈αfunction␈↓ εh␈ελf␈↓ πε␈εαchosen␈αat␈αrandom;␈α
ex␈α␈ercises␈α3.1↑11
␈βλ\␈↓ αq␈εn␈↓ ββ␈ε¬+1␈↓ ∧≡␈εn
␈βλz␈↓ ↓H␈εαthrough␈α∞3.1↑15␈α∞sho␈α␈w␈α∂that␈α∞these␈α∂sequences␈α∞probably␈α∞behav␈α␈e␈α∂m␈α␈uch␈α∞more␈α∞poorly
␈β	%␈↓ ↓H␈εαthan␈αthe␈αsequences␈αobtained␈αfrom␈αthe␈αmore␈αdisciplined␈αfunction␈α(1).
␈β	R␈↓ α␈εαLet␈α⊃us␈α⊃consider␈α⊃another␈α⊂approach,␈α∩in␈α⊃an␈α⊃attempt␈α⊃to␈α⊃get␈α⊃\more␈α⊂random"
␈β	⎇␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers.␈αThe␈α
linear␈αcongruen␈α␈tial␈α
method␈αcan␈α
be␈α
generalized␈αto,␈α
say,␈αa␈α
quadratic
␈β
(␈↓ ↓H␈εαcongruen␈α␈tial␈αmethod:
␈β
⎇␈↓ ¬{␈ε¬2
␈ββ␈↓ ∧/␈ελX␈↓ ¬∂␈εα=␈α
(␈↓ ¬I␈ελd␈↓ ¬]␈ελX␈↓ ε∃␈εα+␈↓ εA␈ελa␈↓ εS␈ελX␈↓ πε␈εα+␈↓ π2␈ελc␈↓ π@␈εα)␈↓ πR␈εαmod␈↓ λ≤␈ελm␈↓ λ;␈εα.␈↓ α␈εα(3)
␈β⊃␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧Z␈ε¬+␈α␈1␈↓ εl␈εn
␈β∃␈↓ ¬{␈εn
␈β↑␈↓ ↓H␈εαEx␈α␈ercise␈α8␈α
generalizes␈α
Theorem␈α3.2.1.2A␈α
to␈α
obtain␈αnecessary␈α
and␈α
su}cien␈α␈t␈αcon-
␈β	␈↓ ↓H␈εαditions␈αon␈↓ αq␈ελa␈↓ ββ␈εα,␈↓ β~␈ελc␈↓ β(␈εα,␈αand␈↓ ∧¬␈ελd␈↓ ∧&␈εαsuch␈αthat␈α
the␈α
sequence␈αde|ned␈α
by␈α(3)␈α
has␈α
a␈αperiod␈α
of␈αthe
␈β5␈↓ ↓H␈εαmaxim␈α␈um␈α
length␈↓ β[␈ελm␈↓ β{␈εα;␈αthe␈α
restrictions␈α
are␈αnot␈α
m␈α␈uch␈α
more␈α
sev␈α␈ere␈αthan␈α
in␈α
the␈α
linear
␈β`␈↓ ↓H␈εαmethod.
␈β

␈↓ α␈εαAn␈α
in␈α␈teresting␈α
quadratic␈α
method␈α
has␈α
been␈α
proposed␈α
by␈α
R.␈α
R.␈α
Co␈α␈v␈α␈ey␈α␈ou␈α
when
␈β
8␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓s␈εαis␈αa␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o;␈αlet
␈β∞
␈↓ λ;␈εe
␈β∞∪␈↓ αl␈ελX␈↓ β→␈εαmod␈↓ βc␈εα4␈α
=␈α
2,␈↓ ¬↔␈ελX␈↓ ¬w␈εα=␈↓ ε%␈ελX␈↓ εP␈εα(␈↓ ε\␈ελX␈↓ π∂␈εα+␈αλ1)␈↓ π←␈εαmod␈↓ λ)␈εα2␈↓ λG␈εα,␈↓ 	∨␈ελn␈↓ 	>␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ α␈εα(4)
␈β∞ ␈↓ β¬␈ε¬0␈↓ ¬0␈εn␈↓ ¬B␈ε¬+1␈↓ ε>␈εn␈↓ εu␈εn
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαThis␈αλsequence␈αλcan␈αλbe␈α	computed␈αλwith␈αλabout␈αλthe␈α	same␈αλe}ciency␈αλas␈αλ(1),␈α	without␈αλan␈α␈y
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orries␈α	of␈α	o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w.␈αIt␈α	has␈α	an␈α
in␈α␈teresting␈α	connection␈α	with␈α	v␈α␈on␈α	Neumann's␈α	original
␈β∂?␈↓ ε[␈εe
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαmiddle-square␈α⊂method:␈α∪If␈α⊂w␈α␈e␈α⊂let␈↓ ¬↑␈ελY␈↓ ε∃␈εαbe␈↓ εI␈εα2␈↓ εf␈ελX␈↓ π⊃␈εα,␈α⊃so␈α⊂that␈↓ λ.␈ελY␈↓ λe␈εαis␈α⊂a␈α∂double-precision
␈β∂Q␈↓ ¬s␈εn␈↓ ε␈␈εn␈↓ λC␈εn
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αobtained␈α
by␈αplacing␈↓ ¬⊂␈ελe␈↓ ¬*␈εαzeros␈α
to␈αthe␈α
righ␈α␈t␈αof␈α
the␈αbinary␈α
represen␈α␈tation␈αof
␈β⊂∃␈↓ 	
␈ε¬2␈↓ 	c␈εe
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓s␈εα,␈αthen␈↓ α\␈ελY␈↓ β;␈εαconsists␈α
of␈αprecisely␈α
the␈α
middle␈α
2␈↓ πG␈ελe␈↓ πb␈εαdigits␈αof␈↓ λo␈ελY␈↓ 	$␈εα+␈↓ 	Q␈εα2␈↓ 	o␈ελY␈↓ 
⊗␈εα!␈α∞In␈αother
␈β⊂(␈↓ ↓a␈εn␈↓ αq␈εn␈↓ ββ␈ε¬+1␈↓ 
∧␈εn
␈β⊂,␈↓ 	
␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ords,␈αCo␈α␈v␈α␈ey␈α␈ou's␈αmethod␈αis␈αalmost␈α
iden␈α␈tical␈αto␈αa␈αsomewhat␈αdegenerate␈αdouble-
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαprecision␈απmiddle-square␈αλmethod,␈αλy␈α␈et␈απit␈αλis␈απguaran␈α␈teed␈αλto␈απhav␈α␈e␈αλa␈απlong␈απperiod;␈α	further
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαevidence␈αof␈αits␈αrandomness␈αis␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α3.3.4↑25.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα26␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα&␈↓ α␈εαOther␈α⊂generalizations␈α∂of␈α⊂Eq.␈α∂(1)␈α⊂also␈α∂suggest␈α⊂themselv␈α␈es;␈α⊃for␈α⊂example,␈α⊂w␈α␈e
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαmigh␈α␈t␈α∞try␈α∂to␈α∞extend␈α∂the␈α∞period␈α∂length␈α∞of␈α∂the␈α∞sequence.␈α∪The␈α∂period␈α∞of␈α∂a␈α∞linear
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαcongruen␈α␈tial␈αsequence␈α
is␈αextremely␈αlong;␈αwhen␈↓ π$␈ελm␈↓ πO␈εαis␈αappro␈α␈ximately␈αthe␈αw␈α␈ord␈α
size
␈ββ#␈↓ λ1␈ε¬9
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαof␈απthe␈αλcomputer,␈α	w␈α␈e␈απusually␈αλget␈αλperiods␈αλon␈απthe␈αλorder␈αλof␈αλ1␈↓ λ∨␈εα0␈↓ λG␈εαor␈απmore,␈α	so␈αλthat␈απtypical
␈ββS␈↓ ↓H␈εαcalculations␈α∂will␈α∂use␈α⊂only␈α∂a␈α∂v␈α␈ery␈α⊂small␈α∂portion␈α∂of␈α⊂the␈α∂sequence.␈α⊗On␈α∂the␈α∂other
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαhand,␈α
when␈α∞w␈α␈e␈α
discuss␈α∞the␈α
idea␈α∞of␈α
\accuracy"␈α∞in␈α
Section␈α∞3.3.4␈α
w␈α␈e␈α∞will␈α
see␈α
that
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαthe␈αperiod␈αlength␈αin⎇uences␈αthe␈αdegree␈αof␈αrandomness␈αachievable␈αin␈αa␈αsequence.
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαTherefore␈α	it␈α	is␈α	occasionally␈α	desirable␈α	to␈α	seek␈α	a␈α	longer␈α
period,␈α	and␈α	sev␈α␈eral␈α	methods
␈β¬␈↓ ↓H␈εαare␈α	available␈αλfor␈α	this␈α	purpose.␈αOne␈α	technique␈α	is␈α	to␈α	mak␈α␈e␈↓ λ*␈ελX␈↓ 		␈εαdepend␈α	on␈α	both␈↓ α␈ελX
␈β¬
␈↓ λC␈εn␈↓ λU␈ε¬+␈α␈1␈↓ ≠␈εn
␈β¬&␈↓ 
?␈ε¬2
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α	␈ελX␈↓ α`␈εα,␈αλinstead␈αλof␈αλjust␈αλon␈↓ ¬↓␈ελX␈↓ ¬,␈εα;␈α
then␈απthe␈αλperiod␈αλlength␈αλcan␈αλbe␈απas␈αλhigh␈αλas␈↓ 
 ␈ελm␈↓ 
N␈εα,␈αλsince
␈β¬8␈↓ α"␈εn␈↓ α4␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬~␈εn
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαthe␈αεsequence␈αεwill␈αεnot␈αεbegin␈αεto␈αεrepeat␈αεun␈α␈til␈αεw␈α␈e␈αεhav␈α␈e␈απ(␈↓ πH␈ελX␈↓ λ!␈εα,␈↓ λ1␈ελX␈↓ 	5␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ 
¬␈ελX␈↓ 
0␈εα,␈↓ 
@␈ελX␈↓ ⊗␈εα).
␈β¬d␈↓ πa␈εn␈↓ πr␈ε¬+␈↓ λ∂␈ε∃␈↓ λJ␈εn␈↓ λ\␈ε¬+␈↓ λy␈ε∃␈↓ 	
␈ε¬+1␈↓ 
≡␈εn␈↓ 
Y␈εn␈↓ 
k␈ε¬+1
␈βε∧␈↓ α␈εαThe␈α⊃simplest␈α⊃sequence␈α⊃in␈α⊂which␈↓ ε ␈ελX␈↓ ππ␈εαdepends␈α⊃on␈α⊃more␈α⊃than␈α⊃one␈α⊃of␈α⊂the
␈βε⊃␈↓ ε9␈εn␈↓ εK␈ε¬+1
␈βε/␈↓ ↓H␈εαpreceding␈αvalues␈αis␈αthe␈αFibonacci␈αsequence,
␈βπ
␈↓ ∧P␈ελX␈↓ ¬0␈εα=␈α
(␈↓ ¬j␈ελX␈↓ ε≥␈εα+␈↓ εI␈ελX␈↓ π∨␈εα)␈↓ π1␈εαmod␈↓ π{␈ελm␈↓ λ~␈εα.␈↓ α␈εα(5)
␈βπ~␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧{␈ε¬+␈α␈1␈↓ εβ␈εn␈↓ εb␈εn␈↓ εt␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπk␈↓ ↓H␈εαThis␈α
generator␈α
was␈α
considered␈α
in␈α∞the␈α
early␈α
1950s,␈α
and␈α∞it␈α
usually␈α
giv␈α␈es␈α
a␈α
period
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εαlength␈αgreater␈αthan␈↓ ∧β␈ελm␈↓ ∧#␈εα;␈αbut␈αtests␈αhav␈α␈e␈αsho␈α␈wn␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αproduced␈αby␈αthe
␈βλA␈↓ ↓H␈εαFibonacci␈α
recurrence␈α
(5)␈α∞are␈α
de|nitely␈ε∂␈α
not␈εα␈α∞satisfactorily␈α
random,␈α
and␈α∞so␈α
at␈α
the
␈βλl␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈t␈α∞time␈α
the␈α∞main␈α∞in␈α␈terest␈α∞in␈α∞(5)␈α∞as␈α∞a␈α∞source␈α∞of␈α∞random␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞is␈α∞that␈α
it
␈β	_␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈αa␈αnice␈α\bad␈αexample."␈αWe␈αmay␈αalso␈αconsider␈αgenerators␈αof␈αthe␈αform
␈β	u␈↓ ∧P␈ελX␈↓ ¬0␈εα=␈α
(␈↓ ¬j␈ελX␈↓ ε≥␈εα+␈↓ εI␈ελX␈↓ π∨␈εα)␈↓ π1␈εαmod␈↓ π{␈ελm␈↓ λ≠␈εα,␈↓ α␈εα(6)
␈β
β␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧z␈ε¬+1␈↓ εβ␈εn␈↓ εb␈εn␈↓ εt␈ε→␈␈↓ π⊂␈εk
␈β
S␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α%␈ελk␈↓ αC␈εαis␈αa␈αcomparativ␈α␈ely␈αlarge␈αvalue.␈αThese␈αw␈α␈ere␈αin␈α␈troduced␈αby␈αGreen,␈αSmith,
␈β
␈␈↓ ↓H␈εαand␈α⊂Klem␈α⊃[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α⊃6␈εα␈α⊂(1959),␈α∩527↑537],␈α∩who␈α⊃reported␈α⊃that,␈α⊃when␈↓ 	a␈ελk␈↓ 
¬␈ε⊗∀␈εα␈α∩15,␈α⊃the
␈β*␈↓ ↓H␈εαsequence␈α
fails␈α
to␈α∞pass␈α
the␈α
\gap␈α∞test"␈α
described␈α∞in␈α
Section␈α
3.3.2,␈α∞although␈α
when
␈βU␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓c␈εα=␈α
16␈αthe␈αtest␈αwas␈αsatisfactory.
␈ββ␈↓ α␈εαA␈α⊃m␈α␈uch␈α⊃better␈α⊃type␈α⊃of␈α∩additiv␈α␈e␈α⊃generator␈α⊃was␈α⊃devised␈α⊃in␈α⊃1958␈α⊃by␈α⊃G.␈α⊃J.
␈β.␈↓ ↓H␈εαMitchell␈α
and␈α∞D.␈α∞P.␈α∞Moore␈α
[unpublished],␈α∞who␈α∞suggested␈α∞the␈α∞somewhat␈α
un␈α␈usual
␈βY␈↓ ↓H␈εαsequence␈αde|ned␈αby
␈β
7␈↓ β\␈ελX␈↓ ∧⊃␈εα=␈α
(␈↓ ∧K␈ελX␈↓ ¬8␈εα+␈↓ ¬d␈ελX␈↓ εH␈εα)␈↓ εZ␈εαmod␈↓ π$␈ελm␈↓ πD␈εα,␈↓ λ≤␈ελn␈↓ λ<␈ε⊗∃␈εα␈α
55,␈↓ α␈εα(7)
␈β
D␈↓ βu␈εn␈↓ ∧d␈εn␈↓ ∧v␈ε→␈␈ε¬24␈↓ ¬⎇␈εn␈↓ ε∂␈ε→␈␈ε¬55
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελm␈↓ α[␈εαis␈αev␈α␈en,␈α
and␈αwhere␈↓ ¬␈ελX␈↓ ¬2␈εα,␈↓ ¬B␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬r␈εα,␈↓ εα␈ελX␈↓ εD␈εαare␈αarbitrary␈αin␈α␈tegers␈αnot␈αall␈αev␈α␈en.␈αThe
␈β∞"␈↓ ¬$␈ε¬0␈↓ ε≠␈ε¬54
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαconstan␈α␈ts␈α	24␈α	and␈α	55␈α	in␈α	this␈α
de|nition␈α	w␈α␈ere␈α	not␈α	chosen␈α	at␈α	random,␈α
they␈α	are␈α	special
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαvalues␈α	that␈α
happen␈α	to␈α
hav␈α␈e␈α	the␈α
property␈α	that␈α
the␈α	least␈α
signi|can␈α␈t␈α	bits␈ε⊗␈α
h␈↓ 
∀␈ελX␈↓ 
D␈εαmod␈↓ ∞␈εα2␈ε⊗i
␈β∞y␈↓ 
-␈εn
␈β∂⊃␈↓ ¬∨␈ε¬5␈α↓5
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαwill␈α
hav␈α␈e␈α∞a␈α
period␈α∞of␈α
length␈↓ ¬
␈εα2␈↓ ¬E␈ε⊗␈␈εα␈α	1.␈α⊃Therefore␈α
the␈α∞sequence␈ε⊗␈α
h␈↓ 	%␈ελX␈↓ 	P␈ε⊗i␈εα␈α
m␈α␈ust␈α∞hav␈α␈e␈α
a
␈β∂$␈↓ 	>␈εn
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαperiod␈α
at␈αleast␈αthis␈αlong.␈αEx␈α␈ercise␈α11,␈αwhich␈αexplains␈α
ho␈α␈w␈αto␈αcalculate␈αthe␈α
period
␈β∂h␈↓ 	W␈εf␈↓ 
β␈ε¬55
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαlength␈α
of␈α
such␈α
sequences,␈α∞pro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈α
(7)␈α∞has␈α
a␈α
period␈α
of␈α∞length␈↓ 	E␈εα2␈↓ 	e␈εα(␈↓ 	q␈εα2␈↓ 
(␈ε⊗␈␈εα␈α	1)␈α
for
␈β⊂∪␈↓ ¬J␈εe
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαsome␈↓ α"␈ελf␈↓ α3␈εα,␈α∞0␈ε⊗␈α
∀␈↓ β∃␈ελf␈↓ β0␈εα<␈↓ β↑␈ελe␈↓ βl␈εα,␈αwhen␈↓ ∧`␈ελm␈↓ ¬
␈εα=␈↓ ¬8␈εα2␈↓ ¬V␈εα.
␈β⊂F␈↓ α␈εαAt␈α|rst␈αglance␈αEq.␈α(7)␈αmay␈αnot␈αseem␈αto␈αbe␈αextremely␈αw␈α␈ell␈αsuited␈α
to␈αmachine
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαimplemen␈α␈tation,␈α
but␈α
in␈α	fact␈α
there␈α
is␈α
a␈α
v␈α␈ery␈α	e}cien␈α␈t␈α
way␈α
to␈α
generate␈α
the␈α	sequence
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαusing␈αa␈αcy␈α␈clic␈αlist:
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ λBOTH␈α␈ER␈α	METH␈α␈ODS␈↓ λ␈εα27
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈απA␈εα␈αλ(␈ε∂Additiv␈α␈e␈απn␈α␈um␈α␈ber␈αλgenerator␈↓ ε>␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∂Initially␈απlocations␈↓ λx␈ελY␈↓ 	∪␈εα[1],␈↓ 	I␈ελY␈↓ 	c␈εα[2],␈↓ 
→␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
I␈εα,␈↓ 
Y␈ελY␈↓ 
t␈εα[55]
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαare␈α	set␈α	to␈α	the␈α
values␈↓ ∧ε␈ελX␈↓ ∧<␈εα,␈↓ ∧L␈ελX␈↓ ¬↓␈εα,␈↓ ¬⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬A␈εα,␈↓ ¬Q␈ελX␈↓ ¬y␈εα,␈α
respectiv␈α␈ely;␈↓ πZ␈ελj␈↓ πs␈εαis␈α
set␈α	to␈α	24␈α	and␈↓ 	d␈ελk␈↓ 	␈␈εαis␈α	set␈α	to␈α	55.
␈βα←␈↓ ∧∨␈ε¬54␈↓ ∧e␈ε¬53␈↓ ¬j␈ε¬0
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαSuccessiv␈α␈e␈αperformances␈αof␈αthis␈αalgorithm␈αwill␈αproduce␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ 	w␈ελX␈↓ 
-␈εα,␈↓ 
=␈ελX␈↓ 
r␈εα,␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.
␈ββ
␈↓ 
⊂␈ε¬55␈↓ 
V␈ε¬56
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαas␈αoutput.
␈ββ\␈↓ ↓J␈ε∩A1.␈↓ α␈εα[Add.]␈α~(If␈α
w␈α␈e␈αare␈α
about␈αto␈α
output␈↓ ε2␈ελX␈↓ εj␈εαat␈αthis␈α
poin␈α␈t,␈↓ λD␈ελY␈↓ λ←␈εα[␈↓ λi␈ελj␈↓ λy␈εα]␈α
no␈α␈w␈αequals␈↓ 
H␈ελX
␈ββi␈↓ εK␈εn␈↓ 
a␈εn␈↓ 
s␈ε→␈␈ε¬24
␈β∧α␈↓ 	β␈εe
␈β∧π␈↓ α␈εαand␈↓ αR␈ελY␈↓ αm␈εα[␈↓ αw␈ελk␈↓ β	␈εα]␈αequals␈↓ ∧␈ελX␈↓ ∧o␈εα.)␈α→Set␈↓ ¬\␈ελY␈↓ ¬w␈εα[␈↓ ε↓␈ελk␈↓ ε∪␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ εa␈ελY␈↓ ε|␈εα[␈↓ πε␈ελk␈↓ π_␈εα]␈αλ+␈↓ πV␈ελY␈↓ πq␈εα[␈↓ π{␈ελj␈↓ λ␈εα])␈↓ λ'␈εαmod␈↓ λq␈εα2␈↓ 	∂␈εα,␈αand␈αoutput␈↓ 
a␈ελY␈↓ 
|␈εα[␈↓ ε␈ελk␈↓ _␈εα].
␈β∧∃␈↓ ∧$␈εn␈↓ ∧6␈ε→␈␈ε¬␈α␈5␈α↓5
␈β∧;␈↓ ↓J␈ε∩A2.␈↓ α␈εα[Advance.]␈α≤Decrease␈↓ ∧e␈ελj␈↓ ¬β␈εαand␈↓ ¬J␈ελk␈↓ ¬i␈εαby␈α∞1.␈α⊂If␈α
no␈α␈w␈↓ π<␈ελj␈↓ πY␈εα=␈α0,␈α∞set␈↓ λl␈ελj␈↓ 		␈ε⊗ ␈εα␈α55;␈α∞otherwise␈α
if
␈β∧g␈↓ α␈ελk␈↓ α(␈εα=␈α
0,␈αset␈↓ β6␈ελk␈↓ βR␈ε⊗ ␈εα␈α
55.
␈β∧l␈↓ ∧U␈∧∧l∧U≠∂
␈β¬$␈↓ ↓H␈εαThis␈αalgorithm␈αin␈ε∃␈αM␈α␈IX␈εα␈αis␈αsimply␈αthe␈αfollo␈α␈wing:
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε∩Program␈α
A␈εα␈α
(␈ε∂Additiv␈α␈e␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞generator␈↓ ε;␈εα)␈ε∩.␈εα␈α≠Assuming␈α∞that␈α
index␈α
registers␈α
5␈α
and
␈βε␈↓ ↓H␈εα6␈αare␈αnot␈αtouched␈αby␈αthe␈αremainder␈αof␈αthe␈αprogram␈αin␈αwhich␈αthis␈αroutine␈αis␈αem-
␈βε8␈↓ ↓H␈εαbedded,␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α	code␈α	performs␈α	Algorithm␈α	A␈α
and␈α	leav␈α␈es␈α	the␈α	result␈α	in␈α	register
␈βεc␈↓ ↓H␈εαA␈↓ ↓b␈εα.␈↓ ↓x␈εαrI␈↓ α∩␈εα5␈ε⊗␈α
⊃␈↓ α\␈ελj␈↓ αl␈εα,␈↓ βα␈εαrI␈↓ β≤␈εα6␈ε⊗␈α
⊃␈↓ βf␈ελk␈↓ βx␈εα.
␈βπ'␈↓ βw␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ∧s␈ε∃Y␈α␈,6
␈βπ*␈↓ ¬y␈ε⊂A1.␈αAd␈α␈d.
␈βπD␈↓ ¬y␈∧πD¬yα↓∧
␈βπO␈↓ βw␈ε∃A␈α␈DD␈↓ ∧s␈ε∃Y␈α␈,5
␈βπR␈↓ ¬y␈ε	Y␈↓ ε!␈εβ+␈↓ εJ␈ε	Y␈↓ εt␈εβ(o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α}w␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈)
␈βπ\␈↓ ε␈εk␈↓ ε]␈εj
␈βπv␈↓ βw␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧s␈ε∃Y␈α␈,6
␈βπy␈↓ εA␈ε↔!␈↓ εk␈ε	Y␈↓ π␈εβ.
␈βλ∧␈↓ ε␈␈εk
␈βλ≡␈↓ βw␈ε∃D␈α␈EC5␈↓ ∧s␈ε∃1
␈βλ!␈↓ ¬y␈ε⊂A2.␈αAd␈α␈van␈α␈ce.␈↓ πH␈ε	j␈↓ π`␈ε↔ ␈↓ λ␈ε	j␈↓ λ!␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.
␈βλ;␈↓ ¬y␈∧λ;¬yα↓E
␈βλE␈↓ βw␈ε∃D␈α␈EC6␈↓ ∧s␈ε∃1
␈βλH␈↓ ¬y␈ε	k␈↓ ε∩␈ε↔ ␈↓ ε=␈ε	k␈↓ εU␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈βλm␈↓ βw␈ε∃J␈α␈5P␈↓ ∧s␈ε∃*␈α␈+2
␈β	∃␈↓ βw␈ε∃E␈α␈NT5␈↓ ∧s␈ε∃5␈α␈5
␈β	_␈↓ ¬y␈εβIf␈↓ ε~␈ε	j␈↓ ε2␈εβ=␈α
0,␈αset␈↓ π6␈ε	j␈↓ πN␈ε↔ ␈εβ␈α	55.
␈β	<␈↓ βw␈ε∃J␈α␈6P␈↓ ∧s␈ε∃*␈α␈+2
␈β	d␈↓ βw␈ε∃E␈α␈NT6␈↓ ∧s␈ε∃5␈α␈5
␈β	g␈↓ ¬y␈εβIf␈↓ ε~␈ε	k␈↓ ε4␈εβ=␈α	0,␈αset␈↓ π7␈ε	k␈↓ πQ␈ε↔ ␈εβ␈α	55.
␈β	i␈↓ λK␈∧	iλK≠∂
␈β
<␈↓ α␈εαThis␈α⊂generator␈α∂is␈α⊂usually␈α∂faster␈α∂than␈α⊂the␈α∂previous␈α⊂methods␈α∂w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈α∂been
␈β
g␈↓ ↓H␈εαdiscussing,␈αsince␈αit␈α
does␈αnot␈αrequire␈α
an␈α␈y␈αm␈α␈ultiplication.␈α
Besides␈αits␈α
speed,␈αit␈αhas
␈β∩␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞longest␈α∂period␈α∂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α∂seen␈α∞y␈α␈et;␈α⊃and␈α∞it␈α∂has␈α∂consisten␈α␈tly␈α∂produced␈α∞reliable
␈β>␈↓ ↓H␈εαresults,␈α∞in␈α∞extensiv␈α␈e␈α
tests␈α∞since␈α∞its␈α∞in␈α␈v␈α␈en␈α␈tion␈α
in␈α∞1958.␈α⊃Furthermore,␈α∂as␈α
Richard
␈βi␈↓ ↓H␈εαBren␈α␈t␈α
has␈α
observ␈α␈ed,␈α∞it␈α
can␈α
be␈α∞made␈α
to␈α
w␈α␈ork␈α∞correctly␈α
with␈α
⎇oating-poin␈α␈t␈α
n␈α␈um-
␈β∀␈↓ ↓H␈εαbers,␈α∂av␈α␈oiding␈α∂the␈α∂need␈α∂to␈α∞con␈α␈v␈α␈ert␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂in␈α␈tegers␈α∂and␈α∂fractions␈α∂(cf.␈α∞ex␈α␈ercise
␈β?␈↓ ↓H␈εα23).␈α
Therefore␈αit␈αmay␈αw␈α␈ell␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αto␈αbe␈α
the␈αv␈α␈ery␈ε∂␈αbest␈εα␈α
source␈αof␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈βj␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂practical␈α⊂purposes.␈α↔The␈α⊂only␈α⊂reason␈α⊂it␈α∂is␈α⊂di}cult␈α⊂to␈α⊂recommend␈α∂sequence
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εα(7)␈α∞wholeheartedly␈α∞is␈α∞that␈α∂there␈α∞is␈α∞still␈α∂v␈α␈ery␈α∞little␈α∞theory␈α∞to␈α∂pro␈α␈v␈α␈e␈α∞that␈α∞it␈α∞does
␈β
A␈↓ ↓H␈εαor␈α∂does␈α⊂not␈α∂hav␈α␈e␈α⊂desirable␈α∂randomness␈α⊂properties;␈α⊃essen␈α␈tially␈α⊂all␈α∂w␈α␈e␈α⊂kno␈α␈w␈α∂for
␈β
l␈↓ ↓H␈εαsure␈αis␈αthat␈αthe␈αperiod␈αis␈αv␈α␈ery␈αlong,␈αand␈αthis␈αis␈αnot␈αenough.␈αJohn␈αReiser␈α(Ph.␈αD.
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαthesis,␈αStanford␈αUniv.,␈α1977)␈αhas␈αsho␈α␈wn,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthat␈αan␈αadditiv␈α␈e␈αsequence␈α
lik␈α␈e
␈β∞B␈↓ ↓H␈εα(7)␈αwill␈αbe␈αw␈α␈ell␈αdistributed␈αin␈αhigh␈αdimensions,␈αpro␈α␈vided␈αthat␈αa␈αcertain␈αplausible
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαconjecture␈αis␈αtrue␈α(cf.␈αex␈α␈ercise␈α26).
␈β∂→␈↓ α␈εαThe␈α
fact␈α
that␈α
the␈α
special␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
(24,␈α
55)␈α
in␈α
(7)␈α
w␈α␈ork␈α
so␈α
w␈α␈ell␈α
follo␈α␈ws␈αfrom
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαtheory␈αdev␈α␈eloped␈α
in␈αsome␈α
of␈α
the␈αex␈α␈ercises␈α
belo␈α␈w.␈α∞Table␈α1␈α
lists␈α
all␈αpairs␈α
(␈↓ 
<␈ελl␈↓ 
F␈εα,␈↓ 
V␈ελk␈↓ 
h␈εα)␈αfor
␈β∂j␈↓ 	q␈εk
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαwhich␈αthe␈αsequence␈↓ ∧↓␈ελX␈↓ ∧6␈εα=␈α
(␈↓ ∧p␈ελX␈↓ ¬H␈εα+␈↓ ¬s␈ελX␈↓ εI␈εα)␈↓ ε[␈εαmod␈↓ π%␈εα2␈αhas␈αperiod␈αlength␈↓ 	←␈εα2␈↓ 
π␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈αwhen
␈β∂⎇␈↓ ∧~␈εn␈↓ ¬	␈εn␈↓ ¬≠␈ε→␈␈↓ ¬8␈εl␈↓ ε␈εn␈↓ ε≡␈ε→␈␈↓ ε;␈εk
␈β⊂~␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓h␈εα<␈α∞100.␈α∀The␈α∂pairs␈α∞(␈↓ ∧!␈ελl␈↓ ∧,␈εα,␈↓ ∧<␈ελk␈↓ ∧M␈εα)␈α∂for␈α∂small␈α∞as␈α∂w␈α␈ell␈α∂as␈α∞larger␈↓ λ∃␈ελk␈↓ λ5␈εαare␈α∂sho␈α␈wn,␈α∂for␈α∂the␈α∞sak␈α␈e
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαof␈α∞completeness;␈α⊂the␈α∂pair␈α∞(1,␈α∂2)␈α∂corresponds␈α∂to␈α∞the␈α∂Fibonacci␈α∞sequence␈α∂mod␈α∞2,
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαwhose␈α
period␈αhas␈αlength␈α3.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αonly␈αpairs␈α(␈↓ π<␈ελl␈↓ πF␈εα,␈↓ πV␈ελk␈↓ πh␈εα)␈αfor␈α
relativ␈α␈ely␈αlarge␈↓ 
*␈ελk␈↓ 
F␈εαshould
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαbe␈αused␈αto␈αgenerate␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αpractice.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα28␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαH␈↓ β	␈εβS␈α␈UBSCRIPT␈αP␈α}AIRS␈αYIELDING␈αL␈α␈ONG␈αP␈α↓ERIODS␈α
MOD␈α2
␈βαl␈↓ ↓H␈∧αl↓Hα	e
␈βαz␈↓ ↓e␈εβ(1,␈α2)␈↓ α←␈εβ(1␈α␈,␈α1␈α␈5)␈↓ βi␈εβ(5,␈α23␈α␈)␈↓ ∧t␈εβ(7␈α␈,␈α3␈α␈1)␈↓ ¬}␈εβ(5,␈α47␈α␈)␈↓ εx␈εβ(2␈α␈1,␈α52)␈↓ λ
␈εβ(18,␈α65␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(2␈α␈8,␈α73)␈↓ 
3␈εβ(2␈α␈,␈α9␈α␈3)
␈ββ"␈↓ ↓e␈εβ(1,␈α3)␈↓ α←␈εβ(4␈α␈,␈α1␈α␈5)␈↓ βi␈εβ(9,␈α23␈α␈)␈↓ ∧c␈εβ(13␈α␈,␈α3␈α␈1)␈↓ ¬m␈εβ(14,␈α47␈α␈)␈↓ εx␈εβ(2␈α␈4,␈α55)␈↓ λ
␈εβ(32,␈α65␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(3␈α␈1,␈α73)␈↓ 
"␈εβ(21␈α␈,␈α9␈α␈4)
␈ββI␈↓ ↓e␈εβ(1,␈α4)␈↓ α←␈εβ(7␈α␈,␈α1␈α␈5)␈↓ βi␈εβ(3,␈α25␈α␈)␈↓ ∧c␈εβ(13␈α␈,␈α3␈α␈3)␈↓ ¬m␈εβ(20,␈α47␈α␈)␈↓ πλ␈εβ(7,␈α57)␈↓ λ≡␈εβ(9,␈α68␈α␈)␈↓ 	(␈εβ(9,␈α79)␈↓ 
"␈εβ(11␈α␈,␈α9␈α␈5)
␈ββq␈↓ ↓e␈εβ(2,␈α5)␈↓ α←␈εβ(3␈α␈,␈α1␈α␈7)␈↓ βi␈εβ(7,␈α25␈α␈)␈↓ ∧t␈εβ(2␈α␈,␈α3␈α␈5)␈↓ ¬m␈εβ(21,␈α47␈α␈)␈↓ εx␈εβ(2␈α␈2,␈α57)␈↓ λ
␈εβ(33,␈α68␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(1␈α␈9,␈α79)␈↓ 
"␈εβ(17␈α␈,␈α9␈α␈5)
␈β∧→␈↓ ↓e␈εβ(1,␈α6)␈↓ α←␈εβ(5␈α␈,␈α1␈α␈7)␈↓ βi␈εβ(3,␈α28␈α␈)␈↓ ∧c␈εβ(11␈α␈,␈α3␈α␈6)␈↓ ¬}␈εβ(9,␈α49␈α␈)␈↓ εx␈εβ(1␈α␈9,␈α58)␈↓ λ≡␈εβ(6,␈α71␈α␈)␈↓ 	(␈εβ(4,␈α81)␈↓ 
3␈εβ(6␈α␈,␈α9␈α␈7)
␈β∧@␈↓ ↓e␈εβ(1,␈α7)␈↓ α←␈εβ(6␈α␈,␈α1␈α␈7)␈↓ βi␈εβ(9,␈α28␈α␈)␈↓ ∧t␈εβ(4␈α␈,␈α3␈α␈9)␈↓ ¬m␈εβ(12,␈α49␈α␈)␈↓ πλ␈εβ(1,␈α60)␈↓ λ≡␈εβ(9,␈α71␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(1␈α␈6,␈α81)␈↓ 
"␈εβ(12␈α␈,␈α9␈α␈7)
␈β∧h␈↓ ↓e␈εβ(3,␈α7)␈↓ α←␈εβ(7␈α␈,␈α1␈α␈8)␈↓ βX␈εβ(␈α↓1␈α␈3,␈α28␈α␈)␈↓ ∧t␈εβ(8␈α␈,␈α3␈α␈9)␈↓ ¬m␈εβ(15,␈α49␈α␈)␈↓ εx␈εβ(1␈α␈1,␈α60)␈↓ λ
␈εβ(18,␈α71␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(3␈α␈5,␈α81)␈↓ 
"␈εβ(33␈α␈,␈α9␈α␈7)
␈β¬∂␈↓ ↓e␈εβ(4,␈α9)␈↓ α←␈εβ(3␈α␈,␈α2␈α␈0)␈↓ βi␈εβ(2,␈α29␈α␈)␈↓ ∧c␈εβ(14␈α␈,␈α3␈α␈9)␈↓ ¬m␈εβ(22,␈α49␈α␈)␈↓ πλ␈εβ(1,␈α63)␈↓ λ
␈εβ(20,␈α71␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(1␈α␈3,␈α84)␈↓ 
"␈εβ(34␈α␈,␈α9␈α␈7)
␈β¬7␈↓ ↓e␈εβ(3,␈α10␈α␈)␈↓ α←␈εβ(2␈α␈,␈α2␈α␈1)␈↓ βi␈εβ(3,␈α31␈α␈)␈↓ ∧t␈εβ(3␈α␈,␈α4␈α␈1)␈↓ ¬}␈εβ(3,␈α52␈α␈)␈↓ πλ␈εβ(5,␈α63)␈↓ λ
␈εβ(35,␈α71␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(1␈α␈3,␈α87)␈↓ 
"␈εβ(11␈α␈,␈α9␈α␈8)
␈β¬←␈↓ ↓e␈εβ(2,␈α11␈α␈)␈↓ α←␈εβ(1␈α␈,␈α2␈α␈2)␈↓ βi␈εβ(6,␈α31␈α␈)␈↓ ∧c␈εβ(20␈α␈,␈α4␈α␈1)␈↓ ¬m␈εβ(19,␈α52␈α␈)␈↓ εx␈εβ(3␈α␈1,␈α63)␈↓ λ
␈εβ(25,␈α73␈α␈)␈↓ 	_␈εβ(3␈α␈8,␈α89)␈↓ 
"␈εβ(27␈α␈,␈α9␈α␈8)
␈βε	␈↓ ↓H␈∧ε	↓Hα	e
␈βε⊗␈↓ ↓H␈ε∧For␈αλeach␈αλpair␈αλ(␈↓ β
␈ε
l␈↓ β∩␈ε∧,␈↓ β ␈ε
k␈↓ β/␈ε∧),␈αλthe␈αλpair␈αλ(␈↓ ∧D␈ε
k␈↓ ∧W␈ε_␈␈↓ ∧y␈ε
l␈↓ ¬α␈ε∧,␈↓ ¬∂␈ε
k␈↓ ¬≡␈ε∧)␈α	i␈α␈s␈αλalso␈αλva␈α↓l␈α␈id␈αλ(se␈α␈e␈αλex␈α␈er␈α␈cis␈α␈e␈αλ2␈α↓4),␈αλhenc␈α␈e␈αλonly␈αλvalue␈α␈s␈αλo␈α↓f␈↓ 
G␈ε
l␈↓ 
X␈ε_∀␈↓ 
␈␈ε
k␈↓ ∞␈ε∧/2
␈βε7␈↓ ↓H␈ε∧are␈αli␈α␈sted␈αhere␈α␈.␈α∂For␈αexte␈α␈nsions␈αof␈αthi␈α␈s␈αtable␈α␈,␈αse␈α␈e␈αN␈α␈.␈αZ␈α␈ier␈α␈ler␈αand␈αJ␈α↓.␈αBril␈α␈lhart,␈ε⊃␈αInf␈α↓orm␈α␈a␈α↓ti␈α␈on␈αand
␈βεW␈↓ ↓H␈ε⊃C␈α␈o␈α↓n␈α␈trol␈ε∀␈α
13␈ε∧␈α
(␈α↓196␈α↓8),␈α
541␈α↓↑55␈α↓4;␈ε∀␈α
14␈ε∧␈α
(␈α↓1969␈α↓),␈α
566␈α↓↑569␈α↓;␈ε∀␈α	1␈α↓5␈ε∧␈α
(1␈α↓969␈α↓),␈α
67↑6␈α↓9.
␈βπP␈↓ α␈εαInstead␈α∪of␈α∀considering␈α∪only␈α∀additiv␈α␈e␈α∪sequences,␈α∃w␈α␈e␈α∀can␈α∪construct␈α∪useful
␈βπ|␈↓ ↓H␈εαrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈αgenerators␈αby␈αtaking␈αgeneral␈α
linear␈αcom␈α␈binations␈αof␈↓ 
ε␈ελX␈↓ 
\␈εα,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα,
␈βλ	␈↓ 
∨␈εn␈↓ 
1␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ'␈↓ ↓H␈ελX␈↓ α,␈εαfor␈α
small␈↓ βE␈ελk␈↓ βW␈εα.␈α⊂In␈α∞this␈α∞case␈α
the␈α∞best␈α
results␈α∞occur␈α∞when␈α
the␈α∞modulus␈↓ 
H␈ελm␈↓ 
u␈εαis␈α
a
␈βλ4␈↓ ↓a␈εn␈↓ ↓s␈ε→␈␈↓ α∂␈εk
␈βλR␈↓ ↓H␈εαlarge␈ε∂␈αprime␈εα;␈αfor␈αexample,␈↓ ∧a␈ελm␈↓ ¬
␈εαcan␈αbe␈αchosen␈αto␈αbe␈α
the␈αlargest␈αprime␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αthat
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εα|ts␈α∞in␈α
a␈α∞single␈α∞computer␈α∞w␈α␈ord␈α∞(see␈α∞Table␈α∞4.5.4↑1).␈α∩When␈↓ λd␈ελm␈↓ 	⊃␈εα=␈↓ 	B␈ελp␈↓ 	b␈εαis␈α∞prime,␈α∞the
␈β	(␈↓ ↓H␈εαtheory␈αof␈α|nite␈α|elds␈αtells␈αus␈αthat␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈α|nd␈αm␈α␈ultipliers␈↓ 	M␈ελa␈↓ 	l␈εα,␈↓ 	|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
,␈εα,␈↓ 
<␈ελa␈↓ 
f␈εαsuch
␈β	6␈↓ 	↑␈ε¬1␈↓ 
M␈εk
␈β	T␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈αsequence␈αde|ned␈αby
␈β
.␈↓ ∧
␈ελX␈↓ ∧B␈εα=␈α
(␈↓ ∧|␈ελa␈↓ ¬≠␈ελX␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εW␈εα+␈↓ πβ␈ελa␈↓ π#␈ελX␈↓ πy␈εα)␈↓ λ␈εαmod␈↓ λU␈ελp␈↓ α␈εα(8)
␈β
;␈↓ ∧&␈εn␈↓ ¬
␈ε¬1␈↓ ¬4␈εn␈↓ ¬F␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π∀␈εk␈↓ π<␈εn␈↓ πM␈ε→␈␈↓ πj␈εk
␈ββ␈↓ βz␈εk
␈βλ␈↓ ↓H␈εαhas␈α
period␈α
length␈↓ βg␈ελp␈↓ ∧⊃␈ε⊗␈␈εα␈α	1;␈α∞here␈↓ ¬7␈ελX␈↓ ¬↑␈εα,␈↓ ¬n␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε.␈ελX␈↓ π∞␈εαmay␈α∞be␈α
chosen␈α
arbitrarily␈α
but␈α
not
␈β∃␈↓ ¬P␈ε¬0␈↓ εG␈εk␈↓ εV␈ε→␈␈ε¬1
␈β3␈↓ ↓H␈εαall␈α∞zero.␈α≥(The␈α∞special␈α∞case␈↓ ∧␈␈ελk␈↓ ¬∨␈εα=␈α∞1␈α∞corresponds␈α∞to␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiplicativ␈α␈e␈α∞congruen␈α␈tial
␈β↑␈↓ ↓H␈εαsequence␈αλwith␈απprime␈αλmodulus,␈α	with␈αλwhich␈αλw␈α␈e␈αλare␈απalready␈αλfamiliar.)␈α⊂The␈απconstan␈α␈ts
␈β	␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α'␈εα,␈↓ α7␈ελa␈↓ αb␈εαin␈α(8)␈αhav␈α␈e␈αthe␈αdesired␈αproperty␈αif␈αand␈αonly␈αif␈αthe␈αpolynomial
␈β↔␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ αH␈εk
␈β↑␈↓ ¬N␈εk␈↓ εB␈εk␈↓ εQ␈ε→␈␈ε¬1
␈βd␈↓ ∧G␈ελf␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧w␈εα)␈α
=␈↓ ¬;␈ελx␈↓ ¬d␈ε⊗␈␈↓ ε⊂␈ελa␈↓ ε/␈ελx␈↓ π∧␈ε⊗␈␈↓ π0␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πb␈ε⊗␈␈↓ λ∞␈ελa␈↓ α␈εα(9)
␈βq␈↓ ε!␈ε¬1␈↓ λ∨␈εk
␈β
>␈↓ ↓H␈εαis␈α	a␈α	\primitiv␈α␈e␈α
polynomial␈α	modulo␈↓ ¬c␈ελp␈↓ ¬v␈εα,"␈α
that␈α	is,␈α
if␈α	and␈α
only␈α	if␈α	this␈α
polynomial␈α	has␈α	a
␈β
d␈↓ π0␈εk
␈β
i␈↓ ↓H␈εαroot␈απthat␈απis␈αλa␈απprimitiv␈α␈e␈αλelemen␈α␈t␈απof␈αλthe␈απ|eld␈απwith␈↓ π≡␈ελp␈↓ πF␈εαelemen␈α␈ts␈αλ(see␈απex␈α␈ercise␈↓ 
⊗␈εα4.6.2↑16␈↓ ⊗␈εα).
␈β∞∃␈↓ α␈εαOf␈α∂course,␈α⊂the␈α∂mere␈α∂fact␈α∂that␈α∂suitable␈α∂constan␈α␈ts␈↓ λ"␈ελa␈↓ λA␈εα,␈↓ λZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εα,␈↓ 	$␈ελa␈↓ 	R␈ε∂exist␈εα␈α∂giving␈α∂a
␈β∞#␈↓ λ2␈ε¬1␈↓ 	5␈εk
␈β∞<␈↓ βg␈εk
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαperiod␈α∞of␈α∞length␈↓ βU␈ελp␈↓ β␈␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∞is␈α∂not␈α∞enough␈α∂for␈α∞practical␈α∂purposes;␈α∂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∞be␈α∞able
␈β∞g␈↓ εk␈εk
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαto␈ε∂␈α|nd␈εα␈αthem,␈αand␈αw␈α␈e␈αcan't␈αsimply␈αtry␈αall␈↓ εY␈ελp␈↓ πε␈εαpossibilities,␈αsince␈↓ 	(␈ελp␈↓ 	F␈εαis␈αon␈αthe␈αorder
␈β∂∩␈↓ 	"␈εk
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αcomputer's␈αw␈α␈ord␈αsize.␈αFortunately␈αthere␈αare␈αexactly␈↓ λm␈ελ⎇␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελp␈↓ 	9␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)/␈↓ 
∃␈ελk␈↓ 
2␈εαsuitable
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαchoices␈α	of␈α
(␈↓ αs␈ελa␈↓ β∪␈εα,␈↓ β#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βS␈εα,␈↓ βc␈ελa␈↓ ∧α␈εα),␈α
so␈α
there␈α
is␈α
a␈α
fairly␈α	good␈α
chance␈α
of␈α
hitting␈α
one␈α
after␈α	making
␈β∂P␈↓ β∧␈ε¬1␈↓ βs␈εk
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαa␈αfew␈αrandom␈αtries.␈αBut␈αw␈α␈e␈αalso␈αneed␈αa␈αway␈αto␈αtell␈αquickly␈αwhether␈αor␈αnot␈α(9)␈αis
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαa␈α
primitiv␈α␈e␈α∞polynomial␈α∞modulo␈↓ ¬A␈ελp␈↓ ¬T␈εα;␈α∞it␈α∞is␈α
certainly␈α∞un␈α␈thinkable␈α∞to␈α
generate␈α∞up␈α
to
␈β⊂?␈↓ ↓Z␈εk
␈β⊂D␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓o␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈α
elemen␈α␈ts␈αof␈αthe␈α
sequence␈αand␈α
wait␈αfor␈αa␈α
repetition!␈αMethods␈α
of␈αtesting␈α
for
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαprimitivity␈α
modulo␈↓ ∧α␈ελp␈↓ ∧"␈εαare␈α
discussed␈α∞by␈α
Alanen␈α∞and␈α
Kn␈α␈uth␈α
in␈ε∂␈α∞Sankh␈α␈y␈↓ 
λ␈ε∂∩␈↓ 
λ␈ε∂a␈↓ 
'␈εαseries␈α
A,
␈β⊃∃␈↓ 	D␈εk
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∩26␈εα␈α(1964),␈α305↑328;␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αcriteria␈αcan␈αbe␈αused:␈αLet␈↓ λ↑␈ελr␈↓ λw␈εα=␈α
(␈↓ 	1␈ελp␈↓ 	Y␈ε⊗␈␈εα␈απ1)/(␈↓ 
@␈ελp␈↓ 
Y␈ε⊗␈␈εα␈απ1).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ λBOTH␈α␈ER␈α	METH␈α␈ODS␈↓ λ␈εα29
␈βα!␈↓ αZ␈εk␈↓ αi␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βα&␈↓ ↓j␈εαi)␈↓ α␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ αN␈εα)␈↓ β∀␈ελa␈↓ β?␈εαm␈α␈ust␈αbe␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αroot␈αmodulo␈↓ πM␈ελp␈↓ π←␈εα.␈α~(Cf.␈αSection␈α3.2.1.2.)
␈βα4␈↓ β%␈εk
␈βαL␈↓ ∧#␈εr␈↓ πf␈εk␈↓ πu␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βαQ␈↓ ↓`␈εαii)␈↓ α␈εαThe␈αpolynomial␈↓ ∧⊂␈ελx␈↓ ∧<␈εαm␈α␈ust␈αbe␈αcongruen␈α␈t␈αto␈α(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ πZ␈εα)␈↓ λ ␈ελa␈↓ λ?␈εα,␈αmodulo␈↓ 	U␈ελf␈↓ 	f␈εα(␈↓ 	r␈ελx␈↓ 
¬␈εα)␈αand␈↓ 
c␈ελp␈↓ 
v␈εα.
␈βα←␈↓ λ1␈εk
␈βαx␈↓ β␈␈εr␈↓ ∧␈ε¬/␈↓ ∧≠␈εq
␈βα⎇␈↓ ↓V␈εαiii)␈↓ α␈εαThe␈αdegree␈α
of␈↓ βl␈ελx␈↓ ∧.␈εαmod␈↓ ∧x␈ελf␈↓ ¬	␈εα(␈↓ ¬∃␈ελx␈↓ ¬(␈εα),␈αusing␈α
polynomial␈αarithmetic␈αmodulo␈↓ 
	␈ελp␈↓ 
≤␈εα,␈αm␈α␈ust␈α
be
␈ββ(␈↓ α␈εαpositiv␈α␈e,␈αfor␈αeach␈αprime␈αdivisor␈↓ ε↓␈ελq␈↓ ε≥␈εαof␈↓ εG␈ελr␈↓ εW␈εα.
␈ββW␈↓ π←␈εn
␈ββ\␈↓ α␈εαE}cien␈α␈t␈α∩ways␈α∩to␈α∩compute␈α∩the␈α∩polynomial␈↓ πL␈ελx␈↓ πw␈εαmod␈↓ λA␈ελf␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ λq␈εα),␈α∀using␈α⊃polynomial
␈β∧λ␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈αmodulo␈αa␈αgiv␈α␈en␈αprime␈↓ ¬Y␈ελp␈↓ ¬k␈εα,␈αare␈αdiscussed␈αin␈αSection␈α4.6.2.
␈β∧3␈↓ α␈εαIn␈α
order␈α
to␈α
carry␈α
out␈α
this␈α
test,␈α
w␈α␈e␈α
need␈α
to␈α
kno␈α␈w␈α
the␈α
prime␈α
factorization␈α
of
␈β∧Y␈↓ α7␈εk
␈β∧↑␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓f␈εα=␈α∞(␈↓ α$␈ελp␈↓ αO␈ε⊗␈␈εα␈α
1)/(␈↓ β9␈ελp␈↓ βU␈ε⊗␈␈εα␈α
1),␈α∂and␈α∂this␈α∂is␈α∞the␈α∂limiting␈α∂factor␈α∞in␈α∂the␈α∂calculation;␈↓ 
X␈ελr␈↓ 
v␈εαcan
␈β¬	␈↓ ↓H␈εαbe␈α
factored␈αin␈α
a␈α
reasonable␈α
amoun␈α␈t␈α
of␈α
time␈α
when␈↓ πa␈ελk␈↓ π}␈εα=␈α2,␈α
3,␈α∞and␈αperhaps␈α
4,␈α
but
␈β¬4␈↓ ↓H␈εαhigher␈αvalues␈αof␈↓ βL␈ελk␈↓ βj␈εαare␈αdi}cult␈αto␈αhandle␈αwhen␈↓ π&␈ελp␈↓ πD␈εαis␈αlarge.␈αEv␈α␈en␈↓ 	$␈ελk␈↓ 	@␈εα=␈α
2␈αessen␈α␈tially
␈β¬`␈↓ ↓H␈εαdoubles␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α\signi|can␈α␈t␈αrandom␈α
digits"␈αo␈α␈v␈α␈er␈αwhat␈αis␈αachievable␈αwith
␈βε␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓c␈εα=␈α
1,␈αso␈αlarger␈αvalues␈αof␈↓ ∧c␈ελk␈↓ ¬↓␈εαwill␈αrarely␈αbe␈αnecessary.
␈βε6␈↓ α␈εαAn␈α∂adaptation␈α∂of␈α∞the␈α∂spectral␈α∂test␈α∂(Section␈α∂3.3.4)␈α∞can␈α∂be␈α∂used␈α∂to␈α∂rate␈α∞the
␈βεa␈↓ ↓H␈εαsequence␈αλof␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλgenerated␈αλby␈αλ(8);␈α	see␈αλex␈α␈ercise␈αλ3.3.4↑26.␈α
The␈αλconsiderations␈αλof
␈βπ␈↓ ↓H␈εαthat␈α	section␈α
sho␈α␈w␈α	that␈α
w␈α␈e␈α
should␈ε∂␈α	not␈εα␈α
mak␈α␈e␈α
the␈α	obvious␈α
choice␈α	of␈↓ 	6␈ελa␈↓ 	←␈εα=␈α
+1␈α
or␈ε⊗␈α	␈␈εα1
␈βπ~␈↓ 	G␈ε¬1
␈βπ8␈↓ ↓H␈εαwhen␈α	it␈α	is␈α	possible␈α	to␈α	do␈α	so;␈α
it␈α	is␈α	better␈α	to␈α	pick␈α	large,␈α
essen␈α␈tially␈α	\random,"␈α	values
␈βπc␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈ελa␈↓ α∃␈εα,␈↓ α%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αU␈εα,␈↓ αe␈ελa␈↓ β∀␈εαthat␈α∂satisfy␈α⊂the␈α⊂conditions,␈α⊂and␈α⊂to␈α⊂v␈α␈erify␈α∂the␈α⊂choice␈α⊂by␈α∂applying
␈βπp␈↓ αε␈ε¬1␈↓ αu␈εk
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂spectral␈α⊂test.␈α→A␈α⊂signi|can␈α␈t␈α⊃amoun␈α␈t␈α⊂of␈α⊂computation␈α⊃is␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α⊂in␈α⊂|nding
␈βλ9␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α'␈εα,␈↓ α7␈ελa␈↓ αV␈εα,␈α
but␈α
all␈α
kno␈α␈wn␈α
evidence␈α
indicates␈α
that␈α
the␈α
result␈α
will␈α
be␈α
a␈α
v␈α␈ery␈αsatis-
␈βλG␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ αH␈εk
␈βλd␈↓ ↓H␈εαfactory␈αsource␈α
of␈α
random␈αn␈α␈um␈α␈bers.␈α∞We␈α
essen␈α␈tially␈α
achiev␈α␈e␈αthe␈α
randomness␈α
of␈αa
␈β	⊂␈↓ ↓H␈εαlinear␈α
congruen␈α␈tial␈α
generator␈α∞with␈↓ ¬p␈ελk␈↓ εα␈εα-tuple␈α
precision,␈α∞using␈α
only␈α
single␈α
precision
␈β	;␈↓ ↓H␈εαoperations.
␈β	f␈↓ α␈εαThe␈α∂special␈α⊂case␈↓ ∧ ␈ελp␈↓ ∧B␈εα=␈α⊂2␈α∂is␈α⊂of␈α∂independen␈α␈t␈α∂in␈α␈terest.␈α↔Sometimes␈α∂a␈α∂random-
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈α
generator␈α
is␈α
desired␈α
that␈α
merely␈α∞produces␈α
a␈α
random␈α
sequence␈α
of␈ε∂␈α
bits␈εα←
␈β
<␈↓ ↓H␈εαzeros␈α	and␈α
ones←instead␈α	of␈α
fractions␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α	zero␈α
and␈α	one.␈αThere␈α	is␈α
a␈α	simple␈α	way
␈β
h␈↓ ↓H␈εαto␈α
generate␈α∞a␈α
highly␈α∞random␈α
bit␈α∞sequence␈α
on␈α∞a␈α
binary␈α∞computer,␈α
manipulating
␈β∪␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓Y␈εα-bit␈α∂w␈α␈ords:␈α∩Start␈α⊂with␈α∂an␈α∂arbitrary␈α∂nonzero␈α∂binary␈α∂w␈α␈ord␈↓ λx␈ε∃X␈↓ 	␈εα.␈α∃To␈α∂get␈α∂the␈α∂next
␈β>␈↓ ↓H␈εαrandom␈α	bit␈α	of␈α	the␈α	sequence,␈α
do␈α	the␈α	follo␈α␈wing␈α	operations,␈α
sho␈α␈wn␈α	in␈ε∃␈α	MIX␈εα␈α␈'s␈α	language
␈βi␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α16):
␈β2␈↓ αk␈ε∃LD␈α␈A␈↓ βg␈ε∃X
␈β5␈↓ ∧m␈εβ(Assume␈α
that␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αno␈α␈w␈α\␈α␈o{.␈α↓"␈α␈)
␈βZ␈↓ αk␈ε∃AD␈α␈D␈↓ βg␈ε∃X
␈β]␈↓ ∧m␈εβSh␈α␈i␈α↓ft␈αleft␈αon␈α␈e␈αb␈α␈i␈α↓t.
␈β
↓␈↓ 
p␈εα(10)
␈β
α␈↓ αk␈ε∃JN␈α␈OV␈↓ βg␈ε∃*+2
␈β
¬␈↓ ∧m␈εβJu␈α␈mp␈αif␈αhigh␈α
bit␈αwas␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈ally␈αze␈α␈ro.
␈β
)␈↓ αk␈ε∃XO␈α␈R␈↓ βg␈ε∃A
␈β
,␈↓ ∧m␈εβOthe␈α␈rwi␈α↓se␈αa␈α␈dju␈α␈st␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αwith␈α
\ex␈α}clusiv␈α␈e␈αo␈α␈r."
␈β
Q␈↓ αk␈ε∃ST␈α␈A␈↓ βg␈ε∃X
␈β
V␈↓ ¬9␈∧
V¬9≠∂
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εαThe␈α
fourth␈α∞instruction␈α
here␈α∞is␈α
the␈α∞\ex␈α␈clusiv␈α␈e␈α∞or"␈α
operation␈α∞found␈α
on␈α∞nearly␈α
all
␈β∞B␈↓ ↓H␈εαbinary␈απcomputers␈αλ(cf.␈αλex␈α␈ercise␈απ2.5↑28␈αλand␈αλSection␈αλ7.1);␈α	it␈απchanges␈αλeach␈αλbit␈απposition
␈β∞n␈↓ ↓H␈εαin␈αwhich␈αlocation␈↓ β←␈ε∃A␈↓ β␈␈εαhas␈αa␈α\1"␈αbit.␈αThe␈αvalue␈αin␈αlocation␈↓ λ6␈ε∃A␈↓ λV␈εαis␈αthe␈αbinary␈αconstan␈α␈t
␈β∂∀␈↓ βz␈εk␈↓ ∧s␈εk␈↓ ¬↓␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂→␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελa␈↓ ↓y␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α)␈ελa␈↓ αH␈εα)␈↓ αc␈εα,␈α∂where␈↓ βg␈ελx␈↓ ∧∪␈ε⊗␈␈↓ ∧A␈ελa␈↓ ∧`␈ελx␈↓ ¬6␈ε⊗␈␈↓ ¬d␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε_␈ε⊗␈␈↓ εF␈ελa␈↓ εu␈εαis␈α∂a␈α∞primitiv␈α␈e␈α∂polynomial␈α∂modulo␈α∂2
␈β∂&␈↓ ↓d␈ε¬1␈↓ α:␈εk␈↓ αT␈ε¬2␈↓ ∧Q␈ε¬1␈↓ εW␈εk
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαas␈α
abo␈α␈v␈α␈e.␈α⊃After␈α
the␈α
code␈α∞(10)␈α
has␈α∞been␈α
ex␈α␈ecuted,␈α∞the␈α∞next␈α
bit␈α∞of␈α
the␈α
generated
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαsequence␈α	may␈α	be␈α	tak␈α␈en␈α	as␈α
the␈α	least␈α	signi|can␈α␈t␈α	bit␈α
of␈↓ πn␈ε∃X␈↓ λ␈εα(or,␈α	alternativ␈α␈ely,␈α
w␈α␈e␈α	could
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαconsisten␈α␈tly␈α	use␈α
the␈α	most␈α	signi|can␈α␈t␈α
bit␈α	of␈↓ ε\␈ε∃X␈↓ εp␈εα,␈α
if␈α
it␈α	w␈α␈ere␈α
more␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈α	do␈α	so).
␈β⊂F␈↓ α␈εαFor␈α∞example,␈α∞consider␈α∞Fig.␈α⊃1,␈α∞which␈α∞illustrates␈α∞the␈α∞sequence␈α∞generated␈α
for
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓c␈εα=␈α
4␈α
and␈↓ αq␈ε∃CON␈α␈TENT␈α␈S(A␈α␈)␈↓ ∧←␈εα=␈α
(0011␈↓ ¬a␈εα)␈↓ ¬{␈εα.␈αThis␈α
is,␈α
of␈α
course,␈αan␈α	un␈α␈usually␈α
small␈α
value
␈β⊂}␈↓ ¬m␈ε¬2
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ ↓}␈ελk␈↓ α⊂␈εα.␈αThe␈α
righ␈α␈t-hand␈αcolumn␈α
sho␈α␈ws␈α
the␈α
sequence␈αof␈α
bits␈α
of␈αthe␈α
sequence,␈α
namely
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα30␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βαH␈↓ α_␈ε∧10␈α↓11
␈βαi␈↓ α_␈ε∧01␈α↓01
␈ββ	␈↓ α_␈ε∧10␈α↓10
␈ββ)␈↓ α_␈ε∧01␈α↓11
␈ββJ␈↓ α_␈ε∧11␈α↓10
␈ββj␈↓ α_␈ε∧11␈α↓11
␈β∧␈↓ α_␈ε∧11␈α↓01
␈β∧+␈↓ α_␈ε∧10␈α↓01
␈β∧K␈↓ α_␈ε∧00␈α↓01
␈β∧l␈↓ α_␈ε∧00␈α↓10
␈β¬␈↓ α_␈ε∧01␈α↓00
␈β¬-␈↓ α_␈ε∧10␈α↓00
␈β¬@␈↓ 	A␈ε∃X
␈β¬C␈↓ β↑␈ε∪Fig.␈α1.␈εβ␈α~S␈α␈ucce␈α␈ssiv␈α␈e␈αcon␈α}ten␈α␈t␈α␈s␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αcomp␈α␈ute␈α␈r␈αw␈α␈or␈α␈d␈↓ 	a␈εβi␈α↓n␈α
the␈αbin␈α␈ary
␈β¬M␈↓ α_␈ε∧00␈α↓11
␈β¬k␈↓ πX␈ε∃CON␈α␈TEN␈α␈TS(A␈α␈)
␈β¬m␈↓ α_␈ε∧01␈α↓10
␈β¬n␈↓ β↑␈εβm␈α␈etho␈α␈d,␈αassu␈α␈ming␈α
that␈↓ ε8␈ε	k␈↓ εQ␈εβ=␈α
4␈α
and␈↓ 	E␈εβ=␈α
(0␈α␈011␈↓ 
=␈εβ)␈↓ 
U␈εβ.
␈β¬y␈↓ 
I␈εε2
␈βε∞␈↓ α_␈ε∧11␈α↓00
␈βε.␈↓ α_␈ε∧10␈α↓11
␈βπ&␈↓ λ~␈εk
␈βπ+␈↓ ↓H␈εα1101011110001001␈↓ βn␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧≡␈εα,␈α	repeating␈αλin␈α	a␈αλperiod␈α	of␈αλlength␈↓ λλ␈εα2␈↓ λ,␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈α
=␈α
15.␈αThis␈αλsequence
␈βπW␈↓ ↓H␈εαis␈α	quite␈α	random,␈α	considering␈α	that␈α	it␈α	was␈α	generated␈α	with␈α	only␈α	four␈α	bits␈α	of␈αλmemory;
␈βλα␈↓ ↓H␈εαto␈α	see␈α
this,␈α
consider␈α
the␈α
adjacen␈α␈t␈α
sets␈α
of␈α	four␈α
bits␈α
occurring␈α
in␈α	the␈α
period,␈α
namely
␈βλ-␈↓ ↓H␈εα1101,␈α∂1010,␈α⊂0101,␈α∂1011,␈α⊂0111,␈α∂1111,␈α⊂1110,␈α⊂1100,␈α∂1000,␈α⊂0001,␈α∂0010,␈α⊂0100,␈α∂1001,
␈βλX␈↓ ↓H␈εα0011,␈α0110.␈α∞In␈αgeneral,␈α
ev␈α␈ery␈αpossible␈αadjacen␈α␈t␈α
set␈αof␈↓ λ∃␈ελk␈↓ λ3␈εαbits␈α
occurs␈αexactly␈αonce
␈βλ}␈↓ 	u␈εk
␈β	β␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αperiod,␈αex␈α␈cept␈αthe␈αset␈αof␈αall␈αzeros,␈αsince␈αthe␈αperiod␈αlength␈αis␈↓ 	c␈εα2␈↓ 
␈ε⊗␈␈εα␈αλ1;␈αth␈α␈us,
␈β	/␈↓ ↓H␈εαadjacen␈α␈t␈α∞sets␈α∞of␈↓ βO␈ελk␈↓ βn␈εαbits␈α∞are␈α∞essen␈α␈tially␈α∞independen␈α␈t.␈α∩We␈α∞shall␈α∞see␈α∞in␈α∞Section␈α∞3.5
␈β	Z␈↓ ↓H␈εαthat␈α
this␈α∞is␈α∞a␈α∞v␈α␈ery␈α∞strong␈α
criterion␈α∞for␈α∞randomness␈α∞when␈↓ λY␈ελk␈↓ λx␈εαis,␈α∂say,␈α∞30␈α∞or␈α
more.
␈β
¬␈↓ ↓H␈εαTheoretical␈α
results␈α
illustrating␈α
the␈α
randomness␈α
of␈α
this␈α
sequence␈α
are␈α
giv␈α␈en␈α
in␈α
an
␈β
0␈↓ ↓H␈εαarticle␈αby␈αR.␈αC.␈αTausw␈α␈orthe,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α19␈εα␈α(1965),␈α201↑209.
␈β
]␈↓ α␈εαPrimitiv␈α␈e␈αpolynomials␈αof␈α
degree␈ε⊗␈α∀␈εα␈α
100␈αmodulo␈α2␈α
hav␈α␈e␈αbeen␈αtabulated␈αby␈α
E.
␈βλ␈↓ ↓H␈εαJ.␈αWatson,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α16␈εα␈α(1962),␈α368↑369.␈αWhen␈↓ λ␈ελk␈↓ λ≠␈εα=␈α
35,␈αw␈α␈e␈αmay␈αtak␈α␈e
␈βb␈↓ αY␈ε∃CO␈α␈NTE␈α␈NTS(␈α␈A)␈↓ ∧G␈εα=␈α
(00000000000000000000000000000000101␈↓ 	w␈εα)␈↓ 
⊃␈εα,
␈βp␈↓ 
β␈ε¬2
␈β=␈↓ ↓H␈εαbut␈α∪the␈α∪considerations␈α∪of␈α∀ex␈α␈ercises␈α∪18␈α∪and␈α∪3.3.4↑26␈α∀imply␈α∪that␈α∪it␈α∪w␈α␈ould␈α∪be
␈βh␈↓ ↓H␈εαpreferable␈α
to␈α∞|nd␈α
essen␈α␈tially␈α∞\random"␈α
constan␈α␈ts␈α∞that␈α
de|ne␈α∞primitiv␈α␈e␈α
polyno-
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαmials␈αmodulo␈α2.
␈β
@␈↓ α␈ε∂Caution:␈εα␈αSev␈α␈eral␈αpeople␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αtrapped␈αin␈α␈to␈αbelieving␈αthat␈αthis␈α
random-
␈β
k␈↓ ↓H␈εαbit-generation␈α
technique␈α∞can␈α∞be␈α∞used␈α
to␈α∞generate␈α∞random␈α∞whole-w␈α␈ord␈α
fractions
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈εα(.␈↓ ↓↑␈ελX␈↓ α¬␈ελX␈↓ α2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αb␈ελX␈↓ β5␈εα)␈↓ βP␈εα,␈α∞(.␈↓ β}␈ελX␈↓ ∧&␈ελX␈↓ ∧␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬/␈ελX␈↓ ε⊂␈εα)␈↓ ε*␈εα,␈↓ εC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εs␈εα;␈α∂but␈α∂it␈α∞is␈α∞actually␈α∂a␈α∞poor␈α∞source␈α∞of
␈β∞#␈↓ ↓w␈ε¬0␈↓ α≡␈ε¬1␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε→␈␈ε¬1␈↓ βA␈ε¬2␈↓ ∧↔␈εk␈↓ ∧?␈εk␈↓ ∧M␈ε¬+1␈↓ ¬H␈ε¬2␈↓ ¬V␈εk␈↓ ¬e␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε≤␈ε¬2
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαrandom␈α⊃fractions,␈α∩ev␈α␈en␈α⊃though␈α⊃the␈α∩bits␈α⊃are␈α⊃individually␈α⊃quite␈α⊃random.␈α"(See
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α18.)
␈β∂→␈↓ α␈εαThe␈αλconcept␈απof␈αλprimitiv␈α␈e␈απpolynomial␈αλmodulo␈αλ2␈απis␈αλwhat␈απunderlies␈αλthe␈απMitchell↑
␈β∂?␈↓ ∧!␈ε¬55␈↓ ∧⎇␈ε¬24
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαMoore␈α	generator␈α	(7);␈↓ ∧∞␈ελx␈↓ ∧B␈εα+␈↓ ∧j␈ελx␈↓ ¬≡␈εα+␈α∧1␈α	is␈α	primitiv␈α␈e,␈α
and␈α	Table␈α	1␈α	is␈α	essen␈α␈tially␈α	a␈α	listing
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαof␈αall␈αthe␈αprimitiv␈α␈e␈αtrinomials␈αmodulo␈α2.␈αA␈αgenerator␈αalmost␈αiden␈α␈tical␈αto␈αthat␈αof
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαMitchell␈α
and␈α∞Moore␈α∞was␈α
independen␈α␈tly␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered␈α∞in␈α
1971␈α∞by␈α
T.␈α∞G.␈α∞Lewis␈α
and
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαW.␈αH.␈αPayne␈α[cf.␈ε∂␈αJA␈α␈CM␈ε∩␈α20␈εα␈α(1973),␈α456↑468],␈αbut␈αusing␈α\ex␈α␈clusiv␈α␈e␈αor"␈αinstead␈αof
␈β⊂l␈↓ ε≡␈ε¬5␈α↓5
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαaddition␈α	so␈α
that␈α	the␈α
period␈α	is␈α
exactly␈↓ ε␈εα2␈↓ ε@␈ε⊗␈␈εα␈α∧1;␈αeach␈α	bit␈α
position␈α	in␈α
their␈α	generated
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈α	runs␈α	through␈α	the␈α	same␈α
periodic␈α	sequence,␈α
but␈α	has␈α	its␈α	o␈α␈wn␈α	starting␈α	poin␈α␈t.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ λBOTH␈α␈ER␈α	METH␈α␈ODS␈↓ λ␈εα31
␈βα#␈↓ 
T␈εk
␈βα(␈↓ α␈εαWe␈α∂hav␈α␈e␈α∞no␈α␈w␈α∂seen␈α∂that␈α∞sequences␈α∂with␈α∂0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ πa␈ελX␈↓ λ≠␈εα<␈↓ λM␈ελm␈↓ λ{␈εαand␈α∂period␈↓ 
5␈ελm␈↓ 
m␈ε⊗␈␈εα␈α	1
␈βα5␈↓ πz␈εn
␈βαS␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αfound,␈αwhen␈↓ ∧π␈ελX␈↓ ∧>␈εαis␈αa␈αsuitable␈αfunction␈αof␈↓ π=␈ελX␈↓ λ∪␈εα,␈↓ λ#␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λS␈εα,␈↓ λc␈ελX␈↓ 	E␈εαand␈αwhen␈↓ 
i␈ελm␈↓ ∀␈εαis
␈βαa␈↓ ∧ ␈εn␈↓ πV␈εn␈↓ πh␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ|␈εn␈↓ 	∞␈ε→␈␈↓ 	+␈εk
␈βα}␈↓ ↓H␈εαprime.␈αThe␈αhighest␈αconceivable␈αperiod␈αfor␈ε∂␈αan␈α␈y␈εα␈αsequence␈αde|ned␈αby␈αa␈αrelation␈αof
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαthe␈αform
␈ββY␈↓ β↑␈ελX␈↓ ∧∪␈εα=␈↓ ∧A␈ελf␈↓ ∧S␈εα(␈↓ ∧←␈ελX␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εα,␈↓ ε¬␈ελX␈↓ ε[␈εα),␈↓ π?0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ	␈ελX␈↓ λ>␈εα<␈↓ λl␈ελm␈↓ 	␈εα,␈↓ 
p␈εα(11)
␈ββg␈↓ βw␈εn␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬
␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε≡␈εn␈↓ ε0␈ε→␈␈↓ εL␈εk␈↓ λ"␈εn
␈β∧≥␈↓ ∧∞␈εk
␈β∧"␈↓ ↓H␈εαis␈α	easily␈α
seen␈α
to␈α
be␈↓ βo␈ελm␈↓ ∧≥␈εα.␈αM.␈α
H.␈α
Martin␈α	[␈ε∂Bull.␈α
Amer.␈α
Math.␈α
Soc.␈ε∩␈α	40␈εα␈α
(1934),␈α
859↑864]
␈β∧M␈↓ ↓H␈εαwas␈αthe␈α
|rst␈α
person␈α
to␈αsho␈α␈w␈α
that␈α
functions␈α
achieving␈αthis␈α
maxim␈α␈um␈α
period␈αare
␈β∧x␈↓ ↓H␈εαpossible␈αfor␈αall␈↓ β7␈ελm␈↓ βc␈εαand␈↓ ∧(␈ελk␈↓ ∧:␈εα;␈αhis␈αmethod␈αis␈αeasy␈αto␈αstate,␈αbut␈αit␈αis␈αunfortunately␈αnot
␈β¬$␈↓ ↓H␈εαsuitable␈αλfor␈απprogramming␈αλ(see␈αλex␈α␈ercise␈αλ17).␈αFrom␈αλa␈αλcomputational␈αλstandpoin␈α␈t,␈αλthe
␈β¬J␈↓ 	↓␈εk
␈β¬O␈↓ ↓H␈εαsimplest␈α	kno␈α␈wn␈α	functions␈↓ ∧Z␈ελf␈↓ ∧u␈εαthat␈α	yield␈α	the␈α	maxim␈α␈um␈α	period␈↓ λb␈ελm␈↓ 	→␈εαappear␈α	in␈α	ex␈α␈ercise
␈β¬z␈↓ ↓H␈εα21;␈α	the␈απcorresponding␈απprograms␈απare,␈α	in␈απgeneral,␈αλnot␈αλas␈απe}cien␈α␈t␈απfor␈απrandom-n␈α␈um␈α␈ber
␈βε%␈↓ ↓H␈εαgeneration␈αas␈α
other␈αmethods␈α
w␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
described,␈αbut␈α
they␈αdo␈α
giv␈α␈e␈αdemonstrable
␈βεP␈↓ ↓H␈εαrandomness␈αwhen␈αthe␈αperiod␈αas␈αa␈αwhole␈αis␈αconsidered.
␈βπ␈↓ α␈εαAnother␈αλimportan␈α␈t␈αλclass␈αλof␈αλtechniques␈αλdeals␈αλwith␈αλthe␈ε∂␈αλcom␈α␈bination␈εα␈αλof␈αλrandom-
␈βπ7␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αλgenerators,␈α
to␈αλget␈α	\more␈α	random"␈α	sequences.␈αThere␈αλwill␈α	always␈α	be␈αλpeople
␈βπc␈↓ ↓H␈εαwho␈α
feel␈α
that␈αthe␈α
linear␈α
congruen␈α␈tial␈αmethods,␈α
additiv␈α␈e␈αmethods,␈α
etc.,␈αare␈α
all␈α
too
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εαsimple␈α∂to␈α∂giv␈α␈e␈α∂su}cien␈α␈tly␈α∂random␈α⊂sequences;␈α⊂and␈α⊂it␈α∂may␈α∂nev␈α␈er␈α∂be␈α∂possible␈α∂to
␈βλ9␈↓ ↓H␈ε∂pro␈α␈v␈α␈e␈εα␈α	that␈α	their␈α	sk␈α␈epticism␈α	is␈α	unjusti|ed␈α	(although␈α	w␈α␈e␈α	believ␈α␈e␈α	it␈α
is),␈α	so␈α	it␈α	is␈α	pretty
␈βλd␈↓ ↓H␈εαuseless␈αto␈αargue␈αthe␈αpoin␈α␈t.␈αThere␈αare␈αreasonably␈αe}cien␈α␈t␈αmethods␈αfor␈αcom␈α␈bining
␈β	∂␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈α∞sequences␈α∞in␈α␈to␈α∞a␈α∞third␈α∞one␈α∞that␈α∂should␈α∞be␈α∞haphazard␈α∞enough␈α∞to␈α∞satisfy␈α∞all
␈β	;␈↓ ↓H␈εαbut␈αthe␈αmost␈αhardened␈αsk␈α␈eptic.
␈β	g␈↓ α␈εαSuppose␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
sequences␈↓ ¬⎇␈ελX␈↓ ε%␈εα,␈↓ ε5␈ελX␈↓ ε\␈εα,␈↓ εl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π ␈εαand␈↓ πd␈ελY␈↓ λπ␈εα,␈↓ λ↔␈ελY␈↓ λ;␈εα,␈↓ λK␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈␈εαof␈α
random␈α	n␈α␈um␈α␈bers
␈β	u␈↓ ε⊗␈ε¬0␈↓ εN␈ε¬1␈↓ πy␈ε¬0␈↓ λ,␈ε¬1
␈β
∩␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α⊂0␈α⊂and␈↓ βB␈ελm␈↓ βm␈ε⊗␈␈εα␈α1,␈α⊃preferably␈α⊂generated␈α⊂by␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊃unrelated␈α⊂methods.␈α_One
␈β
>␈↓ ↓H␈εαsuggestion␈α
has␈αbeen␈αto␈αadd␈αthem␈αtogether,␈αmod␈↓ π6␈ελm␈↓ πV␈εα,␈αobtaining␈αthe␈αsequence␈↓ 
Z␈ελZ␈↓ λ␈εα=
␈β
K␈↓ 
m␈εn
␈β
i␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελX␈↓ αε␈εα+␈↓ α1␈ελY␈↓ αX␈εα)␈↓ αj␈εαmod␈↓ β4␈ελm␈↓ βS␈εα;␈αin␈αthis␈αcase,␈αthe␈αperiod␈αwill␈αbe␈αquite␈αlong␈αif␈αthe␈αperiod␈αlengths
␈β
v␈↓ ↓m␈εn␈↓ αF␈εn
␈β∀␈↓ ↓H␈εαof␈ε⊗␈αh␈↓ ↓⎇␈ελX␈↓ α(␈ε⊗i␈εα␈αand␈ε⊗␈αh␈↓ β⊃␈ελY␈↓ β8␈ε⊗i␈εα␈αare␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αto␈αeach␈αother␈α(see␈αex␈α␈ercises␈α13␈αand␈α3.2.1.2↑
␈β!␈↓ α⊗␈εn␈↓ β&␈εn
␈β?␈↓ ↓H␈εα4).␈αAnother␈αapproach,␈αbased␈αon␈αcircular␈αshifting␈αand␈α\ex␈α␈clusiv␈α␈e␈αor"␈αon␈αa␈αbinary
␈βj␈↓ ↓H␈εαcomputer,␈αhas␈αbeen␈αsuggested␈αby␈αW.␈αJ.␈αWestlak␈α␈e,␈ε∂␈αJA␈α␈CM␈ε∩␈α14␈εα␈α(1967),␈α337↑340.
␈β↔␈↓ α␈εαA␈α⊂considerably␈α⊂di{eren␈α␈t␈α⊂method␈α⊃has␈α⊂been␈α⊂suggested␈α⊂by␈α⊂M.␈α⊂D.␈α⊂MacLaren
␈βB␈↓ ↓H␈εαand␈αG.␈αMarsaglia␈α[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α12␈εα␈α(1965),␈α83↑89;␈ε∂␈αCA␈α␈CM␈ε∩␈α11␈εα␈α(1968),␈α759],␈αwho␈αuse␈αone
␈βm␈↓ ↓H␈εαrandom␈αsequence␈αto␈αperm␈α␈ute␈αthe␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αanother:
␈β
8␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α⊂M␈εα␈α∂(␈ε∂Randomizing␈α⊂by␈α⊂sh␈α␈u␈␈ing␈↓ εN␈εα)␈ε∩.␈εα␈α Giv␈α␈en␈α⊂methods␈α⊂for␈α⊂generating␈α∂t␈α␈w␈α␈o
␈β
d␈↓ ↓H␈εαsequences␈ε⊗␈α
h␈↓ αw␈ελX␈↓ β"␈ε⊗i␈εα␈α
and␈ε⊗␈α∞h␈↓ ∧∂␈ελY␈↓ ∧6␈ε⊗i␈εα,␈α∞this␈α
algorithm␈α∞will␈α
successiv␈α␈ely␈α∞output␈α
the␈α∞terms␈α
of␈α
a
␈β
q␈↓ β⊂␈εn␈↓ ∧$␈εn
␈β∞∂␈↓ ↓H␈εα\considerably␈α⊂more␈α⊂random"␈α⊂sequence.␈α→We␈α⊂use␈α⊂an␈α⊂auxiliary␈α⊂table␈↓ 
π␈ελV␈↓ 
!␈εα[0],␈↓ 
b␈ελV␈↓ 
|␈εα[1],
␈β∞:␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α⊃␈ελV␈↓ α+␈εα[␈↓ α5␈ελk␈↓ αQ␈ε⊗␈␈εα␈α
1],␈α⊂where␈↓ ∧ ␈ελk␈↓ ∧@␈εαis␈α∂some␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂chosen␈α∂for␈α∂con␈α␈v␈α␈enience,␈α⊂usually␈α∂in␈α∞the
␈β∞e␈↓ ↓H␈εαneigh␈α␈borhood␈αof␈α100.␈αInitially,␈αthe␈↓ ¬n␈ελV␈↓ ελ␈εα-table␈αis␈α|lled␈αwith␈αthe␈α|rst␈↓ 	D␈ελk␈↓ 	b␈εαvalues␈αof␈αthe
␈β∂⊂␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓f␈εα-sequence.
␈β∂L␈↓ ↓D␈ε∩M1.␈↓ α␈εα[Generate␈↓ β0␈ελX␈↓ βN␈εα,␈↓ β↑␈ελY␈↓ βy␈εα.]␈α~Set␈↓ ∧e␈ελX␈↓ ¬∂␈εαand␈↓ ¬U␈ελY␈↓ ¬|␈εαequal␈αto␈α
the␈αnext␈αmem␈α␈bers␈αof␈αthe␈αsequences
␈β∂w␈↓ α␈ε⊗h␈↓ α_␈ελX␈↓ αC␈ε⊗i␈εα␈αand␈ε⊗␈αh␈↓ β-␈ελY␈↓ βT␈ε⊗i␈εα,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈β⊂¬␈↓ α1␈εn␈↓ βB␈εn
␈β⊂3␈↓ ↓D␈ε∩M2.␈↓ α␈εα[Extract␈↓ β→␈ελj␈↓ β*␈εα.]␈α↔Set␈↓ ∧∩␈ελj␈↓ ∧-␈ε⊗ ␈α
b␈↓ ∧i␈ελk␈↓ ∧{␈ελY␈↓ ¬∃␈εα/␈↓ ¬'␈ελm␈↓ ¬G␈ε⊗c␈εα,␈αwhere␈↓ εR␈ελm␈↓ ε⎇␈εαis␈αthe␈αmodulus␈αused␈αin␈αthe␈αsequence
␈β⊂↑␈↓ α␈ε⊗h␈↓ α_␈ελY␈↓ α?␈ε⊗i␈εα;␈αthat␈αis,␈↓ β]␈ελj␈↓ βy␈εαis␈αa␈αrandom␈αvalue,␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εs␈ελj␈↓ π∞␈εα<␈↓ π<␈ελk␈↓ πM␈εα,␈αdetermined␈αby␈↓ 	S␈ελY␈↓ 	n␈εα.
␈β⊂l␈↓ α-␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓D␈ε∩M3.␈↓ α␈εα[Ex␈α␈change.]␈α→Output␈↓ ∧Z␈ελV␈↓ ∧t␈εα[␈↓ ∧}␈ελj␈↓ ¬∂␈εα]␈αand␈αthen␈αset␈↓ εu␈ελV␈↓ π∞␈εα[␈↓ π_␈ελj␈↓ π)␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈↓ πk␈ελX␈↓ λ	␈εα.
␈β⊃∨␈↓ λ:␈∧⊃∨λ:≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα32␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα(␈↓ α␈εαAs␈α∂an␈α∂example,␈α∂assume␈α∂that␈α∂Algorithm␈α∂M␈α∂is␈α∂applied␈α∂to␈α∂the␈α∂follo␈α␈wing␈α∞t␈α␈w␈α␈o
␈βαS␈↓ ↓H␈εαsequences,␈αwith␈↓ βF␈ελk␈↓ βa␈εα=␈α
64:
␈ββ≠␈↓ 	|␈ε¬35
␈ββ!␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓y␈εα=␈α
5772156649,␈↓ ∧-␈ελX␈↓ ¬
␈εα=␈α
(3141592653␈↓ ε{␈ελX␈↓ π.␈εα+␈αλ2718281829)␈↓ 	 ␈εαmod␈↓ 	j␈εα2␈↓ 
→␈εα;
␈ββ.␈↓ ↓a␈ε¬0␈↓ ∧F␈εn␈↓ ∧X␈ε¬+1␈↓ π∀␈εn
␈ββ5␈↓ 
p␈εα(12)
␈ββF␈↓ 	t␈ε¬35
␈ββL␈↓ ↓L␈ελY␈↓ ↓y␈εα=␈α
1781072418,␈↓ ∧-␈ελY␈↓ ¬	␈εα=␈α
(2718281829␈↓ εw␈ελY␈↓ π&␈εα+␈αλ3141592653)␈↓ 	_␈εαmod␈↓ 	b␈εα2␈↓ 
⊃␈εα.
␈ββY␈↓ ↓a␈ε¬0␈↓ ∧B␈εn␈↓ ∧T␈ε¬+1␈↓ π␈εn
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈εαOn␈α∞in␈α␈tuitiv␈α␈e␈α∂grounds␈α∞it␈α∂appears␈α∞safe␈α∂to␈α∂predict␈α∞that␈α∂the␈α∞sequence␈α∂obtained␈α∞by
␈β∧A␈↓ ↓H␈εαapplying␈α
Algorithm␈α
M␈α∞will␈α
satisfy␈α
virtually␈ε∂␈α∞an␈α␈y␈α␈one's␈εα␈α
requiremen␈α␈ts␈α
for␈α
random-
␈β∧l␈↓ ↓H␈εαness␈α
in␈αa␈α
computer-generated␈αsequence,␈α
because␈αthe␈α
relationship␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
nearby
␈β¬_␈↓ ↓H␈εαterms␈αof␈αthe␈αoutput␈αhas␈αbeen␈αalmost␈αen␈α␈tirely␈αobliterated.␈αFurthermore,␈αthe␈αtime
␈β¬C␈↓ ↓H␈εαrequired␈αto␈α
generate␈αthis␈α
sequence␈αis␈α
only␈αsligh␈α␈tly␈α
more␈αthan␈αt␈α␈wice␈α
as␈αlong␈α
as␈αit
␈β¬n␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈es␈αto␈αgenerate␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ¬?␈ελX␈↓ ¬j␈ε⊗i␈εα␈αalone.
␈β¬{␈↓ ¬X␈εn
␈βε→␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α	15␈αλpro␈α␈v␈α␈es␈α	that␈α	the␈α	period␈αλlength␈α	of␈α	Algorithm␈α	M's␈αλoutput␈α	will␈α	be␈αλthe
␈βεD␈↓ ↓H␈εαleast␈αcommon␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈αperiod␈αlengths␈αof␈ε⊗␈αh␈↓ π9␈ελX␈↓ πd␈ε⊗i␈εα␈αand␈ε⊗␈αh␈↓ λL␈ελY␈↓ λs␈ε⊗i␈εα,␈αin␈αmost␈αsituations
␈βεR␈↓ πR␈εn␈↓ λa␈εn
␈βεp␈↓ ↓H␈εαof␈α	practical␈α	in␈α␈terest.␈αIn␈α	particular,␈α
the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α	example␈α	will␈α	hav␈α␈e␈α	a␈α	period␈α	of␈α	length
␈βπ⊗␈↓ ↓Z␈ε¬35
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εα2␈↓ ↓v␈εα.
␈βπF␈↓ α␈εαHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthere␈α
is␈αan␈αev␈α␈en␈α
better␈αway␈αto␈α
sh␈α␈u␈␈e␈αthe␈αelemen␈α␈ts␈α
of␈αa␈αsequence,
␈βπq␈↓ ↓H␈εαdisco␈α␈v␈α␈ered␈α∞by␈α∞Carter␈α∞Bays␈α∞and␈α∞S.␈α∞D.␈α∞Durham␈α∞[␈ε∂A␈α␈CM␈α∞Trans.␈α∞Math.␈α∞Soft␈α␈ware␈ε∩␈α∞2
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εα(1976),␈α59-64].␈αTheir␈αapproach,␈αalthough␈αit␈αappears␈αto␈αbe␈αsuper|cially␈αsimilar␈αto
␈βλH␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
M␈↓ β∃␈εα,␈α∞can␈α
giv␈α␈e␈α∞surprisingly␈α
better␈α∞performance␈α
ev␈α␈en␈α∞though␈α
it␈α
requires
␈βλs␈↓ ↓H␈εαonly␈αone␈αinput␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ∧Z␈ελX␈↓ ¬¬␈ε⊗i␈εα␈αinstead␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o:
␈β	␈↓ ∧s␈εn
␈β	0␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
B␈εα␈α
(␈ε∂Randomizing␈α
by␈α
sh␈α␈u␈␈ing␈↓ ε;␈εα)␈ε∩.␈εα␈α≠Giv␈α␈en␈α
a␈α∞method␈α
for␈α
generating␈α
a␈α
se-
␈β	[␈↓ ↓H␈εαquence␈ε⊗␈α
h␈↓ αH␈ελX␈↓ αs␈ε⊗i␈εα,␈α
this␈αalgorithm␈α
will␈α
successiv␈α␈ely␈α
output␈αthe␈α
terms␈α
of␈α
a␈α
\considerably
␈β	i␈↓ αa␈εn
␈β
ε␈↓ ↓H␈εαmore␈α∂random"␈α⊂sequence,␈α⊃using␈α∂an␈α⊂auxiliary␈α⊂table␈↓ πr␈ελV␈↓ λ␈εα[0],␈↓ λM␈ελV␈↓ λg␈εα[1],␈↓ 	'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	W␈εα,␈↓ 	r␈ελV␈↓ 
␈εα[␈↓ 
⊗␈ελk␈↓ 
2␈ε⊗␈␈εα␈α1]␈α∂as
␈β
2␈↓ ↓H␈εαin␈α
Algorithm␈α∞M␈↓ βA␈εα.␈α∩Initially␈α∞the␈↓ ¬&␈ελV␈↓ ¬@␈εα-table␈α∞is␈α∞|lled␈α∞with␈α∞the␈α∞|rst␈↓ 	π␈ελk␈↓ 	'␈εαvalues␈α∞of␈α∞the␈↓ α␈ελX␈↓  ␈εα-
␈β
]␈↓ ↓H␈εαsequence,␈αand␈αan␈αauxiliary␈αvariable␈↓ ε␈ελY␈↓ ε'␈εαis␈αset␈αequal␈αto␈αthe␈α(␈↓ λW␈ελk␈↓ λp␈εα+␈αλ1)st␈αvalue.
␈β⊃␈↓ ↓L␈ε∩B1.␈↓ α␈εα[Extract␈↓ β→␈ελj␈↓ β*␈εα.]␈α↔Set␈↓ ∧∩␈ελj␈↓ ∧-␈ε⊗ ␈α
b␈↓ ∧i␈ελk␈↓ ∧{␈ελY␈↓ ¬∃␈εα/␈↓ ¬'␈ελm␈↓ ¬G␈ε⊗c␈εα,␈αwhere␈↓ εR␈ελm␈↓ ε⎇␈εαis␈αthe␈αmodulus␈αused␈αin␈αthe␈αsequence
␈β<␈↓ α␈ε⊗h␈↓ α_␈ελX␈↓ αC␈ε⊗i␈εα;␈αthat␈αis,␈↓ βa␈ελj␈↓ β⎇␈εαis␈αa␈αrandom␈αvalue,␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εw␈ελj␈↓ π∩␈εα<␈↓ π@␈ελk␈↓ πQ␈εα,␈αdetermined␈αby␈↓ 	W␈ελY␈↓ 	r␈εα.
␈βJ␈↓ α1␈εn
␈βp␈↓ ↓L␈ε∩B2.␈↓ α␈εα[Ex␈α␈change.]␈α↔Set␈↓ ∧∃␈ελY␈↓ ∧:␈ε⊗ ␈↓ ∧h␈ελV␈↓ ¬α␈εα[␈↓ ¬␈ελj␈↓ ¬≤␈εα],␈αoutput␈↓ ε0␈ελY␈↓ εK␈εα,␈αand␈αthen␈αset␈↓ λ-␈ελV␈↓ λG␈εα[␈↓ λQ␈ελj␈↓ λb␈εα]␈αto␈α
the␈αnext␈αmem␈α␈ber
␈β≤␈↓ α␈εαof␈αthe␈αsequence␈ε⊗␈αh␈↓ ∧∀␈ελX␈↓ ∧?␈ε⊗i␈εα.
␈β!␈↓ ∧⎇␈∧!∧⎇≠∂
␈β)␈↓ ∧-␈εn
␈βY␈↓ α␈εαThe␈α⊃reader␈α⊂is␈α⊂urged␈α⊃to␈α⊂w␈α␈ork␈α⊃ex␈α␈ercise␈α⊂3,␈α∩in␈α⊃order␈α⊂to␈α⊃get␈α⊂a␈α⊂feeling␈α⊃for␈α⊂the
␈β
∧␈↓ ↓H␈εαdi{erence␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αAlgorithms␈αM␈αand␈αB.
␈β
/␈↓ α␈εαOn␈ε∃␈αMIX␈εα␈αw␈α␈e␈αmay␈αimplemen␈α␈t␈αAlgorithm␈αB␈αby␈αtaking␈↓ λ6␈ελk␈↓ λS␈εαequal␈αto␈αthe␈αbyte␈αsize,
␈β
Z␈↓ ↓H␈εαobtaining␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α	simple␈α
generation␈α
scheme␈α	once␈α
the␈α	initialization␈α
has␈α	been
␈β∞ε␈↓ ↓H␈εαdone:
␈β∞!␈↓ β↑␈ε∃L␈α␈D6␈↓ ∧Z␈ε∃Y(␈α␈1:1␈α␈)
␈β∞$␈↓ ε≡␈ε	j␈↓ ε6␈ε↔ ␈↓ εa␈εβh␈α␈i␈α↓g␈α␈h-o␈α␈rder␈αb␈α␈yte␈αo␈α␈f␈↓ λt␈ε	Y␈↓ 	
␈εβ.
␈β∞I␈↓ β↑␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ∧Z␈ε∃X
␈β∞L␈↓ ε≡␈εβrA␈↓ εL␈ε↔ ␈↓ εw␈ε	X␈↓ π≡␈εβ.
␈β∞V␈↓ π∞␈εn
␈β∞p␈↓ β↑␈ε∃I␈α␈NCA␈↓ ∧Z␈ε∃1
␈β∞s␈↓ ε≡␈εβ(cf.␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
3.2.1.1↑␈α␈1)
␈β∂_␈↓ β↑␈ε∃M␈α␈UL␈↓ ∧Z␈ε∃A
␈β∂≠␈↓ ε≡␈εβrX␈↓ εL␈ε↔ ␈↓ εw␈ε	X␈↓ πD␈εβ.
␈β∂&␈↓ π∞␈εn␈↓ π≡␈εε+1
␈β∂-␈↓ 
p␈εα(13)
␈β∂@␈↓ β↑␈ε∃S␈α␈TX␈↓ ∧Z␈ε∃X
␈β∂C␈↓ ε≡␈εβ\␈↓ ε/␈ε	n␈↓ εL␈ε↔ ␈↓ εw␈ε	n␈↓ π∩␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈α↓"
␈β∂g␈↓ β↑␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ∧Z␈ε∃V,␈α␈6
␈β⊂∂␈↓ β↑␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ∧Z␈ε∃Y
␈β⊂∩␈↓ ε≡␈ε	Y␈↓ ε@␈ε↔ ␈↓ εk␈ε	V␈↓ πα␈εβ[␈↓ π␈ε	j␈↓ π≠␈εβ].
␈β⊂6␈↓ β↑␈ε∃S␈α␈TX␈↓ ∧Z␈ε∃V,␈α␈6
␈β⊂9␈↓ ε≡␈ε	V␈↓ ε6␈εβ[␈↓ ε?␈ε	j␈↓ εN␈εβ]␈ε↔␈α
 ␈↓ π␈ε	X␈↓ π3␈εβ.
␈β⊂;␈↓ πa␈∧⊂;πa≠∂
␈β⊂D␈↓ π"␈εn
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈αoutput␈αappears␈αin␈αregister␈αA␈↓ ε⊂␈εα.␈αNote␈αthat␈αAlgorithm␈αB␈αrequires␈αonly␈αfour
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαinstructions␈αof␈αo␈α␈v␈α␈erhead␈αper␈αgenerated␈αn␈α␈um␈α␈ber.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ λBOTH␈α␈ER␈α	METH␈α␈ODS␈↓ λ␈εα33
␈βα&␈↓ α␈εαF.␈αGebhardt␈α[␈ε∂Math.␈αComp.␈ε∩␈α21␈εα␈α(1967),␈α708↑709]␈αfound␈αthat␈αsatisfactory␈αran-
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαdom␈α∞sequences␈α∂w␈α␈ere␈α∞produced␈α∂by␈α∞Algorithm␈α∂M␈α∞ev␈α␈en␈α∂when␈α∞it␈α∂was␈α∞applied␈α∂to␈α∞a
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαsequence␈α∞as␈α∞nonrandom␈α∞as␈α∂the␈α∞Fibonacci␈α∞sequence,␈α∂with␈↓ λV␈ελX␈↓ 	∂␈εα=␈↓ 	@␈ελF␈↓ 	{␈εαmod␈↓ 
E␈ελm␈↓ 
r␈εαand
␈ββ
␈↓ λo␈εn␈↓ 	T␈ε¬2␈↓ 	c␈εn
␈ββ(␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓{␈εα=␈↓ α,␈ελF␈↓ β⊃␈εαmod␈↓ β[␈ελm␈↓ β{␈εα.␈α⊃Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
it␈α∞is␈α∞also␈α
possible␈α∞for␈α
Algorithm␈α∞M␈α
to␈α∞produce␈α
a
␈ββ5␈↓ ↓]␈εn␈↓ α@␈ε¬2␈↓ αN␈εn␈↓ α`␈ε¬+1
␈ββS␈↓ ↓H␈εαsequence␈ε∂␈α
less␈εα␈α
random␈α
than␈α
the␈α
original␈α
sequences,␈α
if␈ε⊗␈α
h␈↓ λ_␈ελX␈↓ λC␈ε⊗i␈εα␈α
and␈ε⊗␈α
h␈↓ 	/␈ελY␈↓ 	V␈ε⊗i␈εα␈α
are␈α
strongly
␈ββ`␈↓ λ1␈εn␈↓ 	D␈εn
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαrelated,␈αλas␈αλsho␈α␈wn␈απin␈αλex␈α␈ercise␈απ3.␈αSuch␈απproblems␈απdo␈αλnot␈απseem␈αλto␈απarise␈αλwith␈απAlgorithm
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαB␈↓ ↓`␈εα.␈αSince␈α
Algorithm␈αB␈α
w␈α␈on't␈α
mak␈α␈e␈αa␈α
sequence␈α
an␈α␈y␈αless␈α
random,␈αand␈α
since␈α
it␈α
prob-
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαably␈α
enhances␈αthe␈αrandomness␈α
substan␈α␈tially␈αwith␈αv␈α␈ery␈αlittle␈α
extra␈αcost,␈αit␈αcan␈α
be
␈β¬␈↓ ↓H␈εαrecommended␈αfor␈αuse␈αin␈αcom␈α␈bination␈αwith␈αan␈α␈y␈αother␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈αgenerator.
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βε0␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε4␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	12␈↓ α;␈εβ]␈α⊗In␈α	pra␈α␈ctice,␈α
w␈α␈e␈α	form␈α	ran␈α␈do␈α␈m␈α
n␈α}um␈α}bers␈α	usin␈α␈g␈↓ πU␈ε	X␈↓ λ,␈εβ=␈α	(␈↓ λa␈ε	a␈↓ λr␈ε	X␈↓ 	≡␈εβ+␈↓ 	E␈ε	c␈↓ 	R␈εβ)␈↓ 	c␈εβm␈α␈od␈↓ 
'␈ε	m␈↓ 
D␈εβ,␈α
where
␈βε?␈↓ πl␈εn␈↓ π⎇␈εε+1␈↓ 		␈εn
␈βε\␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α␈ε	X␈↓ α≠␈εβ'␈α↓s␈α
a␈α␈re␈ε⊂␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈εβ,␈α
afterwar␈α␈ds␈α
trea␈α␈ting␈α
th␈α␈em␈α
a␈α␈s␈α
the␈ε⊂␈α	f␈α↓ra␈α␈ction␈α␈s␈↓ λQ␈ε	U␈↓ 	␈εβ=␈↓ 	+␈ε	X␈↓ 	R␈εβ/␈↓ 	c␈ε	m␈↓ 
␈εβ.␈αThe␈α	recu␈α␈r-
␈βεf␈↓ λg␈εn␈↓ 	B␈εn
␈βπβ␈↓ ↓H␈εβre␈α␈nce␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈αfo␈α␈r␈↓ βL␈ε	U␈↓ β⎇␈εβis␈αactu␈α␈all␈α↓y
␈βπ∞␈↓ βb␈εn
␈βπ>␈↓ ∧m␈ε	U␈↓ ¬B␈εβ=␈α	(␈↓ ¬w␈ε	a␈↓ ελ␈ε	U␈↓ ε5␈εβ+␈↓ ε]␈ε	c␈↓ εj␈εβ/␈↓ ε{␈ε	m␈↓ π_␈εβ)␈↓ π)␈εβmo␈α␈d␈↓ πm␈εβ1.
␈βπH␈↓ ¬α␈εn␈↓ ¬∩␈εε+␈α↓1␈↓ ε≥␈εn
␈βπx␈↓ ↓H␈εβDiscu␈α␈ss␈α
th␈α␈e␈α
ge␈α␈nera␈α␈tion␈α
o␈α␈f␈α
ran␈α␈do␈α␈m␈α
seq␈α␈uen␈α␈ces␈α
u␈α␈sing␈α	this␈α
relat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈ε⊂␈α
d␈α␈i␈α↓r␈α␈ectly␈εβ,␈α
by␈α	ma␈α␈king␈α	use
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α⎇oa␈α␈ting-p␈α␈oin␈α␈t␈αa␈α␈ri␈α↓th␈α␈metic␈αo␈α␈n␈αth␈α␈e␈αcomp␈α␈ut␈α␈er.
␈βλK␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλO␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗A␈α
go␈α␈od␈α
so␈α␈urce␈α
o␈α␈f␈α∞ra␈α␈nd␈α␈om␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈α
wi␈α↓ll␈α
hav␈α}e␈↓ λ∀␈ε	X␈↓ λn␈εβ<␈↓ 	≤␈ε	X␈↓ 	v␈εβ<␈↓ 
%␈ε	X␈↓ 
Y␈εβab␈α␈ou␈α␈t
␈βλZ␈↓ λ+␈εn␈↓ λ<␈ε~␈␈εε1␈↓ 	3␈εn␈↓ 	D␈εε+1␈↓ 
<␈εn
␈βλw␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne-six␈α␈th␈α
o␈α␈f␈α
the␈α
time␈α␈,␈α∞since␈αeach␈αof␈α
th␈α␈e␈α
six␈αpossib␈α␈l␈α↓e␈αrelativ␈α␈e␈αorde␈α␈rs␈α
of␈↓ 	U␈ε	X␈↓ 
"␈εβ,␈↓ 
9␈ε	X␈↓ 
`␈εβ,␈α∞a␈α␈nd
␈β	↓␈↓ 	l␈εn␈↓ 	|␈ε~␈␈εε1␈↓ 
P␈εn
␈β	≡␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α∨␈εβsho␈α␈uld␈α
be␈α
eq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ly␈α
p␈α␈rob␈α␈able.␈αHo␈α␈w␈α␈e␈α␈v␈α␈er,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α
ord␈α␈ering␈ε⊂␈α
n␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈εβ␈αo␈α␈ccur␈α␈s
␈β	)␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈εε+1
␈β	F␈↓ ↓H␈εβif␈αthe␈α
F␈α↓ib␈α␈ona␈α␈cci␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈α(5)␈αis␈αused␈α␈.
␈β	v␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	23␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(a)␈αWhat␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈α
come␈α␈s␈αfro␈α␈m␈αAlgorith␈α␈m␈αM␈αif
␈β
0␈↓ α
␈ε	X␈↓ α:␈εβ=␈α	0,␈↓ β%␈ε	X␈↓ β{␈εβ=␈α
(5␈↓ ∧B␈ε	X␈↓ ∧p␈εβ+␈αλ3)␈↓ ¬:␈εβmod␈↓ ¬␈␈εβ8,␈↓ εf␈ε	Y␈↓ π⊂␈εβ=␈α	0,␈↓ π{␈ε	Y␈↓ λN␈εβ=␈α	(5␈↓ 	∀␈ε	Y␈↓ 	?␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ 
	␈εβmod␈↓ 
N␈εβ8␈α␈,
␈β
;␈↓ α$␈εε0␈↓ β<␈εn␈↓ βL␈εε+1␈↓ ∧Y␈εn␈↓ εz␈εε0␈↓ λ∞␈εn␈↓ λ∨␈εε+1␈↓ 	'␈εn
␈β
j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	k␈↓ α"␈εβ=␈α
4?␈α→(Note␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αpot␈α␈ency␈α
i␈α↓s␈αt␈α␈w␈α␈o␈α␈,␈αso␈ε↔␈αh␈↓ ε}␈ε	X␈↓ π%␈ε↔i␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α
h␈↓ λλ␈ε	Y␈↓ λ+␈ε↔i␈εβ␈αa␈α␈ren't␈αex␈α␈treme␈α␈l␈α↓y␈α
rand␈α␈om
␈β
u␈↓ π∃␈εn␈↓ λ≠␈εn
␈β∩␈↓ ↓H␈εβto␈α
st␈α␈art␈α
wi␈α↓th␈α␈.)␈α_(b␈α␈)␈αWha␈α␈t␈αh␈α␈ap␈α␈pe␈α␈ns␈α
i␈α↓f␈α
Algorith␈α␈m␈α
B␈αis␈α
app␈α␈li␈α↓e␈α␈d␈α
to␈α
this␈α
same␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈α
h␈↓ 
z␈ε	X␈↓ !␈ε↔i
␈β≤␈↓ ⊃␈εn
␈β9␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α∪␈ε	k␈↓ α-␈εβ=␈α
4␈α␈?
␈βi␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	00␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Wh␈α␈y␈αλis␈α	th␈α␈e␈α	m␈α␈ost␈αλsi␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈αλby␈α␈te␈αλused␈αλin␈αλth␈α␈e␈α	|␈α␈rst␈α	line␈αλof␈αλpro␈α␈gram␈αλ(13␈α␈)␈α↓,␈α	inst␈α␈ead
␈β⊃␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αsome␈αo␈α␈ther␈αb␈α␈yte␈α␈?
␈β=␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βA␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈α∞using␈↓ ∧-␈ε	X␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬∩␈ε	Y␈↓ ¬D␈εβin␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞M␈↓ π-␈εβ,␈α∂in␈α∞ord␈α␈er␈α∞to␈α
i␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}e␈α∞th␈α␈e␈α∞spe␈α␈ed␈α∞o␈α␈f
␈βK␈↓ ∧D␈εn␈↓ ¬&␈εn
␈βh␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ration␈α␈.␈αIs␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈αto␈αAlgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αB?
␈β
∃␈↓ 
r␈ε∃X
␈β
_␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗In␈α∂the␈α∂bin␈α␈ary␈α∂meth␈α␈od␈α∂(1␈α␈0),␈α⊃the␈α∂tex␈α␈t␈α⊂sta␈α␈tes␈α∂that␈α∂the␈α∂lo␈α␈w-ord␈α␈er␈α∂bit␈α⊂o␈α␈f␈↓ ⊗␈εβis
␈β
=␈↓ 	`␈ε∃X
␈β
@␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om,␈αif␈αthe␈αco␈α␈de␈αis␈αp␈α␈erforme␈α␈d␈αrep␈α␈eate␈α␈dly.␈αWh␈α␈y␈αisn␈α␈'␈α↓t␈αth␈α␈e␈αen␈α}tire␈ε⊂␈αw␈α␈ord␈↓ 	␈␈εβrand␈α␈om␈α␈?
␈β
k␈↓ π␈εe
␈β
o␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	full␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
o␈α␈f␈α
leng␈α␈th␈↓ εz␈εβ2␈↓ π∨␈εβ(␈α↓i.e.,␈α
a␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α	in␈α
wh␈α␈ich␈α	each␈α	o␈α␈f␈α
the
␈β∞∪␈↓ ↓X␈εe
␈β∞↔␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓p␈εβpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α
sets␈α
of␈↓ βZ␈ε	e␈↓ βu␈εβa␈α␈djac␈α␈en␈α␈t␈α
bits␈α
oc␈α␈curs␈α
ju␈α␈st␈α∞o␈α␈nce␈α
in␈α
th␈α␈e␈α
per␈α␈i␈α↓o␈α␈d)␈α
may␈αbe␈α
ob␈α␈taine␈α␈d␈α
if
␈β∞?␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rog␈α␈ram␈α(10␈α␈)␈αi␈α↓s␈αch␈α␈an␈α␈ged␈α
to␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g:
␈β∞o␈↓ ¬α␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ¬}␈ε∃X
␈β∂⊗␈↓ ¬α␈ε∃J␈α␈ANZ␈↓ ¬}␈ε∃*+␈α␈2
␈β∂>␈↓ ¬α␈ε∃L␈α␈DA␈↓ ¬}␈ε∃A
␈β∂f␈↓ ¬α␈ε∃A␈α␈DD␈↓ ¬}␈ε∃X
␈β⊂
␈↓ ¬α␈ε∃J␈α␈NOV␈↓ ¬}␈ε∃*+␈α␈3
␈β⊂5␈↓ ¬α␈ε∃J␈α␈AZ␈↓ ¬}␈ε∃*+␈α␈2
␈β⊂\␈↓ ¬α␈ε∃X␈α␈OR␈↓ ¬}␈ε∃A
␈β⊃∧␈↓ ¬α␈ε∃S␈α␈TA␈↓ ¬}␈ε∃X
␈β⊃	␈↓ π_␈∧⊃	π_≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα34␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M39␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈ad␈α␈ratic␈αc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈n␈α␈tial␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈α(3␈α␈)␈αha␈α␈s␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αlen␈α␈gth␈↓ 
o␈ε	m␈↓ _␈εβif
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
only␈α
i␈α↓f␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈re␈αsatis|e␈α␈d:
␈ββ	␈↓ α"␈ε⊂i)␈↓ αB␈ε	c␈↓ αZ␈ε⊂is␈αrelativ␈α}ely␈αprime␈α
to␈↓ ¬∃␈ε	m␈↓ ¬2␈ε⊂;
␈ββ0␈↓ α→␈ε⊂ii)␈↓ αB␈ε	d␈↓ α←␈ε⊂an␈α␈d␈↓ β ␈ε	a␈↓ β8␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε⊂␈αare␈αb␈α␈oth␈α
m␈α␈ultiples␈αo␈α␈f␈↓ ε8␈ε	p␈↓ εI␈ε⊂,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αod␈α␈d␈αp␈α␈rimes␈↓ λk␈ε	p␈↓ 	π␈ε⊂d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈↓ 
λ␈ε	m␈↓ 
&␈ε⊂;
␈ββX␈↓ α⊂␈ε⊂iii)␈↓ αB␈ε	d␈↓ α←␈ε⊂is␈αev␈α␈en␈α␈,␈αand␈↓ ∧↔␈ε	d␈↓ ∧3␈ε↔⊃␈↓ ∧]␈ε	a␈↓ ∧u␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
4)␈ε⊂,␈αi␈α↓f␈↓ π	␈ε	m␈↓ π1␈ε⊂i␈α↓s␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈εβ␈α4␈ε⊂␈α␈;
␈β∧␈↓ αB␈ε	d␈↓ α]␈ε↔⊃␈↓ βλ␈ε	a␈↓ β ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α	(mod␈α␈ulo␈α2␈α␈)␈ε⊂␈α↓,␈αif␈↓ ¬3␈ε	m␈↓ ¬\␈ε⊂is␈αa␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αof␈εβ␈α2␈ε⊂;
␈β∧'␈↓ α⊂␈ε⊂iv␈α␈)␈↓ αB␈ε⊂e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈↓ β ␈ε	d␈↓ β<␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈ε⊂␈αor␈αb␈α␈oth␈↓ ∧x␈ε	a␈↓ ¬∩␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈ε⊂␈α
an␈α␈d␈↓ ε→␈ε	c␈↓ ε&␈ε	d␈↓ εB␈ε↔⊃␈εβ␈α	6␈α	(mod␈α␈ulo␈α9␈α␈)␈ε⊂,␈αif␈↓ λW␈ε	m␈↓ 	␈ε⊂is␈αa␈αm␈α␈u␈α␈ltiple␈αof␈εβ␈α9␈ε⊂.
␈β∧\␈↓ πA␈εε2
␈β∧`␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αTh␈α␈e␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α
by␈↓ ¬∀␈ε	X␈↓ ¬A␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ ε∩␈ε	X␈↓ εi␈εβ=␈↓ π∪␈ε	d␈↓ π&␈ε	X␈↓ πX␈εβ+␈↓ λ↓␈ε	a␈↓ λ⊃␈ε	X␈↓ λ@␈εβ+␈↓ λh␈ε	c␈↓ 	␈εβh␈α␈as␈αp␈α␈eriod␈α
l␈α↓e␈α␈ngth␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β∧k␈↓ ¬+␈εε0␈↓ ε)␈εn␈↓ ε:␈εε+1␈↓ λ(␈εn
␈β∧o␈↓ πA␈εn
␈β¬λ␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α>␈ε	m␈↓ α[␈εβ,␈αo␈α␈nly␈αif␈αits␈αperiod␈α
leng␈α␈th␈αis␈↓ ¬t␈ε	r␈↓ ε∞␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
an␈α}y␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈↓ λ1␈ε	r␈↓ λK␈εβof␈↓ λr␈ε	m␈↓ 	∂␈εβ.]
␈β¬<␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬@␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(R.␈αR.␈α
Co␈α␈v␈α}ey␈α}ou.)␈α≠U␈α↓s␈α␈e␈α
th␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αo␈α␈f␈α
ex␈α}ercise␈α8␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αmod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed
␈β¬d␈↓ π!␈εe␈↓ π+␈ε~␈␈εε␈α↓2
␈β¬h␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓d␈α␈dle-sq␈α␈uar␈α␈e␈αmeth␈α␈od␈α(4␈α␈)␈αh␈α␈as␈αa␈αp␈α␈eriod␈α
of␈αleng␈α␈th␈↓ π⊂␈εβ2␈↓ πQ␈εβ.
␈βε≤␈↓ 	≤␈εe
␈βε ␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
i␈α↓f␈↓ ∧4␈ε	X␈↓ ∧b␈εβand␈↓ ¬"␈ε	X␈↓ ¬Q␈εβa␈α␈re␈α
not␈α
b␈α␈oth␈α
ev␈α}en␈α
an␈α␈d␈α
if␈↓ λ:␈ε	m␈↓ λ`␈εβ=␈↓ 	␈εβ2␈↓ 	&␈εβ,␈αthe␈α
p␈α␈eriod␈α
of␈α
the
␈βε+␈↓ ∧K␈εε0␈↓ ¬:␈εε1
␈βεD␈↓ ∧u␈εe␈↓ ¬␈ε~␈␈εε1
␈βεH␈↓ ↓H␈εβFibo␈α␈na␈α␈cci␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈α(5)␈αis␈α3␈ε↔␈αλ↓␈↓ ∧d␈εβ2␈↓ ¬%␈εβ.
␈βπ↓␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M36␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈αpu␈α␈rpo␈α␈se␈αof␈αth␈α␈is␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈αis␈αto␈αa␈α␈naly␈α␈ze␈αce␈α␈rtain␈αp␈α␈rop␈α␈erties␈αof␈αin␈α}teger␈αse␈α␈-
␈βπ(␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uen␈α␈ces␈αsa␈α␈ti␈α↓s␈α␈f␈α↓y␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αrec␈α␈urren␈α␈ce␈αrelat␈α␈i␈α↓o␈α␈n
␈βπ|␈↓ ∧β␈ε	X␈↓ ∧4␈εβ=␈↓ ∧↑␈ε	a␈↓ ∧z␈ε	X␈↓ ¬O␈εβ+␈↓ ¬x␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε&␈εβ+␈↓ εN␈ε	a␈↓ εk␈ε	X␈↓ π9␈εβ,␈↓ λ⊂␈ε	n␈↓ λ-␈ε↔∃␈↓ λX␈ε	k␈↓ λh␈εβ;
␈βλπ␈↓ ∧~␈εn␈↓ ∧n␈εε1␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬"␈ε~␈␈εε1␈↓ ε↑␈εk␈↓ πα␈εn␈↓ π∪␈ε~␈␈↓ π,␈εk
␈βλL␈↓ 	!␈εe
␈βλP␈↓ ↓H␈εβif␈α
w␈α␈e␈α
ca␈α␈n␈α
c␈α␈alculate␈α	the␈α	period␈α	leng␈α␈th␈α
o␈α␈f␈α
this␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ λ?␈ε	m␈↓ λe␈εβ=␈↓ 	⊂␈ε	p␈↓ 	,␈εβ,␈α
whe␈α␈n␈↓ 
∃␈ε	p␈↓ 
0␈εβis␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,
␈βλx␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
p␈α␈eriod␈α	len␈α␈gth␈α	with␈α	respe␈α␈ct␈α
to␈α	an␈α	a␈α␈rbitrary␈α	mo␈α␈du␈α␈lus␈↓ πg␈ε	m␈↓ λ
␈εβi␈α↓s␈α	the␈α	least␈α	comm␈α␈on␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β	∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αp␈α␈eriod␈αlen␈α␈gth␈α␈s␈αfor␈αthe␈α
prime␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αfact␈α␈ors␈αof␈↓ π@␈ε	m␈↓ π]␈εβ.
␈β	X␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβIf␈↓ α2␈ε	f␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈ε	z␈↓ α[␈εβ),␈↓ β↓␈ε	a␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	z␈↓ β*␈εβ),␈↓ βP␈ε	b␈↓ β]␈εβ(␈↓ βh␈ε	z␈↓ βv␈εβ)␈α⊂are␈α⊂p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α⊃with␈α∂i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α⊂coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈α⊃l␈α↓e␈α␈t␈α⊂us␈α⊂write␈↓ 
E␈ε	a␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	z␈↓ 
n␈εβ)␈ε↔␈α∩⊃
␈β	⎇␈↓ αJ␈εα(␈↓ ∧i␈εα)
␈β
␈↓ α␈ε	b␈↓ α→␈εβ(␈↓ α$␈ε	z␈↓ α2␈εβ)␈↓ αV␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ βL␈ε	f␈↓ β\␈εβ(␈↓ βg␈ε	z␈↓ βu␈εβ)␈↓ ∧␈εβan␈α␈d␈↓ ∧L␈ε	m␈↓ ¬α␈εβif␈↓ ¬#␈ε	a␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε	z␈↓ ¬M␈εβ)␈α=␈↓ ε∩␈ε	b␈↓ ε∨␈εβ(␈↓ ε*␈ε	z␈↓ ε8␈εβ)␈α	+␈↓ εv␈ε	f␈↓ π¬␈εβ(␈↓ π⊃␈ε	z␈↓ π≡␈εβ)␈↓ π)␈ε	u␈↓ π=␈εβ(␈↓ πI␈ε	z␈↓ πV␈εβ)␈α	+␈↓ λ∀␈ε	m␈↓ λ1␈ε	v␈↓ λC␈εβ(␈↓ λN␈ε	z␈↓ λ\␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
some␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β
#␈↓ 
⊃␈εe
␈β
'␈↓ α␈ε	u␈↓ α ␈εβ(␈↓ α+␈ε	z␈↓ α9␈εβ),␈↓ α]␈ε	v␈↓ αn␈εβ(␈↓ αz␈ε	z␈↓ βπ␈εβ)␈α∂wi␈α↓t␈α␈h␈α∂in␈α␈te␈α␈ger␈α∂c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts.␈α⊗P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈α∂wh␈α␈en␈↓ λ%␈ε	f␈↓ λ5␈εβ(0)␈α∂=␈α⊂1␈α∂a␈α␈nd␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
+␈εβ>␈α⊂2,␈α⊂\␈α␈If
␈β
K␈↓ α~␈ε∃␈↓ ¬*␈εe␈↓ ¬k␈ε∃␈↓ λ|␈εe␈↓ 	π␈εε+1␈↓ 
5␈εp␈↓ 
C␈ε∃
␈β
L␈↓ β↔␈εα(␈↓ ¬5␈εα)␈↓ εi␈εα(␈↓ 	,␈εα)
␈β
O␈↓ α␈ε	z␈↓ α>␈ε↔⊃␈εβ␈α∀1␈↓ β#␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ∧~␈ε	f␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	z␈↓ ∧C␈εβ)␈↓ ∧Y␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬→␈ε	p␈↓ ¬A␈εβ,␈↓ ¬↑␈ε	z␈↓ ε∂␈ε↔@⊃␈↓ εD␈εβ1␈↓ εu␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ πk␈ε	f␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε	z␈↓ λ∀␈εβ)␈↓ λ*␈εβan␈α␈d␈↓ λk␈ε	p␈↓ 	8␈εβ,␈α∀th␈α␈en␈↓ 
'␈ε	z␈↓ 
g␈ε↔⊃␈εβ␈α∀1
␈β
r␈↓ ∧∨␈εe␈↓ ∧*␈εε+1␈↓ ∧}␈εp␈↓ ¬␈ε∃␈↓ π|␈εe␈↓ λπ␈εε+2
␈β
s␈↓ α␈εα(␈↓ ∧P␈εα)␈↓ ¬i␈εα(␈↓ λ-␈εα)
␈β
v␈↓ α_␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ β∞␈ε	f␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε	z␈↓ β7␈εβ)␈↓ βM␈εβan␈α␈d␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧\␈εβ,␈↓ ∧p␈ε	z␈↓ ¬%␈ε↔@⊃␈↓ ¬O␈εβ1␈↓ ¬u␈εβmod␈α␈ulo␈↓ εl␈ε	f␈↓ ε{␈εβ(␈↓ πε␈ε	z␈↓ π∀␈εβ)␈↓ π*␈εβand␈↓ πk␈ε	p␈↓ λ9␈εβ."
␈β≤␈↓ ¬M␈εk
␈β ␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	f␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	z␈↓ αr␈εβ)␈α	=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈↓ βq␈ε	a␈↓ ∧∞␈ε	z␈↓ ∧#␈ε↔␈␈↓ ∧K␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧z␈ε↔␈␈↓ ¬"␈ε	a␈↓ ¬?␈ε	z␈↓ ¬Z␈εβ,␈αand␈α
let
␈β*␈↓ ∧↓␈εε1␈↓ ¬2␈εk
␈βn␈↓ λ⊃␈εε2
␈βt␈↓ ∧6␈ε	G␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	z␈↓ ∧g␈εβ)␈α
=␈α	1/␈↓ ¬H␈ε	f␈↓ ¬W␈εβ(␈↓ ¬c␈ε	z␈↓ ¬p␈εβ)␈α
=␈↓ ε/␈ε	A␈↓ εY␈εβ+␈↓ π↓␈ε	A␈↓ π#␈ε	z␈↓ π8␈εβ+␈↓ πa␈ε	A␈↓ λβ␈ε	z␈↓ λ%␈εβ+␈↓ λM␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λz␈εβ.
␈β}␈↓ εE␈εε0␈↓ π⊗␈εε1␈↓ πv␈εε2
␈βG␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	∃␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	m␈↓ β¬␈εβ)␈αd␈α␈en␈α␈ote␈αth␈α␈e␈αp␈α␈eriod␈α
l␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈αo␈α␈f␈ε↔␈αh␈↓ ε<␈ε	A␈↓ εg␈εβm␈α␈od␈↓ π+␈ε	m␈↓ πH␈ε↔i␈εβ.␈αPro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈↓ 	␈ε	∃␈↓ 	∨␈εβ(␈↓ 	*␈ε	m␈↓ 	H␈εβ)␈αis␈αth␈α␈e␈αsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t
␈βR␈↓ εQ␈εn
␈βk␈↓ ¬5␈ε∃
␈βl␈↓ ε∪␈εα(␈↓ λ2␈εα)
␈βo␈↓ α␈εβpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈↓ βu␈ε	∃␈↓ ∧∀␈εβsu␈α␈ch␈αt␈α␈hat␈↓ ¬(␈ε	z␈↓ ¬O␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈↓ ε∨␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π∃␈ε	f␈↓ π%␈εβ(␈↓ π0␈ε	z␈↓ π>␈εβ)␈↓ πT␈εβan␈α␈d␈↓ λ∃␈ε	m␈↓ λ>␈εβ.
␈β
∀␈↓ ∧k␈εe␈↓ ε?␈εe␈↓ π8␈εe␈↓ πC␈εε+1␈↓ 	[␈εe␈↓ 	f␈εε+␈↓ 	␈␈εr␈↓ 
[␈εr␈↓ ↔␈εe
␈β
_␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈α
tha␈α␈t␈↓ β5␈ε	p␈↓ βQ␈εβi␈α↓s␈αp␈α␈rime,␈↓ ∧Z␈ε	p␈↓ ∧␈␈εβ>␈α
2,␈αan␈α␈d␈↓ ε⊂␈ε	∃␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εJ␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ π	␈ε	∃␈↓ π≤␈εβ(␈↓ π(␈ε	p␈↓ πi␈εβ),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ 	+␈ε	∃␈↓ 	?␈εβ(␈↓ 	J␈ε	p␈↓ 
␈εβ)␈α	=␈↓ 
J␈ε	p␈↓ 
g␈ε	∃␈↓ 
{␈εβ(␈↓ ε␈ε	p␈↓ !␈εβ)
␈β
<␈↓ 
Y␈εe
␈β
=␈↓ βu␈εα(
␈β
@␈↓ α␈εβfor␈α
all␈↓ αs␈ε	r␈↓ β∂␈ε↔∃␈εβ␈α
0.␈↓ ∧↓␈εβTh␈α␈u␈α␈s,␈α∂t␈α␈o␈α∞|␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α
period␈α
len␈α␈gth␈α
o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α∞se␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈α
h␈↓ 	Y␈ε	A␈↓ 
∧␈εβmod␈↓ 
I␈εβ2␈↓ 
d␈ε↔i␈εβ,␈α∂w␈α␈e
␈β
J␈↓ 	n␈εn
␈β
g␈↓ α␈εβca␈α␈n␈α⊂c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ βY␈ε	∃␈↓ βm␈εβ(4␈α␈),␈↓ ∧-␈ε	∃␈↓ ∧A␈εβ(8),␈↓ ¬α␈ε	∃␈↓ ¬∃␈εβ(16),␈↓ ¬g␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε≥␈εβun␈α}til␈α⊂w␈α␈e␈α⊂|␈α␈nd␈α∂th␈α␈e␈α⊂sm␈α␈all␈α↓e␈α␈st␈↓ 	/␈ε	e␈↓ 	M␈ε↔∃␈εβ␈α⊃3␈α∂su␈α␈ch␈α∂tha␈α␈t
␈β∞␈↓ α;␈εe␈↓ λB␈εe
␈β∞∂␈↓ α␈ε	∃␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α+␈εβ2␈↓ αF␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈↓ β¬␈ε	∃␈↓ β_␈εβ(4);␈α
then␈α	th␈α␈e␈α
p␈α␈eriod␈α	len␈α␈gth␈α	is␈α
d␈α␈etermin␈α␈ed␈α	mod␈↓ λ2␈εβ2␈↓ λW␈εβfo␈α␈r␈α
all␈↓ 	6␈ε	e␈↓ 	C␈εβ.␈α
E␈α↓x␈α}ercise␈α	4.6.3↑
␈β∞4␈↓ 	M␈εα)
␈β∞7␈↓ α␈εβ26␈α
exp␈α␈lains␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αca␈α␈l␈α↓cu␈α␈late␈↓ ¬3␈ε	X␈↓ ¬e␈εβfor␈αlarge␈↓ εj␈ε	n␈↓ π
␈εβin␈↓ π0␈ε	O␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈εβlog␈↓ λ∧␈ε	n␈↓ λ_␈εβ)␈αop␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.
␈β∞A␈↓ ¬J␈εn
␈β∞`␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈απtha␈α␈t␈αλa␈α␈n␈α␈y␈απse␈α␈que␈α␈nce␈απo␈α␈f␈αλin␈α␈te␈α␈gers␈απsatisfyin␈α␈g␈απthe␈απrec␈α␈urren␈α␈ce␈απstate␈α␈d␈απat␈απthe␈απb␈α␈eginn␈α␈ing
␈β∂π␈↓ α␈εβof␈α	t␈α␈his␈α	ex␈α}ercise␈α	h␈α␈as␈αλthe␈αλgen␈α␈eratin␈α␈g␈α	fu␈α␈nction␈↓ εy␈ε	g␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∀␈ε	z␈↓ π!␈εβ)/␈↓ π=␈ε	f␈↓ πM␈εβ(␈↓ πX␈ε	z␈↓ πf␈εβ),␈α	for␈α	so␈α␈me␈α	p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ 
/␈ε	g␈↓ 
?␈εβ(␈↓ 
J␈ε	z␈↓ 
X␈εβ)␈α	with
␈β∂/␈↓ α␈εβin␈α␈teg␈α␈er␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s.
␈β∂X␈↓ ↓g␈εβe)␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈↓ ¬,␈ε	f␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	z␈↓ ¬U␈εβ)␈αand␈↓ ε.␈ε	g␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	z␈↓ εW␈εβ)␈αi␈α↓n␈αpar␈α␈t␈α
(d␈α␈)␈α
a␈α␈re␈αrelativ␈α␈ely␈αp␈α␈rime␈αmod␈α␈ulo
␈β∂|␈↓ λK␈εe
␈β⊂␈↓ α␈ε	p␈↓ α,␈εβ(cf.␈α∂S␈α␈ection␈α∞4.6.1),␈α⊂p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈α∂the␈α∞sequ␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈α∂h␈↓ πI␈ε	X␈↓ πv␈εβmo␈α␈d␈↓ λ:␈ε	p␈↓ λV␈ε↔i␈εβ␈α∂h␈α␈as␈α∂ex␈α␈actly␈α∞the␈α∞same
␈β⊂
␈↓ π`␈εn
␈β⊂#␈↓ π*␈εe
␈β⊂'␈↓ α␈εβpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αλl␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈α	a␈α␈s␈α	th␈α␈e␈α	sp␈α␈ecial␈αλsequ␈α␈enc␈α␈e␈ε↔␈α	h␈↓ ε*␈ε	A␈↓ εU␈εβmo␈α␈d␈↓ π→␈ε	p␈↓ π5␈ε↔i␈εβ␈α	in␈αλ(b).␈α∪(No␈αλlong␈α␈er␈α	p␈α␈eriod␈αλco␈α␈uld␈αλbe
␈β⊂2␈↓ ε?␈εn
␈β⊂O␈↓ α␈εβob␈α␈taine␈α␈d␈α	by␈ε⊂␈α	a␈α␈n␈α␈y␈εβ␈α	ch␈α␈oice␈α	of␈↓ ¬π␈ε	X␈↓ ¬+␈εβ,␈↓ ¬:␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬f␈εβ,␈↓ ¬u␈ε	X␈↓ ε?␈εβ,␈α
since␈α	th␈α␈e␈α	gen␈α␈eral␈α	sequ␈α␈enc␈α␈e␈α
is␈α	a␈α	l␈α↓in␈α␈ear␈α	com␈α␈-
␈β⊂Z␈↓ ¬≡␈εε0␈↓ ε␈εk␈↓ ε→␈ε~␈␈εε1
␈β⊂w␈↓ α␈εβbin␈α␈ation␈α
o␈α␈f␈α\s␈α␈hifts"␈α
of␈α
the␈α
spe␈α␈cial␈αseq␈α␈ue␈α␈nce.)␈α↔[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t␈α␈:␈εβ␈αB␈α↓y␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈α
4.6.2␈α␈↑22␈α
(Hen␈α␈sel's
␈β⊃~␈↓ 
[␈εe
␈β⊃≡␈↓ α␈εβlemma␈α␈),␈αth␈α␈ere␈αex␈α␈ist␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈αsuch␈α
tha␈α␈t␈↓ ε⎇␈ε	a␈↓ π∞␈εβ(␈↓ π→␈ε	z␈↓ π'␈εβ)␈↓ π2␈ε	f␈↓ πB␈εβ(␈↓ πM␈ε	z␈↓ πZ␈εβ)␈αλ+␈↓ λ⊗␈ε	b␈↓ λ#␈εβ(␈↓ λ.␈ε	z␈↓ λ<␈εβ)␈↓ λG␈ε	g␈↓ λW␈εβ(␈↓ λb␈ε	z␈↓ λo␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
J␈ε	p␈↓ 
e␈εβ).␈α↓]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.2.2␈ε∞␈↓ λBOTH␈α␈ER␈α	METH␈α␈ODS␈↓ λ␈εα35
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Find␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ ∧A␈ε	X␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧y␈ε	X␈↓ ¬≥␈εβ,␈↓ ¬2␈ε	a␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬V␈ε	b␈↓ ¬d␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ ε9␈ε	c␈↓ εQ␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αseq␈α␈uen␈α␈ce
␈βα5␈↓ ∧Y␈εε0␈↓ ¬⊃␈εε1
␈βαt␈↓ πQ␈εe
␈βαz␈↓ β`␈ε	X␈↓ ∧6␈εβ=␈α
(␈↓ ∧l␈ε	a␈↓ ∧|␈ε	X␈↓ ¬+␈εβ+␈↓ ¬T␈ε	b␈↓ ¬a␈ε	X␈↓ ε6␈εβ+␈↓ ε↑␈ε	c␈↓ εk␈εβ)␈↓ ε|␈εβmo␈α␈d␈↓ π@␈εβ2␈↓ π\␈εβ,␈↓ λ3␈ε	n␈↓ λP␈ε↔∃␈εβ␈α	1,
␈ββ¬␈↓ βw␈εn␈↓ ∧π␈εε+1␈↓ ¬∪␈εn␈↓ ¬x␈εn␈↓ ελ␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈ββJ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αλth␈α␈e␈αλlong␈α␈est␈αλpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αλlen␈α␈gth␈απof␈αλall␈α	se␈α␈qu␈α␈ence␈α␈s␈αλof␈αλthis␈αλty␈α␈pe.␈α⊃[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t␈α␈:␈εβ␈α
It␈αλf␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}ws␈α	t␈α␈hat␈↓ 
5␈ε	X␈↓ ␈εβ=
␈ββU␈↓ 
L␈εn␈↓ 
\␈εε+2
␈ββn␈↓ ε5␈εe
␈ββo␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ¬N␈εα)
␈ββr␈↓ ↓T␈εβ(␈↓ ↓←␈ε	a␈↓ ↓w␈εβ+␈απ1)␈↓ α;␈ε	X␈↓ β⊂␈εβ+␈απ(␈↓ βC␈ε	b␈↓ βX␈ε↔␈␈↓ ∧↓␈ε	a␈↓ ∧⊃␈εβ)␈↓ ∧≤␈ε	X␈↓ ∧K␈ε↔␈␈↓ ∧t␈ε	b␈↓ ¬↓␈ε	X␈↓ ¬`␈εβmo␈α␈d␈↓ ε$␈εβ2␈↓ ε@␈εβ;␈αsee␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α1␈α␈1(c).]
␈ββ|␈↓ αR␈εn␈↓ αb␈εε+␈α↓1␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬_␈εn␈↓ ¬(␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∧%␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈ε↔␈αh␈↓ β?␈ε	X␈↓ βg␈ε↔i␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈αh␈↓ ∧J␈ε	Y␈↓ ∧n␈ε↔i␈εβ␈αbe␈αsequ␈α␈en␈α␈ces␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈αm␈α␈od␈↓ λ5␈ε	m␈↓ λ↑␈εβwith␈αperio␈α␈ds␈αof␈αlen␈α␈gth␈α␈s
␈β∧0␈↓ βW␈εn␈↓ ∧]␈εn
␈β∧M␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓s␈εβa␈α␈nd␈↓ α4␈ε	∃␈↓ αS␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αform␈αthe␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈↓ ¬>␈ε	Z␈↓ ¬k␈εβ=␈α
(␈↓ ε"␈ε	X␈↓ εQ␈εβ+␈↓ εz␈ε	Y␈↓ π≡␈εβ)␈↓ π.␈εβmod␈↓ πs␈ε	m␈↓ λ⊂␈εβ.␈α∞S␈α␈ho␈α␈w␈αthat␈αi␈α↓f␈↓ 	i␈ε	∃␈↓ 
∀␈εβa␈α␈nd␈↓ 
U␈ε	∃␈↓ ␈εβare
␈β∧W␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ αG␈εε2␈↓ ¬P␈εn␈↓ ε9␈εn␈↓ π
␈εn␈↓ 	{␈εε1␈↓ 
h␈εε2
␈β∧t␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime,␈αthe␈αse␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈αh␈↓ ¬⊂␈ε	Z␈↓ ¬2␈ε↔i␈εβ␈αh␈α␈as␈αa␈αp␈α␈eriod␈α
of␈αl␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈↓ λ⊃␈ε	∃␈↓ λ0␈ε	∃␈↓ λO␈εβ.
␈β∧␈␈↓ ¬!␈εn␈↓ λ$␈εε1␈↓ λC␈εε2
␈β¬(␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β6␈ε	X␈↓ β]␈εβ,␈↓ βs␈ε	Y␈↓ ∧↔␈εβ,␈↓ ∧-␈ε	Z␈↓ ∧O␈εβ,␈↓ ∧f␈ε	∃␈↓ ¬¬␈εβ,␈↓ ¬≠␈ε	∃␈↓ ¬G␈εβbe␈αas␈α
in␈αth␈α␈e␈α
pr␈α␈eviou␈α␈s␈α
ex␈α}ercise.␈α⊂Su␈α␈pp␈α␈ose␈αtha␈α␈t␈↓ 
`␈ε	∃␈↓ ␈εβ=
␈β¬3␈↓ βM␈εn␈↓ ∧π␈εn␈↓ ∧?␈εn␈↓ ∧x␈εε1␈↓ ¬.␈εε2␈↓ 
s␈εε1
␈β¬K␈↓ ↓X␈εe␈↓ ↓}␈εe␈↓ α%␈εe␈↓ 
∪␈εf␈↓ 
8␈εf␈↓ 
]␈εf
␈β¬P␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓n␈εβ3␈↓ α∀␈εβ5␈↓ α:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αi␈εβi␈α↓s␈αλth␈α␈e␈αλprime␈αλfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλo␈α␈f␈↓ ¬⎇␈ε	∃␈↓ ε≤␈εβ,␈α	an␈α␈d␈αλsimilarly␈αλsu␈α␈pp␈α␈ose␈αλth␈α␈at␈↓ 	0␈ε	∃␈↓ 	X␈εβ=␈↓ 
β␈εβ2␈↓ 
(␈εβ3␈↓ 
L␈εβ5␈↓ 
q␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ #␈εβ.
␈β¬S␈↓ ↓c␈επ2␈↓ α	␈επ3␈↓ α/␈επ5␈↓ 
≤␈επ2␈↓ 
A␈επ3␈↓ 
f␈επ5
␈β¬Z␈↓ ε∂␈εε1␈↓ 	B␈εε2
␈β¬s␈↓ λ←␈εg␈↓ 	¬␈εg␈↓ 	,␈εg
␈β¬w␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ αλ␈ε	g␈↓ α2␈εβ=␈↓ αc␈εβ(␈↓ αn␈εβmax␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	e␈↓ βR␈εβ,␈↓ βa␈ε	f␈↓ βy␈εβ)␈↓ ∧∂␈εβif␈↓ ∧/␈ε	e␈↓ ∧R␈ε↔≤␈↓ ∧|␈ε	f␈↓ ¬∀␈εβ,␈↓ ¬.␈εβoth␈α␈erwise␈↓ εB␈εβ0)␈↓ ε↑␈εβ,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞let␈↓ πo␈ε	∃␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λN␈εβ2␈↓ λu␈εβ3␈↓ 	≤␈εβ5␈↓ 	C␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	u␈εβ.␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈α∞tha␈α␈t
␈β¬{␈↓ λj␈επ2␈↓ 	⊂␈επ3␈↓ 	7␈επ5
␈βεα␈↓ α∃␈εp␈↓ βD␈εp␈↓ βk␈εp␈↓ ∧;␈εp␈↓ ¬ε␈εp␈↓ λ↓␈εε0
␈βε≠␈↓ βa␈ε~0
␈βε∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αperiod␈α
l␈α↓en␈α␈gth␈↓ βN␈ε	∃␈↓ βs␈εβo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈αh␈↓ ¬h␈ε	Z␈↓ ε
␈ε↔i␈εβ␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ λλ␈ε	∃␈↓ λ'␈εβ,␈αbu␈α␈t␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αo␈α␈f␈↓ 
n␈ε	∃␈↓ ␈εβ=
␈βε)␈↓ ¬z␈εn␈↓ λ≠␈εε0
␈βεB␈↓ ∧R␈ε~0
␈βεF␈↓ ↓H␈εβlcm␈↓ ↓{␈εβ(␈↓ απ␈ε	∃␈↓ α&␈εβ,␈↓ α4␈ε	∃␈↓ αT␈εβ).␈αIn␈αp␈α␈articu␈α␈l␈α↓a␈α␈r,␈↓ ∧>␈ε	∃␈↓ ∧a␈εβ=␈↓ ¬␈ε	∃␈↓ ¬+␈εβif␈α(␈↓ ¬U␈ε	e␈↓ ¬x␈ε↔≤␈↓ ε#␈ε	f␈↓ εF␈εβor␈↓ εo␈ε	e␈↓ π∩␈εβ=␈↓ π<␈ε	f␈↓ π↑␈εβ=␈α	0)␈αfor␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈rime␈↓ 

␈ε	p␈↓ 
≡␈εβ.
␈βεQ␈↓ α→␈εε1␈↓ αG␈εε2␈↓ ¬a␈εp␈↓ ε-␈εp␈↓ ε{␈εp␈↓ πF␈εp
␈βεz␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈αh␈↓ ¬β␈ε	X␈↓ ¬+␈ε↔i␈εβ␈αin␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈αM␈αh␈α␈av␈α}e␈αpe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈αl␈α↓en␈α␈gth␈↓ 	O␈ε	∃␈↓ 	n␈εβ,␈αand␈αa␈α␈ssume
␈βπ∧␈↓ ¬≠␈εn␈↓ 	a␈εε1
␈βπ!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αall␈αelemen␈α}ts␈αof␈αi␈α↓t␈α␈s␈αp␈α␈eriod␈α
are␈αdistinc␈α␈t.␈αLet␈↓ εx␈ε	q␈↓ π≡␈εβ=␈↓ πI␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ λ␈ε↔f␈↓ λ⊗␈ε	r␈↓ λ.␈ε↔j␈↓ λA␈ε	r␈↓ λY␈εβ>␈α
0␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α
b␈↓ 	m␈ε	k␈↓ 	}␈ε	Y␈↓ 
G␈εβ/␈↓ 
W␈ε	m␈↓ 
u␈ε↔c␈εβ␈α	=
␈βπ,␈↓ π∧␈εn␈↓ 
⊃␈εn␈↓ 
!␈ε~␈␈↓ 
;␈εr
␈βπF␈↓ ¬↓␈εε1
␈βπI␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈ε	k␈↓ ↓e␈ε	Y␈↓ α	␈εβ/␈↓ α→␈ε	m␈↓ α7␈ε↔c␈↓ αI␈ε↔g␈↓ αZ␈εβ.␈αAssu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ∧-␈ε	q␈↓ ∧S␈εβ<␈↓ ¬∩␈ε	∃␈↓ ¬;␈εβfo␈α␈r␈α
all␈↓ ε~␈ε	n␈↓ ε7␈ε↔∃␈↓ εb␈ε	n␈↓ πα␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈α	h␈↓ 	g␈ε	q␈↓ 
β␈ε↔i␈εβ␈α
h␈α␈as␈α
p␈α␈eriod
␈βπT␈↓ ↓x␈εn␈↓ ∧:␈εn␈↓ ¬$␈εε1␈↓ εu␈εε0␈↓ 	s␈εn
␈βπW␈↓ ¬↓␈∧πW¬↓α
␈βπY␈↓ ¬↓␈εε2
␈βπq␈↓ ↓H␈εβlen␈α␈gth␈↓ α0␈ε	∃␈↓ αO␈εβ.␈α∩L␈α↓e␈α␈t␈↓ β*␈ε	∃␈↓ βK␈εβb␈α␈e␈α
the␈α
least␈α
comm␈α␈on␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α∞o␈α␈f␈↓ π;␈ε	∃␈↓ πh␈εβa␈α␈nd␈↓ λ+␈ε	∃␈↓ λJ␈εβ.␈α∩P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈α∞th␈α␈e␈α
out␈α␈pu␈α␈t
␈βπ{␈↓ αB␈εε2␈↓ πM␈εε1␈↓ λ=␈εε2
␈βλ_␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈ε↔␈αh␈↓ α\␈ε	Z␈↓ α}␈ε↔i␈εβ␈αp␈α␈rod␈α␈uce␈α␈d␈αby␈α
Algorith␈α␈m␈αM␈αh␈α␈as␈αa␈αp␈α␈eriod␈αo␈α␈f␈αl␈α↓en␈α␈gth␈↓ λe␈ε	∃␈↓ λy␈εβ.
␈βλ#␈↓ αm␈εn
␈βλH␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλI␈↓ β0␈ε∃CO␈α␈NTE␈α␈NTS(␈α␈A)
␈βλL␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ ¬≠␈εβin␈απm␈α␈etho␈α␈d␈απ(10␈α␈)␈αλb␈α␈e␈απ(␈↓ π$␈ε	a␈↓ π@␈ε	a␈↓ πb␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ∞␈ε	a␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λJ␈εβin␈απbin␈α␈ary␈απn␈α␈ota␈α␈tion.␈α
S␈α␈ho␈α}w
␈βλV␈↓ π4␈εε1␈↓ πP␈εε2␈↓ λ≡␈εk␈↓ λ6␈εε2
␈βλs␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αgen␈α␈era␈α␈ted␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f␈αlo␈α␈w-o␈α␈rder␈αb␈α␈its␈↓ εd␈ε	X␈↓ πλ␈εβ,␈↓ π≤␈ε	X␈↓ π@␈εβ,␈↓ πU␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λπ␈εβs␈α␈atis|es␈αth␈α␈e␈αrelatio␈α␈n
␈βλ}␈↓ ε|␈εε0␈↓ π4␈εε1
␈β	C␈↓ βU␈ε	X␈↓ ∧ε␈εβ=␈α	(␈↓ ∧<␈ε	a␈↓ ∧X␈ε	X␈↓ ¬,␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	a␈↓ ¬q␈ε	X␈↓ εF␈εβ+␈↓ εn␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π≥␈εβ+␈↓ πE␈ε	a␈↓ πb␈ε	X␈↓ λ0␈εβ)␈↓ λA␈εβm␈α␈od␈↓ 	¬␈εβ2.
␈β	N␈↓ βl␈εn␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ∧o␈εn␈↓ ∧␈␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ελ␈εn␈↓ ε→␈ε~␈␈εε2␈↓ πU␈εk␈↓ πy␈εn␈↓ λ
␈ε~␈␈↓ λ#␈εk
␈β
∪␈↓ ↓H␈εβ[Th␈α␈i␈α↓s␈α
ma␈α␈y␈α
b␈α␈e␈α
rega␈α␈rde␈α␈d␈α
as␈α
a␈α␈noth␈α␈er␈α
way␈α	to␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α
the␈α
s␈α␈equ␈α␈ence␈α␈,␈αalth␈α␈ou␈α␈gh␈α
th␈α␈e␈α
co␈α␈nn␈α␈ection
␈β
;␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
this␈αrelation␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈e␈αe}cien␈α}t␈αcod␈α␈e␈α(10)␈αis␈αno␈α␈t␈αap␈α␈par␈α␈en␈α␈t␈αat␈α|␈α␈rst␈αglan␈α␈ce!]
␈β
n␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M33␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(M.␈α	H.␈α	M␈α␈artin,␈α	19␈α␈34.)␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬w␈ε	m␈↓ ε≥␈εβan␈α␈d␈↓ ε\␈ε	k␈↓ εu␈εβb␈α␈e␈α	po␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈α	in␈α␈te␈α␈gers,␈α	an␈α␈d␈α	let␈↓ 
π␈ε	X␈↓ 
4␈εβ=␈↓ 
↑␈ε	X␈↓ ␈εβ=
␈β
y␈↓ 
≡␈εε1␈↓ 
u␈εε2
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓x␈εβ=␈↓ α$␈ε	X␈↓ αR␈εβ=␈α
0.␈α
Fo␈α␈r␈αall␈↓ ∧∩␈ε	n␈↓ ∧0␈εβ>␈α
0␈α␈,␈αset␈↓ ¬5␈ε	X␈↓ ε∞␈εβeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈αthe␈αlarge␈α␈st␈αn␈α␈onn␈α␈eg␈α␈ativ␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ 
G␈ε	y␈↓ 
d␈εβ<␈↓ ∂␈ε	m
␈β!␈↓ α;␈εk␈↓ ¬L␈εn␈↓ ¬\␈εε+␈↓ ¬u␈εk
␈β>␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈αthe␈↓ β∃␈ε	k␈↓ β%␈εβ-tu␈α␈ple␈α(␈↓ ∧⊂␈ε	X␈↓ ∧]␈εβ,␈↓ ∧l␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬_␈εβ,␈↓ ¬'␈ε	X␈↓ ε≠␈εβ,␈↓ ε*␈ε	y␈↓ ε<␈εβ)␈αha␈α␈s␈αno␈α␈t␈αalread␈α␈y␈αo␈α␈ccu␈α␈rred␈α
i␈α↓n␈α
the␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e;
␈βH␈↓ ∧'␈εn␈↓ ∧7␈εε+␈α↓1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ¬O␈εε+␈↓ ¬h␈εk␈↓ ¬u␈ε~␈␈εε1
␈βe␈↓ ↓H␈εβin␈απoth␈α␈er␈αλw␈α␈o␈α␈rds,␈αλ(␈↓ β0␈ε	X␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧G␈ε	X␈↓ ¬:␈εβ,␈↓ ¬I␈ε	y␈↓ ¬\␈εβ)␈αλm␈α}ust␈απdi{␈α↓e␈α␈r␈αλfrom␈απ(␈↓ πh␈ε	X␈↓ λ1␈εβ,␈↓ λ@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λm␈εβ,␈↓ λ{␈ε	X␈↓ 	E␈εβ)␈αλfor␈απ0␈ε↔␈α	∀␈↓ 
M␈ε	r␈↓ 
e␈εβ<␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈βp␈↓ βG␈εn␈↓ βW␈εε+1␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧n␈εε+␈↓ ¬π␈εk␈↓ ¬∃␈ε~␈␈εε1␈↓ π␈␈εr␈↓ λ␈εε+1␈↓ 	∪␈εr␈↓ 	∨␈εε+␈↓ 	8␈εk
␈β
␈↓ ↓H␈εβIn␈αth␈α␈is␈αway␈α␈,␈αea␈α␈ch␈αpo␈α␈ssible␈↓ ∧J␈ε	k␈↓ ∧[␈εβ-tu␈α␈ple␈αwi␈α↓ll␈αo␈α␈ccu␈α␈r␈αa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈αo␈α␈nce␈αin␈αthe␈αseq␈α␈uen␈α␈ce.␈αEv␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly
␈β4␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	pro␈α␈cess␈α	will␈α
ter␈α␈minate␈α␈,␈α
when␈αλw␈α␈e␈α	reach␈αλa␈α	v␈α␈alue␈α	of␈↓ π=␈ε	n␈↓ πZ␈εβsu␈α␈ch␈α	th␈α␈at␈α	(␈↓ λu␈ε	X␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Q␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	}␈εβ,␈↓ 
␈ε	X␈↓ ␈εβ,␈↓ ∂␈ε	y␈↓ !␈εβ)
␈β?␈↓ 	␈εn␈↓ 	≥␈εε+1␈↓ 
$␈εn␈↓ 
4␈εε+␈↓ 
M␈εk␈↓ 
Z␈ε~␈␈εε1
␈β\␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αλalread␈α␈y␈αλoccu␈α␈rred␈αλin␈αλthe␈αλsequ␈α␈enc␈α␈e␈α	for␈αλall␈α	n␈α␈onn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈↓ πo␈ε	y␈↓ λ␈εβ<␈↓ λ6␈ε	m␈↓ λS␈εβ.␈αFo␈α␈r␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
if␈↓ 
K␈ε	m␈↓ 
q␈εβ=␈α
3
␈β
∧␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α¬␈ε	k␈↓ α∨␈εβ=␈α	3␈αλth␈α␈e␈αλseq␈α␈ue␈α␈nce␈απi␈α↓s␈απ000␈α␈222␈α␈122␈α␈021␈α␈12␈α␈102␈α␈012␈α␈001␈α␈110␈α␈100␈α␈,␈α	an␈α␈d␈απthe␈απproc␈α␈ess␈αλterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈α␈s
␈β
+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αpoin␈α}t.␈α≥(a)␈α
Pro␈α␈v␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
wh␈α␈en␈αthe␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈α
ter␈α␈minate␈α␈s,␈α∞w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ 	R␈ε	X␈↓ 
+␈εβ=␈↓ 
X␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β
6␈↓ 	i␈εn␈↓ 	y␈εε+1
␈β
S␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ αE␈εβ=␈α	0.␈α∃(b␈α␈)␈α
Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈ε⊂␈α	ev␈α␈e␈α␈ry␈↓ ¬I␈ε	k␈↓ ¬Z␈εβ-tu␈α␈ple␈α	(␈↓ εC␈ε	a␈↓ ε←␈εβ,␈↓ εn␈ε	a␈↓ π
␈εβ,␈↓ π→␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πF␈εβ,␈↓ πT␈ε	a␈↓ πq␈εβ)␈α
o␈α␈f␈α
elem␈α␈en␈α␈ts␈α	with␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ 
@␈ε	a␈↓ 
e␈εβ<␈↓ ∂␈ε	m
␈β
]␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈εε+␈↓ αλ␈εk␈↓ α∃␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εS␈εε1␈↓ ε}␈εε2␈↓ πd␈εk␈↓ 
O␈εj
␈β
v␈↓ 	∞␈εk
␈β
z␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ccu␈α␈rs␈α	i␈α↓n␈αλthe␈α	se␈α␈que␈α␈nce␈α␈;␈α
hen␈α␈ce␈α	th␈α␈e␈α	sequ␈α␈enc␈α␈e␈α	termin␈α␈ates␈α	wh␈α␈en␈↓ λ)␈ε	n␈↓ λF␈εβ=␈↓ λq␈ε	m␈↓ 	≠␈εβ.␈α∀[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈α
Pro␈α␈v␈α}e␈α	tha␈α␈t
␈β∞"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ αα␈ε	k␈↓ α∪␈εβ-tu␈α␈ple␈α(␈↓ α␈␈ε	a␈↓ β≤␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε	a␈↓ ∧␈εβ,␈αε0,␈↓ ∧/␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧[␈εβ,␈αε0)␈αap␈α␈pea␈α␈rs,␈α
when␈↓ εp␈ε	a␈↓ π⊗␈ε↔≤␈εβ␈α0,␈α
b␈α␈y␈αi␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈αo␈α␈n␈↓ 	`␈ε	s␈↓ 	n␈εβ.]␈α≥N␈α␈ote␈αtha␈α␈t
␈β∞-␈↓ β∂␈εε1␈↓ βu␈εs␈↓ ε␈␈εs
␈β∞E␈↓ λ:␈εk
␈β∞J␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αno␈α}w␈αd␈α␈e|n␈α␈e␈↓ β@␈ε	f␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈ε	X␈↓ ∧α␈εβ,␈↓ ∧⊃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧L␈ε	X␈↓ ¬@␈εβ)␈α
=␈↓ ε␈ε	X␈↓ εY␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ πT␈ε	n␈↓ πr␈ε↔∀␈↓ λ≥␈ε	m␈↓ λH␈εβ,␈αse␈α␈tting␈↓ 	J␈ε	X␈↓ 
6␈εβ=␈α
0,␈αw␈α␈e
␈β∞T␈↓ βr␈εn␈↓ ∧c␈εn␈↓ ∧s␈εε+␈↓ ¬
␈εk␈↓ ¬~␈ε~␈␈εε1␈↓ ε↔␈εn␈↓ ε'␈εε+␈↓ εA␈εk
␈β∞U␈↓ 	y␈ε
k
␈β∞X␈↓ 	a␈εm␈↓ 
¬␈εε+␈↓ 
≡␈εk
␈β∞q␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
a␈αfun␈α␈ction␈α
of␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α
period␈α␈.
␈β∂%␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈ε↔␈αλh␈↓ β<␈ε	X␈↓ βd␈ε↔i␈εβ␈αλb␈α␈e␈αλthe␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλof␈αλbits␈αλge␈α␈nera␈α␈ted␈αλb␈α␈y␈αλmeth␈α␈od␈απ(␈α↓1␈α␈0),␈α	with␈↓ 
	␈ε	k␈↓ 
#␈εβ=␈α	35␈αλa␈α␈nd
␈β∂/␈↓ βS␈εn
␈β∂I␈↓ ↓H␈ε∃C␈α␈ONT␈α␈ENTS␈α␈(A)
␈β∂L␈↓ β9␈εβ=␈α∂(0␈α␈000␈α␈000␈α␈000␈α␈000␈α␈000␈α␈00␈α␈000␈α␈000␈α␈000␈α␈000␈α␈001␈α␈01␈↓ λ;␈εβ)␈↓ λR␈εβ.␈α∀Let␈↓ 	/␈ε	U␈↓ 	c␈εβb␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞bin␈α␈ary
␈β∂W␈↓ λF␈εε2␈↓ 	D␈εn
␈β∂t␈↓ ↓H␈εβfra␈α␈ction␈α(.␈↓ αX␈ε	X␈↓ β
␈ε	X␈↓ βm␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧→␈ε	X␈↓ ¬~␈εβ)␈↓ ¬2␈εβ;␈αsho␈α}w␈αthat␈αth␈α␈is␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈ε↔␈αh␈↓ λ6␈ε	U␈↓ λ[␈ε↔i␈εβ␈αfa␈α␈i␈α↓ls␈αth␈α␈e␈αserial␈αtest␈αon
␈β∂}␈↓ αo␈εn␈↓ α␈␈εk␈↓ β$␈εn␈↓ β4␈εk␈↓ βA␈εε+1␈↓ ∧0␈εn␈↓ ∧@␈εk␈↓ ∧N␈εε+␈↓ ∧g␈εk␈↓ ∧t␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬%␈εε2␈↓ λK␈εn
␈β⊂≠␈↓ ↓H␈εβp␈α␈airs␈α(Se␈α␈ction␈α3␈α␈.␈α↓3␈α␈.2B)␈αwh␈α␈en␈↓ ∧`␈ε	d␈↓ ∧|␈εβ=␈α
8␈α␈.
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M41␈↓ αX␈εβ]␈α⊗For␈αeach␈αp␈α␈rime␈↓ ∧b␈ε	p␈↓ ∧}␈εβspe␈α␈ci␈α↓|␈α␈ed␈αin␈αthe␈α|rst␈αcolum␈α␈n␈αo␈α␈f␈αTab␈α␈le␈α1␈αin␈αS␈α␈ection␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓4␈α␈,
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈αλsuitab␈α␈le␈α	con␈α␈stan␈α}ts␈↓ ∧∪␈ε	a␈↓ ∧/␈εβ,␈↓ ∧>␈ε	a␈↓ ∧d␈εβa␈α␈s␈α	sug␈α␈gested␈αλin␈α	the␈αλtext,␈α	such␈αλtha␈α␈t␈α	the␈α	p␈α␈eriod␈α	len␈α␈gth␈αλof␈α	(8),
␈β⊃↓␈↓ ∧#␈εε1␈↓ ∧N␈εε2
␈β⊃~␈↓ β:␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	k␈↓ α8␈εβ=␈α
2␈α␈,␈αis␈↓ β)␈ε	p␈↓ βN␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α~(S␈α␈ee␈αEq.␈α3.3.4↑␈α␈39␈αfor␈αa␈α␈n␈αex␈α␈amp␈α␈le.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα36␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.2.2
␈βα'␈↓ πO␈ε∃CO␈α␈NTEN␈α␈TS(␈α␈A)
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulate␈α⊂c␈α␈ons␈α␈tan␈α␈ts␈α⊂su␈α␈itab␈α␈l␈α↓e␈α∂f␈α↓o␈α␈r␈α⊂use␈α∂as␈↓ 	C␈εβin␈α⊂m␈α␈etho␈α␈d␈α⊂(1␈α␈0),
␈βαR␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈αth␈α␈e␈αsame␈α
n␈α␈um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αz␈α␈eros␈αa␈α␈s␈αo␈α␈ne␈α␈s,␈αfor␈α2␈ε↔␈αλ∀␈↓ 	¬␈ε	k␈↓ 	∨␈ε↔∀␈εβ␈α	64␈α␈.
␈ββ∧␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M35␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(D.␈αλRees.)␈α∩The␈αλtex␈α␈t␈α	e␈α␈xp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αλho␈α␈w␈αλto␈αλ|␈α␈nd␈αλfu␈α␈nction␈α␈s␈↓ λQ␈ε	f␈↓ λj␈εβs␈α␈uch␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈α	se␈α␈que␈α␈nce
␈ββ'␈↓ ∧0␈εk
␈ββ,␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈1)␈αh␈α␈as␈αp␈α␈eriod␈αlen␈α␈gth␈↓ ∧∪␈ε	m␈↓ ∧E␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αpro␈α}vid␈α␈ed␈αthat␈↓ εg␈ε	m␈↓ π⊂␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αa␈α␈nd␈↓ λR␈ε	X␈↓ λv␈εβ,␈↓ 	¬␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	1␈εβ,␈↓ 	@␈ε	X␈↓ 
⊗␈εβa␈α␈re␈αn␈α␈ot␈αall
␈ββ6␈↓ λi␈εε0␈↓ 	W␈εk␈↓ 	d␈ε~␈␈εε1
␈ββS␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero.␈α∞S␈α␈ho␈α}w␈αtha␈α␈t␈αsuc␈α␈h␈αfu␈α␈nctio␈α␈ns␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αmo␈α␈di|␈α␈ed␈αto␈αob␈α␈tain␈αsequ␈α␈enc␈α␈es␈αof␈αty␈α␈pe␈α(11)␈αwith
␈ββw␈↓ β4␈εk
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβp␈α␈eriod␈αl␈α↓e␈α␈ng␈α␈th␈↓ β↔␈ε	m␈↓ βA␈εβ,␈α∞for␈ε⊂␈α
a␈α␈l␈α↓l␈εβ␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ¬;␈ε	m␈↓ ¬X␈εβ.␈α≥[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}ts:␈εβ␈α∂Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α
Lemm␈α␈a␈α
3.2.1␈α␈.␈α↓2␈α␈Q␈↓ 	m␈εβ,␈α∞th␈α␈e␈α
trick␈α
o␈α␈f
␈β∧"␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α7␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
sequ␈α␈enc␈α␈es␈αsuch␈α
as␈ε↔␈αh␈↓ ¬>␈ε	p␈↓ ¬O␈ε	X␈↓ ε
␈εβ+␈↓ ε3␈ε	X␈↓ π
␈ε↔i␈εβ.]
␈β∧-␈↓ ¬f␈εε2␈↓ ¬s␈εn␈↓ εJ␈εε2␈↓ εW␈εn␈↓ εg␈εε+1
␈β∧P␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧T␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α∂te␈α␈xt␈α∞restricts␈α∂d␈α␈iscuss␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞of␈α∂th␈α␈e␈α∂e␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α∞l␈α↓in␈α␈ear␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈es␈α∂(8␈α␈)␈α∂to␈α∞the
␈β∧|␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈α
tha␈α␈t␈↓ αU␈ε	m␈↓ α|␈εβi␈α↓s␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈αre␈α␈ason␈α␈ab␈α␈ly␈α
l␈α↓o␈α␈ng␈α
p␈α␈eriod␈α␈s␈αca␈α␈n␈α
also␈α
be␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α
wh␈α␈en␈↓ ∂␈ε	m
␈β¬$␈↓ ↓H␈εβis␈α
\␈α␈squ␈α␈are-free,"␈α
i.e.,␈α∞th␈α␈e␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈αof␈α
distin␈α␈ct␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈es.␈α≥(Exa␈α␈minatio␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
Table␈α3.2.1.1↑
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβ1␈α
sho␈α}w␈α↓s␈α
that␈↓ β∀␈ε	m␈↓ β?␈εβ=␈↓ βn␈ε	w␈↓ ∧⊂␈ε↔ε␈εβ␈α
1␈α∞o␈α␈ften␈α∞sa␈α␈tis|es␈α∞th␈α␈is␈α∞h␈α␈y␈α␈pot␈α␈hesis;␈α⊂m␈α␈an␈α␈y␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞resu␈α␈l␈α↓t␈α␈s␈α∞of␈α∞the
␈β¬s␈↓ ↓H␈εβte␈α␈xt␈α
ca␈α␈n␈α
th␈α␈erefore␈α
b␈α␈e␈α
car␈α␈ri␈α↓e␈α␈d␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
to␈α
th␈α␈at␈α
case␈α␈,␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈α	is␈α
somewh␈α␈at␈α
mo␈α␈re␈α
con␈α}v␈α␈en␈α␈ien␈α␈t␈α
fo␈α␈r
␈βε~␈↓ ↓H␈εβc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈n.)
␈βεI␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεM␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈αthe␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈αde|␈α␈ne␈α␈d␈αb␈α␈y␈↓ ε:␈ε	X␈↓ εl␈εβ=␈α(␈↓ π#␈ε	X␈↓ λ¬␈ε↔␈␈↓ λ.␈ε	X␈↓ 	λ␈εβ)␈↓ 	_␈εβmod␈↓ 	]␈ε	m␈↓ 
ε␈εβas␈αa␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓te␈α␈r-
␈βεW␈↓ εQ␈εn␈↓ π:␈εn␈↓ πJ␈ε~␈␈εε␈α↓5␈α␈5␈↓ λE␈εn␈↓ λU␈ε~␈␈εε␈α↓2␈α␈4
␈βεt␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ativ␈α␈e␈α
to␈α(7).
␈βπ&␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈α
0␈α<␈↓ ∧↓␈ε	k␈↓ ∧≥␈εβ<␈↓ ∧K␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ.␈α⊃P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α
d␈α␈e|n␈α␈ed␈αby␈↓ 	↔␈ε	X␈↓ 	K␈εβ=␈α
(␈↓ 
∧␈ε	X␈↓ ␈εβ+
␈βπ1␈↓ 	/␈εn␈↓ 
≠␈εn␈↓ 
,␈ε~␈␈↓ 
E␈εm␈↓ 
\␈εε+␈↓ 
u␈εk
␈βπJ␈↓ ¬≠␈εm
␈βπN␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α ␈εβ)␈↓ α0␈εβmod␈↓ αu␈εβ2␈απha␈α␈s␈αλperio␈α␈d␈αλlen␈α␈gth␈↓ ¬␈εβ2␈↓ ¬6␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈αλwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈αλth␈α␈e␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈αλd␈α␈e|␈α␈ned␈απby␈↓ 	[␈ε	Y␈↓ 
λ␈εβ=␈α
(␈↓ 
>␈ε	Y␈↓ ␈εβ+
␈βπY␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈ε~␈␈↓ αλ␈εm␈↓ 	o␈εn␈↓ 
Q␈εn␈↓ 
b␈ε~␈␈↓ 
{␈εk
␈βπv␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ α≤␈εβ)␈↓ α-␈εβm␈α␈od␈↓ αq␈εβ2␈αd␈α␈oes.
␈βλ␈↓ ↓[␈εn␈↓ ↓k␈ε~␈␈↓ α¬␈εm
␈βλ(␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	26␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈α∞the␈α∞a␈α␈l␈α↓te␈α␈rnat␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α∞to␈α∞Prog␈α␈ram␈α∞A␈α∞th␈α␈at␈α∞ch␈α␈an␈α␈ges␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α∞55␈α
en␈α␈tries␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈↓ ∀␈ε	Y
␈βλO␈↓ ↓H␈εβta␈α␈ble␈αev␈α}ery␈α5␈α␈5th␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈αa␈αran␈α␈do␈α␈m␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αi␈α↓s␈αre␈α␈quired␈α␈.
␈β	α␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M48␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈αλF␈α↓.␈αλReiser.)␈α∪Let␈↓ ¬λ␈ε	p␈↓ ¬!␈εβbe␈αλprime␈αλan␈α␈d␈αλlet␈↓ π∪␈ε	k␈↓ π,␈εβb␈α␈e␈α	a␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈r.␈αGiv␈α␈e␈α␈n␈α	in␈α}teger␈α␈s
␈β	)␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓d␈εβ,␈↓ ↓s␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α∨␈εβ,␈↓ α.␈ε	a␈↓ αY␈εβan␈α␈d␈↓ β≥␈ε	x␈↓ β9␈εβ,␈↓ βH␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βt␈εβ,␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧ ␈εβ,␈α∂let␈↓ ∧l␈ε	∃␈↓ ¬≠␈εβbe␈α∞th␈α␈e␈α∂p␈α␈eriod␈α∞o␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈e␈ε↔␈α∂h␈↓ λo␈ε	X␈↓ 	⊗␈ε↔i␈εβ␈α∂g␈α␈ene␈α␈rated␈α∞b␈α␈y␈α∞the
␈β	4␈↓ ↓W␈εε1␈↓ α=␈εk␈↓ β,␈εε1␈↓ ∧∩␈εk␈↓ ∧}␈ε␈↓ 	ε␈εn
␈β	Q␈↓ ↓H␈εβre␈α␈curre␈α␈nce
␈β
_␈↓ β(␈ε␈↓ 
α␈ε
␈β
≡␈↓ ↓R␈ε	X␈↓ αβ␈εβ=␈↓ α-␈ε	x␈↓ αS␈εβm␈α␈od␈↓ β↔␈ε	p␈↓ β7␈εβ,␈α'0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧+␈ε	n␈↓ ∧I␈εβ<␈↓ ∧s␈ε	k␈↓ ¬∧␈εβ;␈↓ ¬Z␈ε	X␈↓ ε␈εβ=␈α
(␈↓ εA␈ε	a␈↓ ε]␈ε	X␈↓ π1␈εβ+␈↓ πZ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λλ␈εβ+␈↓ λ1␈ε	a␈↓ λN␈ε	X␈↓ 	≤␈εβ)␈↓ 	,␈εβmod␈↓ 	q␈ε	p␈↓ 
⊂␈εβ,␈↓ 
@␈ε	n␈↓ 
↑␈ε↔∃␈↓ λ␈ε	k␈↓ →␈εβ;
␈β
)␈↓ ↓i␈εn␈↓ α=␈εn␈↓ ¬q␈εn␈↓ εP␈εε1␈↓ εt␈εn␈↓ π∧␈ε~␈␈εε1␈↓ λA␈εk␈↓ λe␈εn␈↓ λu␈ε~␈␈↓ 	∞␈εk
␈β
l␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αlet␈↓ α9␈ε	N␈↓ αl␈εβbe␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αof␈α0's␈αtha␈α␈t␈αo␈α␈ccu␈α␈r␈αin␈αth␈α␈e␈αperiod␈α
(␈α↓i.e.,␈αth␈α␈e␈αn␈α␈um␈α}ber␈αof␈αind␈α␈i␈α↓c␈α␈es␈↓ ≥␈ε	j
␈β
v␈↓ αR␈ε
␈β∪␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ α\␈ε	⊗␈↓ βε␈ε↔∀␈↓ β1␈ε	j␈↓ βJ␈εβ<␈↓ βu␈ε	⊗␈↓ ∧≥␈εβ+␈↓ ∧F␈ε	∃␈↓ ∧r␈εβan␈α␈d␈↓ ¬3␈ε	X␈↓ ¬`␈εβ=␈α
0).␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αor␈αdisp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α}w␈α↓in␈α␈g␈αcon␈α␈jectu␈α␈re:
␈β≡␈↓ αn␈ε␈↓ ∧ε␈ε␈↓ ∧X␈ε␈↓ ¬J␈εj
␈β;␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈ere␈α∂ex␈α␈i␈α↓sts␈α∂a␈α∂co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧7␈ε	c␈↓ ∧S␈εβ(␈α↓d␈α␈ep␈α␈end␈α␈ing␈α∂p␈α␈ossibly␈α∂o␈α␈n␈↓ π8␈ε	p␈↓ πX␈εβand␈↓ λ≥␈ε	k␈↓ λ=␈εβan␈α␈d␈↓ 	α␈ε	a␈↓ 	≡␈εβ,␈↓ 	-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	Y␈εβ,␈↓ 	h␈ε	a␈↓ 
¬␈εβ)␈α∂such␈α∞tha␈α␈t
␈βE␈↓ 	∩␈εε1␈↓ 	x␈εk
␈β↑␈↓ αA␈ε␈↓ αP␈εε(␈↓ αX␈εk␈↓ αe␈ε~␈␈εε␈α↓2␈α␈)␈α↓/␈α␈(␈↓ β)␈εk␈↓ β6␈ε~␈␈εε1)
␈βb␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓y␈ε↔∀␈↓ α#␈ε	c␈↓ α0␈ε	p␈↓ βo␈εβfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ ∧Q␈ε	␈↓ ∧n␈εβand␈α
all␈↓ ¬]␈ε	x␈↓ ¬y␈εβ,␈↓ ελ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε5␈εβ,␈↓ εC␈ε	x␈↓ ε`␈εβ.
␈βm␈↓ ↓a␈ε␈↓ ¬m␈εε1␈↓ εS␈εk
␈β
␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Notes:␈εβ␈αReiser␈αh␈α␈as␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}ed␈αth␈α␈at␈αif␈αth␈α␈e␈αrecu␈α␈rren␈α␈ce␈αha␈α␈s␈αma␈α␈xim␈α␈um␈α
perio␈α␈d␈αlen␈α␈gth␈αm␈α␈od
␈β.␈↓ β.␈εk
␈β2␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓c␈εβ(i.e.,␈αif␈↓ αJ␈ε	∃␈↓ αs␈εβ=␈↓ β≥␈ε	p␈↓ βA␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈),␈αa␈α␈nd␈α
if␈α
th␈α␈e␈α
con␈α␈jectu␈α␈re␈α
ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s,␈αth␈α␈en␈α	the␈↓ λ1␈ε	k␈↓ λA␈εβ-dime␈α␈nsion␈α␈al␈α
discre␈α␈pan␈α␈cy
␈β<␈↓ α]␈εε1
␈βU␈↓ βY␈εk␈↓ βw␈ε~␈␈↓ ∧⊂␈ε␈↓ ∧∨␈εε/(␈↓ ∧4␈εk␈↓ ∧A␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)
␈βY␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈ε↔␈αh␈↓ ↓z␈ε	X␈↓ α!␈ε↔i␈εβ␈αwill␈αb␈α␈e␈↓ β$␈ε	O␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε	␈↓ βf␈ε	p␈↓ ∧p␈εβ)␈αas␈↓ ¬/␈ε	␈↓ ¬K␈ε↔!␈α
1␈εβ;␈αth␈α␈u␈α␈s␈αa␈α␈n␈αad␈α␈ditiv␈α␈e␈αge␈α␈nera␈α␈tor␈αli␈α↓k␈α}e␈α(␈α↓7␈α␈)␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αbe
␈βd␈↓ α⊃␈εn
␈β⎇␈↓ π
␈εe
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβw␈α␈ell␈α
distribu␈α␈ted␈α
in␈α
5␈α␈5␈α
dimen␈α␈sions,␈α∞wh␈α␈en␈↓ ε!␈ε	m␈↓ εK␈εβ=␈↓ εy␈εβ2␈↓ π"␈εβan␈α␈d␈α
th␈α␈e␈α
en␈α␈tire␈α
pe␈α␈ri␈α↓o␈α␈d␈α
is␈α
con␈α␈si␈α↓d␈α␈ered␈α␈.
␈β
(␈↓ ↓H␈εβ(S␈α␈ee␈αSectio␈α␈n␈α
3␈α␈.3.4␈α
fo␈α␈r␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αof␈α
d␈α␈i␈α↓s␈α␈crepa␈α␈nc␈α␈y␈α
in␈↓ πd␈ε	k␈↓ λ↓␈εβd␈α␈i␈α↓m␈α␈ension␈α␈s.)␈α≥Th␈α␈e␈α
c␈α␈onje␈α␈cture
␈β
P␈↓ ↓H␈εβis␈α∞a␈α
v␈α␈ery␈α
w␈α␈eak␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n,␈α∂for␈α
i␈α↓f␈ε↔␈α∞h␈↓ ¬2␈ε	X␈↓ ¬Y␈ε↔i␈εβ␈α∞tak␈α}es␈α∞on␈α
ea␈α␈ch␈α∞v␈α␈alu␈α␈e␈α∞ab␈α␈ou␈α␈t␈α∞equ␈α␈ally␈α∞o␈α␈ften␈α∞a␈α␈nd␈α
if
␈β
[␈↓ ¬I␈εn
␈β
t␈↓ α/␈ε␈↓ α>␈ε~␈␈εε1␈↓ α␈␈εk␈↓ ε'␈εk
␈β
x␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓s␈εβ=␈↓ α≡␈ε	p␈↓ αc␈εβ(␈↓ αo␈ε	p␈↓ β∀␈ε↔␈␈εβ␈αλ1),␈αth␈α␈e␈αq␈α␈uan␈α}tity␈↓ ¬.␈ε	N␈↓ ¬`␈ε↔→␈εβ␈α
(␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε<␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈↓ π⊃␈ε	p␈↓ π.␈εβd␈α␈oes␈αno␈α␈t␈αgro␈α}w␈αa␈α␈t␈αall␈αa␈α␈s␈↓ 
ε␈ε	␈↓ 
$␈εβin␈α␈crea␈α␈ses.
␈β∞α␈↓ ↓Z␈ε␈↓ ¬G␈ε
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εβRe␈α␈i␈α↓se␈α␈r␈α∞ha␈α␈s␈α∞v␈α␈e␈α␈ri␈α↓|␈α␈ed␈α
the␈α
con␈α␈jectu␈α␈re␈α∞for␈↓ ¬{␈ε	k␈↓ ε→␈εβ=␈α∞3.␈α∪On␈α
the␈α
othe␈α␈r␈α∞ha␈α␈nd␈α
h␈α␈e␈α∞ha␈α␈s␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn␈α
tha␈α␈t
␈β∞G␈↓ ↓H␈εβit␈αis␈αpo␈α␈ssible␈αto␈α|␈α␈nd␈αun␈α}usu␈α␈ally␈αb␈α␈ad␈αsta␈α␈rting␈αv␈α␈alu␈α␈es␈↓ π3␈ε	x␈↓ πO␈εβ,␈↓ π↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈εβ,␈↓ λ→␈ε	x␈↓ λB␈εβ(de␈α␈pen␈α␈din␈α␈g␈αon␈↓ 
≤␈ε	␈↓ 
/␈εβ)␈αso␈αtha␈α␈t
␈β∞Q␈↓ πC␈εε1␈↓ λ)␈εk
␈β∞j␈↓ αA␈ε␈↓ ¬≤␈ε␈↓ ¬*␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬l␈εk
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ α¬␈ε↔∃␈↓ α0␈ε	p␈↓ αO␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αt␈α␈hat␈↓ ∧6␈ε	∃␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬␈ε	p␈↓ ¬P␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	p␈↓ ε↓␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈αan␈α␈d␈↓ π⊃␈ε	k␈↓ π+␈ε↔∃␈εβ␈α	3␈αan␈α␈d␈↓ λ2␈ε	␈↓ λO␈εβis␈αsu}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈αlarg␈α␈e.]
␈β∞y␈↓ ↓a␈εε2␈↓ ↓m␈ε␈↓ ∧H␈ε
␈β∂!␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈αAlgorith␈α␈m␈αB␈αis␈αb␈α␈eing␈αap␈α␈plied␈αto␈αa␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈αh␈↓ 	ε␈ε	X␈↓ 	-␈ε↔i␈εβ␈αof␈αperiod␈αlen␈α␈gth
␈β∂+␈↓ 	≥␈εn
␈β∂H␈↓ ↓H␈ε	∃␈↓ ↓[␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ αT␈ε	∃␈↓ αs␈ε↔&␈↓ β!␈ε	k␈↓ β1␈εβ.␈α⊂Sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
for␈α
|␈α␈x␈α␈e␈α␈d␈↓ ¬v␈ε	k␈↓ ε∪␈εβan␈α␈d␈αall␈α
su}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈tly␈α
la␈α␈rge␈↓ 	α␈ε	∃␈↓ 	∃␈εβ,␈α∞th␈α␈e␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α
o␈α␈f␈α
the
␈β∂p␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α
will␈α∞ev␈α}en␈α}tually␈α
b␈α␈e␈α
period␈α␈ic␈α
wi␈α↓th␈αthe␈α
sa␈α␈me␈α
per␈α␈i␈α↓o␈α␈d␈α
leng␈α␈th␈↓ 	∀␈ε	∃␈↓ 	'␈εβ,␈α∞un␈α␈l␈α↓es␈α␈s␈ε↔␈α∞h␈↓ 
.␈ε	X␈↓ 
U␈ε↔i␈εβ␈α∞isn␈α␈'t
␈β∂z␈↓ 
E␈εn
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εβv␈α}ery␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
to␈α
start␈α
with.␈α≥[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t:␈εβ␈α∂F␈α↓in␈α␈d␈α
a␈α
pa␈α␈ttern␈α
o␈α␈f␈α∞co␈α␈nsec␈α␈utiv␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α␈s␈α∞o␈α␈f␈ε↔␈α∞b␈↓ 
:␈ε	k␈↓ 
J␈ε	X␈↓ 
r␈εβ/␈↓ α␈ε	m␈↓ ∨␈ε↔c
␈β⊂"␈↓ 
a␈εn
␈β⊂?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αca␈α␈use␈α␈s␈αAlg␈α␈orithm␈αB␈αto␈α\␈α␈syn␈α␈chr␈α␈onize␈α␈"␈αits␈αsub␈α␈sequ␈α␈en␈α␈t␈αb␈α␈eha␈α␈vior.]
␈β⊂q␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	40␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(A.␈α
G.␈αW␈α↓a␈α␈terma␈α␈n.)␈α≤Exp␈α␈erimen␈α}t␈αwi␈α↓th␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αcon␈α␈gru␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈α
seq␈α␈uen␈α␈ces␈αwith␈↓ ∂␈ε	m
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλsq␈α␈uare␈απor␈αλcu␈α␈be␈απof␈αλthe␈απcom␈α␈pu␈α␈ter␈αλw␈α␈ord␈απsi␈α↓z␈α␈e,␈α	wh␈α␈i␈α↓le␈↓ π&␈ε	a␈↓ π>␈εβan␈α␈d␈↓ π|␈ε	c␈↓ λ⊃␈εβa␈α␈re␈αλsing␈α␈l␈α↓e␈α␈-precision␈απn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers.
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓⊂⊃∩∪~xx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUWX[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}␈␈/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUWXY[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=(),./012456789;BCEFHIJNOSTZ↑abcdefhilnoprstuvxyy/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+/012345699/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+/012345677/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=12355/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=∃ABFUVXYZabcdefgjklmnpqrstuwxyz⎇⎇/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=∀∃⊗0123456789ABGMNOUVXYZabcdefgjkmnpqrsuvwxyz⎇⎇/FONT#10=cmi8[XGP,SYS]=kll/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∃efgjklnpqrst⎇⎇/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=∀∃efgjkmnpqrstt/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=efgjktt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ABCDEFGHILMNOPRSTUYY/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∩'(),-.2:;ABCDIJLMNPRSTabcdefghiklmnopqrstuvwxyz|}␈␈/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=),.12:;AHNabcdefghilmnoprstuvwyy/FONT#17=cms8[XGP,SYS]=CIadfilmnortt/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=.012346789ABCDLMPQRTaeghilmortt/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789CFPcdefghilmnoprstuyy/FONT#20=cmb8[XGP,SYS]=13455/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=()*+,-123456:;=ABCDEIJLMNOPRSTUVXYZZ/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓αε⊃∀∃≤ @bchi⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓ε⊃∀∃→≤ !&1@bcdefghijj/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=∀∀/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=00/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=00/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.123ABCDEFGILMNORSTUXabdeghilnorstuu